高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集第2课时学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集第2课时学案，共12页。学案主要包含了全集与补集，与补集有关的参数的范围问题等内容，欢迎下载使用。

3．会用维恩图、数轴进行集合的运算．
导语
有人请客，7个客人到了4个，主人焦急地说：“该来的不来．”顿时气走了2个，主人遗憾地叹息：“不该走的又走了．”又气走一个，主人更遗憾了，自言自语地说：“我又不是说他，”这么一来，剩下的这位脸皮再厚，也待不下去了，请问客人们为什么生气？实际上，客人们不自觉地使用了一个数学概念：补集，如：该来的补集是不该来的，主人说：“该来的不来”，客人立马会想到不该来的来了，既然不该来，当然就生气地走了！
一、全集与补集
问题 如果我们把某次活动中的客人看成集合的元素，所有的客人组成集合U，先到的客人组成集合A，未到的客人组成集合B，这三个集合间有什么样的关系？
提示 集合U是我们研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B＝∅，A∪B＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系．
知识梳理
1．全集
(1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
2．补集
3.补集运算的性质
给定全集U及其任意一个子集A，有
(1)A∪(∁UA)＝U.
(2)A∩(∁UA)＝∅.
(3)∁U(∁UA)＝A.
注意点：
(1)“全集”是一个相对的概念，它是依据具体的问题确定的．
(2)求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同．
(3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合．
例1 (1)若区间U＝[－2,2]，则A＝[－2,0]的补集∁UA为( )
A．(0,2) B．[0,2)
C．(0,2] D．[0,2]
答案 C
解析 借助数轴易得∁UA＝(0,2]．
(2)设U＝{x|－5≤x<－2或2答案 {－5，－4,3,4} {－5，－4,5}
解析 方法一 在集合U中，
因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
所以U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
所以∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．
方法二 可用维恩图表示．
则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．
反思感悟 求集合的补集的方法
(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
(2)维恩图法：借助维恩图可直观地求出全集及补集．
(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点是否包含．
跟踪训练1 (1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.
答案 {2,3,5,7}
解析 方法一(定义法)
因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，
所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又∁UB＝{1,4,6}，
所以B＝{2,3,5,7}．
方法二(维恩图法)
满足题意的维恩图如图所示．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________.
答案 {x|x<－3或x＝5}
解析 将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．
二、交、并、补的综合运算
例2 已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1解 将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示，
因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1所以A∩B＝{x|－13}．
又P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0或x≥\f(5,2)))))，
所以(∁UB)∪P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0或x≥\f(5,2))))).
又∁UP＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0所以(A∩B)∩(∁UP)
＝{x|－1＝{x|0延伸探究
1．(变问法)在本例的条件下，求(∁UA)∩(∁UP)．
解 画出数轴，如图所示，
观察数轴可知(∁UA)∩(∁UP)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2≤x<\f(5,2))))).
2．(变条件)将本例中的集合P改为{x|x≤5}，且全集U＝P，A，B不变，求A∪(∁UB)．
解 画出数轴，如图所示，
观察数轴可知A∪(∁UB)＝{x|x<2或3反思感悟 解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于维恩图来求解．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
跟踪训练2 已知全集U＝{x|x<10，x∈N＋}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求∁U(A∪B)，
∁U(A∩B)，(∁UA)∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)．
解 方法一 ∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，
U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴∁U(A∪B)＝{6,7,9}．
∵A∩B＝{5,8}，∴∁U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
∵∁UA＝{1,3,6,7,9}，∁UB＝{2,4,6,7,9}，
∴(∁UA)∩(∁UB)＝{6,7,9}，
(∁UA)∪(∁UB)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
方法二 作出维恩图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．
三、与补集有关的参数的范围问题
例3 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2解 方法一(直接法) 由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是[2，＋∞)．
方法二(集合间的关系) 由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，
又B＝{x|－2结合数轴：得－m≤－2，即m≥2.
延伸探究
1．将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解 由已知得A＝{x|x≥－m}，
所以∁UA＝{x|x<－m}，
又(∁UA)∩B＝B，所以B⊆(∁UA)，
所以－m≥4，解得m≤－4.
2．将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解 由已知得A＝{x|x≥－m}，
∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又(∁UB)∪A＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2.
反思感悟 由集合的补集求解参数范围的方法
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数范围问题时，可利用补集定义并结合相关知识求解．
(2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数范围问题时，一般利用数轴分析法求解．
跟踪训练3 (1)已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且∁UP＝{－1}，则实数a的值为________．
(2)设全集U＝R，N＝{x|－2A．－1C．－1答案 (1)2 (2)D
1．知识清单：
(1)全集和补集的概念及运算．
(2)交、并、补集的混合运算．
(3)与补集有关的参数范围的求解．
2．方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合．
3．常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍．
1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA等于( )
A．{1,2} B．{3,4,5}
C．{1,2,3,4,5} D．∅
答案 B
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁UA＝{3,4,5}．
2．设全集U＝R，集合A＝(1,4)，集合B＝[2,5)，则A∩(∁UB)等于( )
A．[1,2) B．(－∞，2)
C．[5，＋∞) D．(1,2)
答案 D
解析 ∁UB＝(－∞，2)∪[5，＋∞)，A∩(∁UB)＝(1,2)．
3.已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，如图所示，阴影部分表示的集合是( )
A．{3,4,5} B．{1,3,4}
C．{1,2,5} D．{3,4}
答案 D
解析 由题图可知，阴影部分表示的集合是∁U(M∪N)．
∵M∪N＝{1,2,5}，U＝{1,2,3,4,5}，
∴∁U(M∪N)＝{3,4}．
4．已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，则A∩(∁RB)＝________，A∪(∁RB)＝________.
