高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集教课课件ppt

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1.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用“十字相乘法”分解二次三项式.2.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求一些方程的解集.
通过利用等式的性质和恒等式的变形培养数学运算、数学抽象、逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
函数一、等式的性质、恒等式1.思考　初中学习的十字相乘法分解因式的关键是什么？ 提示　把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数.
2.填空　(1)等式的性质：①等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立.②等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立.(2)常见的代数恒等式①(a＋b)2＝____________________，(a－b)2＝a2－2ab＋b2；②a2－b2＝______________________；③a3＋b3＝________________________________；a3－b3＝________________________________.
(a＋b)(a2－ab＋b2)
(a－b)(a2＋ab＋b2)
3.做一做　(多选)下列等式中是恒等式的是(　 　)A.(x－2)(x＋2)＝x2－4B.(x－2y)2＝x2－4xy＋4y2C.(－3＋m)(3＋m)＝m2－9D.16x2－9＝24x
二、方程的解集1.思考　把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？ 提示　把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根.
2.填空　方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的________的值.把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的______.
温馨提醒　求一元二次方程的解集的一般步骤(1)移项，将一元二次方程的右边化为0；(2)化积，利用提取公因式法、公式法、十字相乘法等将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的积；(3)转化，两个因式分别为0，转化为两个一 元一次方程；(4)求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
3.做一做　已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 (1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是(　　)A.－2m2 B.0C.－2 D.－1
题型一　利用恒等式化简
解析　 (m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2.
(2)化简：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝________.
解析　法一　(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2.法二　(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2.
化简的一般步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”：(1)先看是否能提取公因式；(2)再看能否套用公式；(3)再检查因式分解是否彻底；(4)最后用多项式乘法检验分解是否正确.
训练1 (1)如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b＝________.
解析　 (a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40，即(a－b)2＝49，即a－b＝±7.
(2)已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为________.
解析　 a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2，所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.
例2 将下列多项式分解因式：(1)x2－x－6；(2)2x2－3x＋1；(3)－x2＋(a－2)x＋2a.
解　(1)x2－x－6＝(x＋2)(x－3).(2)2x2－3x＋1＝(x－1)(2x－1).(3)－x2＋(a－2)x＋2a＝(x＋2)(－x＋a)＝－(x＋2)(x－a).
(1)x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)需满足C＝a＋b，D＝ab；(2)Ex2＋Fx＋G＝(ax＋b)(cx＋d)需满足E＝ac，F＝ad＋bc，G＝bd.
训练2 将下列各多项式分解因式：(1)x2－3x＋2；(2)3a3b－81b4；(3)2ax－10ay＋5by－bx.
解　(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2).(2)3a3b－81b4＝3b(a3－27b3)＝3b(a－3b)(a2＋3ab＋9b2).(3)2ax－10ay＋5by－bx＝2a(x－5y)－b(x－5y)＝(x－5y)(2a－b).
例3 (1)求关于x的方程ax＝1(其中a是常数)的解集； (2)求方程4x2－3x－1＝0的解集.
解　(1)当a＝0时，0×x＝1无解，此时解集为∅；
(2)因为4x2－3x－1＝(x－1)(4x＋1)，所以原方程可化为(x－1)(4x＋1)＝0，所以x－1＝0或4x＋1＝0，
1.对于形如ax＝b(x为未知数，a，b为常数)的方程要注意讨论a是否为零.2.“十字相乘法”也是解一元二次方程的一种常见方法.
训练3 (1)求关于x的方程ax＝0(其中a为常数)的解集； (2)求关于x的方程3x2－(6＋t)x＋2t＝0(其中t为常数)的解集.
解　(1)当a＝0时，解集为R；当a≠0时，解集为{0}.(2)∵3x2－(6＋t)x＋2t＝(x－2)(3x－t)，原方程可化为(x－2)(3x－t)＝0，
1.恒等式是进行代数变形、化简、运算，转化的基础和方法.2.因式分解的常用方法有：提取公因式、十字相乘法、公式法、分组分解法等.3.求含参数的方程的解集时，要注意是否应对参数进行分类讨论，特别针对最高次项的系数是否为零进行分析.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n等于(　　)A.1 B.－2 C.－1 D.2
解析　∵原式＝x2＋x－2＝x2＋mx＋n，∴m＝1，n＝－2.∴m＋n＝1－2＝－1，故选C.
