人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集优质教学设计

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2.1 等式


2.1.1 等式的性质与方程的解集








1．等式的性质


性质：(1)：等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或代数式)，等式仍成立．


用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a±c＝b±c.


性质(2)：等式的两边同时乘以(或除以)同一个数(或代数式)(除数或代数式不为0)，等式仍成立．


用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a×c＝b×c，a÷c＝b÷c(c≠0)．


2．恒等式


(1)一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．恒等式是进行代数变形的依据之一．


(2)一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.


(3)用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解；


②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解．


3．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．求方程解的过程叫做解方程．把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．





1．下列运用等式性质进行的变形，正确的是( )


A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c


B．如果a2＝3a，那么a＝3


C．如果a＝b，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)


D．如果eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)，那么a＝b


D [A.当a＝b时，a＋c＝b＋c，故A错误；B.当a＝0时，此时a≠3，故B错误；C.当c＝0时，此时eq \f(a,c)与eq \f(b,c)无意义，故C错误；故选D.]


2．下列算式：(1)3a＋2b＝5ab；(2)5y2－2y2＝3；(3)7a＋a＝7a2；(4)4x2y－2xy2＝2xy中正确的有( )


A．0个 B．1个 C．2个 D．3个


A [(1)(4)不是同类项，不能合并；(2)5y2－2y2＝3y2；(3)7a＋a＝8a.所以4个算式都错误．故选A.]


3．已知A＝x3＋6x－9，B＝－x3－2x2＋4x－6，则2A－3B等于( )


A．－x3＋6x2 B．5x3＋6x2


C．x3－6x D．－5x3＋6x2


B [依题意，可得2A－3B＝2(x3＋6x－9)－3(－x3－2x2＋4x－6)＝5x3＋6x2，故选B.]


4．x2－4的因式分解的结果是( )


A．(x－2)2 B．(x－2)(x＋2)


C．(x＋2)2 D．(x－4)(x＋4)


B [x2－4＝(x＋2)(x－2)．故选B.]





【例1】 已知x＝y, 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④eq \f(x,y)＝1；⑤eq \f(x－2,3)＝eq \f(y－2,3)；⑥eq \f(x,a)＝eq \f(y,a).其中正确的有( )


A．①②③ B．④⑤⑥


C．①③⑤ D．②④⑥


C [①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤eq \f(x－2,3)＝eq \f(y－2,3)正确，故选C.]





在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件.








1．设x，y，c是实数，下列正确的是( )


A．若x＝y，则x＋c＝y－c


B．若x＝y，则xc＝yc


C．若x＝y，则eq \f(x,c)＝eq \f(y,c)


D．若eq \f(x,2c)＝eq \f(y,3c)，则2x＝3y


B [A.两边加不同的数，故A不符合题意；


B．两边都乘以c，故B符合题意；


C．c＝0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；


D．两边乘6c，得到3x＝2y，故D不符合题意．故选B.]





【例2】 化简：


(1)(3a－2)－3(a－5)；


(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2；


(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)；


(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]．


[解] (1)(3a－2)－3(a－5)＝3a－2－3a＋15＝13.


(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2＝－x2y＋xy2.


(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)＝2m＋m＋n－2m－2n＝m－n.


(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]＝4a2b－5ab2＋(－6a2b＋8ab2)＝4a2b－5ab2－6a2b＋8ab2＝－2a2b＋3ab2.





去括号时，首先要弄清楚括号前究竟是“＋”号，还是“－”号，其次要注意法则中的“都”字，都改变符号或都不改变符号，一定要一视同仁，尤其是括号前面是“－”号时，容易出现只改变括号内首项符号，而其余各项均不变号的错误.








2．计算：


(1)a2－3ab＋5－a2－3ab－7;


(2)5(m＋n)－4(3m－2n)＋3(2m－3n)；


(3)3(－5x＋y)－[(2x－4y)－2(3x＋5y)]．


[解] (1)原式＝(1－1)a2＋(－3－3)ab＋(5－7)＝－6ab－2.