答案 {x|－1≤x<3} {x|x≥－2}
解析 ∵A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，
∴∁RB＝{x|x≥－1}，
∴A∩(∁RB)＝{x|－1≤x<3}，A∪(∁RB)＝{x|x≥－2}．
5．设集合P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则∁Z(P∪Q)＝____________.
答案 {x|x＝3k，k∈Z}
1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩(∁UA)等于( )
A．{1,6} B．{1,7}
C．{6,7} D．{1,6,7}
答案 C
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，
∴∁UA＝{1,6,7}．
又B＝{2,3,6,7}，∴B∩(∁UA)＝{6,7}．
2．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|－3A．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
B．(－3,3)
C．(1,3]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 D
解析 B＝{x|－3所以A∪(∁RB)＝{x|x≤－3或x≥1}．
3．已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)等于( )
A．∅ B．M
C．N D．R
答案 B
解析 画维恩图如图所示，注意最后求并集．
4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤3}
答案 D
解析 由题意得，图中阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．
5．(多选)若全集U＝{1,2,3,4}，集合M＝{x|x2－4x＋3＝0}，N＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U(M∩N)中的元素有( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 ABD
解析 ∵M＝{1,3}，N＝{2,3}，∴M∩N＝{3}，
∴∁U(M∩N)＝{1,2,4}．
6．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是________，为∅ 的是________．(填序号)
①Z∪(∁UN)；②N∩(∁UN)；③∁U(∁U∅)；④∁UQ.
答案 ① ②③
解析 结合常用数集的定义及交、并、补集的运算，
可知Z∪(∁UN)＝R，N∩(∁UN)＝∅，∁U(∁U∅)＝∅.
7．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x答案 2
解析 因为∁UA＝{x|x<1或x≥2}，
所以A＝{x|1≤x<2}．
所以b＝2.
8．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁IM)＝∅，则M∪N＝________.
答案 M
解析 由N∩(∁IM)＝∅，可知N与∁IM没有公共元素，依据题意画出维恩图，如图所示，
可得N⊆M，所以M∪N＝M.
9．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，A∩
(∁UB)，(∁UA)∪B.
解 方法一 (直接法)由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁UA＝{1,2,6,7,8}，∁UB＝{1,2,3,5,6}，
∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}，A∩(∁UB)＝{3,5}，
(∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．
方法二 (维恩图法)画出维恩图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁UA)∩
(∁UB)＝{1,2,6}，A∩(∁UB)＝{3,5}，(∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．
10．已知A＝{x|－1(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B⊆(∁RA)，求实数m的取值范围．
解 (1)当m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，A∪B＝{x|－1(2)∁RA＝{x|x≤－1或x>3}，
当B＝∅时，即m≥1＋3m，
解得m≤－eq \f(1,2)，满足B⊆(∁RA)；
当B≠∅时，使B⊆(∁RA)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<1＋3m，,1＋3m≤－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<1＋3m，,m>3，))解得m>3，
综上所述，m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤－\f(1,2)或m>3)))).
11．(多选)已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则( )
A．(∁UM)⊇(∁UN)
B．(∁UM)⊆(∁UN)
C．(∁UM)∩(∁UN)＝(∁UM)
D．(∁UM)∪(∁UN)＝(∁UN)
答案 BCD
解析 ∵M∩N＝N，∴N⊆M，
∴(∁UM)⊆(∁UN)，同样C，D都正确．
12．定义差集A－B＝{x|x∈A且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－
(A－B)可表示为下列图中阴影部分的是( )
答案 A
解析 如图所示，
A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分．
13．设全集U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.
答案 －3
解析 ∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.
14．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．
答案 m－n
解析 ∵(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素，
如图中阴影部分所示，
又∵U＝A∪B中有m个元素，
故A∩B中有m－n个元素．
15．(多选)下列命题中，U为全集时，下列说法正确的是( )
A．若A∩B＝∅，则(∁UA)∪(∁UB)＝U
B．若A∩B＝∅，则A＝∅或B＝∅
C．若A∪B＝U，则(∁UA)∩(∁UB)＝∅
D．若A∪B＝∅，则A＝B＝∅
答案 ACD
16．已知集合U＝R，集合A＝{x|x≤－a－1}，B＝{x|x>a＋2}，C＝{x|x<0或x≥4}都是U的子集，若∁U(A∪B)⊆C，问这样的实数a是否存在？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解 (1)当－a－1－eq \f(3,2)，
所以∁U(A∪B)＝{x|－a－1为使∁U(A∪B)⊆C成立，
所以a＋2<0，解得a<－2，
或－a－1≥4，解得a≤－5，
而此时a>－eq \f(3,2)，所以无解．
(2)当－a－1≥a＋2时，得a≤－eq \f(3,2)，
所以∁U(A∪B)＝∅，
显然∁U(A∪B)⊆C成立，
综上，a的取值范围为a≤－eq \f(3,2).文字语言
如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合称为A在U中的补集，记作∁UA，读作：A在∪中的补集
符号语言
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
图形语言