2.下列分解因式正确的是(　　)A.－x2＋4x＝－x(x＋4)B.x2＋xy＋x＝x(x＋y)C.x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2D.x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)
解析　A中，－x2＋4x＝－x(x－4)，故错误；B中，x2＋xy＋x＝x(x＋y＋1)，故错误；C中，x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2，故正确；D中，x2－4x＋4＝(x－2)2，故错误.
3.下列变形一定正确的是(　　)
解析　运用等式的性质进行变形时，应注意字母的取值范围.
4.下列分解因式正确的是(　　)A.x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2B.2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2C.2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y)D.x2＋(a＋2)x＋2a＝(x－a)(x－2)
解析　A中，x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2，正确；B中，(2x－3y)2＝4x2－12xy＋9y2≠2x2－4xy＋9y2，错误；C中，2x2－8y2＝2(x＋2y)(x－2y)，错误；D中，x2＋(a＋2)x＋2a＝(x＋2)(x＋a)，错误.
5.若4x3－x＝1，则8x4＋12x3－2x2－5x＋5的值是(　　)A.2 B.4 C.6 D.8
解析　∵4x3－x＝1，∴8x4＋12x3－2x2－5x＋5＝2x(4x3－x)＋3(4x3－x)－2x＋5＝2x＋3－2x＋5＝8.
6.利用十字相乘法分解因式：(1)x2－(2a＋3)x＋6a＝_____________；(2)6x2－x－1＝________________.
(x－2a)(x－3)
(2x－1)(3x＋1)
7.若m＝4n＋3，则m2－8mn＋16n2的值是________.
解析　∵m＝4n＋3，∴m－4n＝3，∴m2－8mn＋16n2＝(m－4n)2＝32＝9.
8.把4x4y2－5x2y2－9y2分解因式的结果是_______________________.
y2(x2＋1)(2x＋3)(2x－3)
解析　4x4y2－5x2y2－9y2＝y2(4x4－5x2－9)＝y2(4x2－9)(x2＋1)＝y2(x2＋1)(2x＋3)(2x－3).
9.分解因式：(1)(2x＋y)2－(x＋2y)2；(2)－8a2b＋2a3＋8ab2.
解　(1)原式＝[(2x＋y)＋(x＋2y)][(2x＋y)－(x＋2y)]＝3(x＋y)(x－y).(2)原式＝2a(a2－4ab＋4b2)＝2a(a－2b)2.
10.分解因式：(1)9x2－81；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)3x(a－b)－6y(b－a)；(4)6mn2－9m2n－n3.
解　(1)原式＝9(x2－9)＝9(x＋3)(x－3).(2)原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)＝(x＋y)2(x－y)2.(3)原式＝3(a－b)(x＋2y).(4)原式＝－n(9m2－6mn＋n2)＝－n(3m－n)2.
11.(多选)要在二次三项式x2＋(　　)x－6的括号中填上一个整数，使它能按公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)·(x＋b)分解因式，那么这些数可以是(　 　)A.1 B.－1 C.5 D.7
解析　－6可以分解成－2×3，2×(－3)，－1×6，1×(－6)，∴(　　)中填上的整数应该是－6的两个因数的和，即1，－1，5，－5.故选ABC.
12.若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为________.
解析　∵a＋b＝4，a－b＝1，∴(a＋1)2－(b－1)2＝(a＋1＋b－1)(a＋1－b＋1)＝(a＋b)(a－b＋2)＝4×(1＋2)＝12.
13.(1)求方程2x2－x－1＝0的解集.
解　因为2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，所以(2x＋1)(x－1)＝0，从而可知2x＋1＝0或x－1＝0，
(2)求方程6x2－7x－5＝0的解集.
解　因为6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)，所以(2x＋1)(3x－5)＝0，从而可知2x＋1＝0或3x－5＝0，
14.已知6x2－7xy－3y2＋14x＋y＋a＝(2x－3y＋b)(3x＋y＋c)，试确定a，b，c的值.
解　由题设，得6x2－7xy－3y2＋14x＋y＋a＝(2x－3y＋b)(3x＋y＋c)＝6x2－7xy－3y2＋(3b＋2c)x＋(b－3c)y＋bc.