(2)原式＝5m＋5n－12m＋8n＋6m－9n＝(5－12＋6)m＋(5＋8－9)n＝－m＋4n.


(3)原式＝－15x＋3y－(2x－4y－6x－10y)＝－15x＋3y－(－4x－14y)＝－15x＋3y＋4x＋14y＝(－15＋4)x＋(3＋14)y＝－11x＋17y.


【例3】 十字相乘法分解因式：


(1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16.


[解] (1)因为


所以：原式＝(x＋7)(x－8)．


(2)因为


所以：原式＝(x－2)(x－8)．





常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号. 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.








3．将y2－5y＋4因式分解的结果是( )


A．(y＋1)(y＋4) B．(y＋1)(y－4)


C．(y－1)(y＋4) D．(y－1)(y－4)


D [因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故选D.]





【例4】 求下列方程的解集．


(1)x(x＋2)＝2x＋4；


(2)16(x－5)2－9(x＋4)2＝0.


[解] (1)原方程可变形为x(x＋2)＝2(x＋2)，即 (x－2)(x＋2)＝0，


从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－2,2}．


(2)利用平方差，将原方程变为[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x＋4)]＝0，


整理可得(7x－8)(x－32)＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝eq \f(8,7)或x＝32，


故原方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(8,7)，32)).





用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步骤


1移项，将一元二次方程的右边化为0；


2化积，利用提取公因式法、公式法等将一 元二次方程的左边分解为两个一次因式的积；


3转化，两个因式分别为0，转化为两个一 元一次方程


4求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解；


5将其解写成集合的形式.








4．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－eq \f(5,2)ax＋a2＝0的一个根，则a的值为( )


A．1或4 B．－1或－4


C．－1或4 D．1或－4


B [∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－eq \f(5,2)ax＋a2＝0的 一个根， ∴4＋5a＋a2＝0，∴(a＋1)(a＋4)＝0, 解得a＝－1或a＝－4.]





1．利用等式性质进行化简要注意是否恒等变形，化简要彻底，要注意符号的变换．


2．十字相乘法分解因式的步骤：移项→化积→转化→求解．


3．方程的解集要写成集合的形式．





1．若3a＝2b，下列各式进行的变形中，不正确的是( )


A．3a＋1＝2b＋1 B．3a－1＝2b－1


C．9a＝4b D．－eq \f(a,2)＝－eq \f(b,3)


C [A.∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正确，不合题意；


B．∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正确，不合题意；


C．∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此选项错误，符合题意；


D．∵3a＝2b，∴－eq \f(a,2)＝－eq \f(b,3)，正确，不合题意．故选C.]


2．(m＋n)－2(m－n)的计算结果是( )


A．3n＋2m B．3n＋m


C．3n－m D．3n＋2m


C [原式＝m＋n－2m＋2n＝－m＋3n，故选C.]


3．下列方程的解正确的是( )


A．x－3＝1的解集是{－2}


B.eq \f(1,2)x－2x＝6的解集是{－4}


C．3x－4＝eq \f(5,2)(x－3)的解集是{3}


D．－eq \f(1,3)x＝2的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))


B [方程x－3＝1的解是x＝4，eq \f(1,2)x－2x＝6的解是x＝－4,3x－4＝eq \f(5,2)(x－3)的解是x＝－7，－eq \f(1,3)x＝2的解是x＝－6，故选B.]


4．方程2x－1＝0的解集是________．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) [由2x－1＝0，解得x＝eq \f(1,2)，方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).]





学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解且会运用等式的性质．(重点)


2．理解恒等式的概念，会进行恒等变形．(难点)


3．会求方程的解集．(重点)
1.借助等式的性质，培养逻辑推理的素养．


2．通过求方程的解集，提升数据分析、数学运算的核心素养.
等式性质的应用
恒等式的化简
方程的解集