高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.1 等式2.1.1 等式的性质与方程的解集背景图课件ppt

课题名

2.1.1等式的性质与方程的解集

课标要求

1.掌握等式的性质及常用的恒等式

2.会用因式分解法解一元二次方程

核心目标

1.等式的性质及常用的恒等式.(重点)

2.因式分解法解一元二次方程.（难点）

教学准备

教师准备：教案、课件

学生准备：教材、学案

教学过程

情景引入

有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了2和5可以相等．我这里有一个方程5x－2＝2x－2.等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，等式两边同时除以x，得5＝2”．老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑．

[问题]　你认为狐狸的说法正确吗？

新知探究

知识点一　等式的性质

(1)等式的两边同时加上或减去________数或代数式，等式仍成立；

(2)等式的两边同时乘以或除以同一个________的数或代数式，等式仍成立．

等式的性质拓展

(1)  a1＝a2，a2＝a3，⇒a1＝a2＝a3；

(2)  a＝b⇒－a＝－b；

(3)a＝b⇒c－a＝c－b； 

(4)a＝b≠0⇒c/a＝c/b.　　

知识点二   恒等式

一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取__________时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式__________．

常用重要恒等式

(1)  －＝(a＋b)(a－b)；   

(2)＝±2ab＋；

(3)±＝(a±b)(∓ab＋)；

(4)＝＋＋＋2ab＋2ac＋2bc.　

知识点三  方程的解集

一般地，把一个方程       组成的集合称为这个方程的解集．

课堂总结

1.掌握等式的性质及常用的恒等式

2.会用因式分解法解一元二次方程

命题讲练

命题方向1：等式性质的应用

例题1:已知x＝y, 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④x/y＝1；⑤＝；⑥x/a＝y/a.其中正确的有              (　　)

A．①②③　　　　B．④⑤⑥

C．①③⑤        D．②④⑥

运用等式性质时要注意，必须保证两边同乘以或除以的同一个数是不为零的，此外，要注意等式本身隐含的条件．

跟踪练习1:设x，y，c是实数，则下列正确的是 (　　)

A．若x＝y，则x＋c＝y－c

B．若x＝y，则xc＝yc

C．若x＝y，则x/c＝y/c

D．若x/2c＝y/3c，则2x＝3y

命题方向2:恒等式的化简

例题2:角度一　利用恒等式化简

计算下列各式：

(1)(4＋m)(16－4m＋m^2)；

(2)(a＋2)(a－2)(a^4＋4a^2＋16)；

(3)(x＋1)(x－1)(x^2－x＋1)(x^2＋x＋1)；

(4)(x^2＋2xy＋y^2)(x^2−xy+y^2)^2.

[解](1)原式＝＋＝64＋.

   (2)原式＝(－4)(＋4＋16)＝－＝－64.

   (3)法一：原式＝(－1)[－]＝(－1)·(＋＋1)＝－1.

     法二：原式＝(x＋1)(－x＋1)(x－1)(＋x＋1)＝(＋1)·(－1)＝－1.

    (4)原式＝＝＝＝＋2＋.

1．在进行代数式的乘法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．

2．注意乘法公式的正用、逆用及变形应用．

跟踪练习2：计算下列各式：

(1)(；

(2)－(a－b)(a＋2b)；

(3)(a＋b)(－ab＋)－；

(4)(a－4b)(a^2+4b^2+ab).

解：(1)原式＝＋9＋16－6xy－8xz＋24yz.

(2)原式＝4＋1＋＋4a－4ab－2b－(＋ab－2)＝3－5ab＋3＋4a－2b＋1.

(3)原式＝＋－(＋3b＋3a＋)＝－3b－3a.

(4)原式＝1/4(a－4b)(＋4ab＋16)＝[－]＝－16.

例题3:角度二　十字相乘法分解公式

　把下列各式因式分解：

(1)6＋11x－7；

(2)x＋5－6y(x>0，y>0)；

(3)－z(x＋y)－6.

[解]　

(1)由十字相乘法，得： 所以6＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．

(2)原式＝(√x＋6√y)(√x－√y)．

(3)原式＝(x＋y＋2z)(x＋y－3z)．

对于a＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于一次项系数b，那么a＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)．　

跟踪练习3:因式分解：x^3＋6x^2＋11x＋6.

解：法一：＋6＋11x＋6＝(＋3)＋(3＋9x)＋(2x＋6)

＝(x＋3)＋3x(x＋3)＋2(x＋3)＝(x＋3)(＋3x＋2)＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)．

法二：＋6＋11x＋6＝(＋3)＋(3＋11x＋6)①

＝(x＋3)＋(x＋3)(3x＋2)＝(x＋3)(＋3x＋2)

＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)．

命题方向3: 方程的解集问题

例题4:角度一　求一元一次方程的解集

求下列方程的解集：

(1)4－3(10－y)＝5y；

(2)＝－1.

[解]　(1)去括号，得4－30＋3y＝5y.

移项，得3y－5y＝30－4.

合并同类项，得－2y＝26.

系数化为1，得y＝－13.

所以该方程的解集为{－13}．

[解]　(2)去分母，得2(2x－1)＝(2x＋1)－6.

去括号，得4x－2＝2x＋1－6.

移项，得4x－2x＝1－6＋2.

合并同类项，得2x＝－3.

系数化为1，得x＝－3/2.

所以该方程的解集为{−3/2}.

解一元一次方程时,要根据方程形式灵活安排求解步骤．

(1)在分子或分母中有小数时，化小数为整数．(2)当有多层括号时，应按顺序去括号，注意括号外的系数及符号．

跟踪练习4:若x＝－2是关于x的一元二次方程－ax＋＝0的一个根，则a的值为(　　)

A．1或4  B．－1或－4

C．－1或4  D．1或－4

解析：∵x＝－2是关于x的一元二次方程－ax＋＝0的一个根，∴4＋5a＋＝0，∴(a＋1)(a＋4)＝0, 解得a＝－1或a＝－4.

例题5:角度二　因式分解法解一元二次方程

求下列方程的解集：

(1)x(x＋2)＝2x＋4；

(2)16－9＝0.

[解]　(1)原方程可变形为x(x＋2)＝2(x＋2)，即 (x－2)·(x＋2)＝0，

从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2

或x＝2，方程的解集为{－2，2}．

[解]　(2)利用平方差，将原方程变为[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x＋4)]＝0，

整理可得(7x－8)(x－32)＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝8/7或x＝32，

故原方程的解集为{8/7,32}.

用因式分解法解一元二次方程的步骤

(1)将方程右边化为0；

(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；

(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．

跟踪练习4:如果方程－8＝－的解集与方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1的解集相同，求式子a－的值．

解：去分母，得2(x－4)－48＝－3(x＋2)，

去括号，得2x－8－48＝－3x－6，

移项、合并同类项，得5x＝50，系数化为1，得x＝10.

把x＝10代入方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1，

得4×10－(3a＋1)＝6×10＋2a－1，解得a＝－4.

当a＝－4时，a－1/a＝－4－1/−4＝－.

布置作业

教材练习题

教辅练习题

板书设计

一、等式的性质

二、恒等式

三、方程的解集

教学反思