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人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集教案
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这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集教案，共4页。教案主要包含了教材分析，教学目标，核心素养，教学重难点，课前准备，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。
【教材分析】
相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式与不等式的差异与共性，掌握基本不等式。
【教学目标】
1．掌握等式的性质。
2．掌握几个重要的恒等式。
3．掌握因式分解中的十字相乘法。
4．规范方程的解集的书写。
【核心素养】
1．数学抽象：体会解方程所形成的等式思想和数学方法，理解等式的模型。
2．逻辑推理：通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法。
3．直观想象：通过十字相乘法，建立数与形的关系，正确写出因式分解。
4．数学运算：掌握恒等式和解方程的运算法则，选择运算方法，求得运算结果。
5．数据分析：例3中对常数a的分类讨论，是理解和处理数据a的方法。
【教学重难点】
教学重点：
1．掌握等式的性质与重要恒等式。
2．会正确写出方程的解集。
教学难点：
能利用十字相乘法正确写出式子的因式分解。
【课前准备】
回顾初中所学的等式和方程知识，在高中如何用集合来表示解集。
【教学过程】
一、等式的性质
新课讲授
我们已经学习过等式的性质：
（1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
（2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。
尝试与发现
因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数，因此上述等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立。
二、恒等式
尝试与发现
新课讲授
如果从量词的角度来对以上6个等式进行分类的话，可以知道，等式________对任意实数都成立，而等式________只是存在实数使其成立。例如3x-6=0只有x=2时成立，x取其他数时都不成立。
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。
恒等式是进行代数变形的依据之一。例如，因为（x+y）2=x2+2xy+y2对任意x，y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x，y，等式仍然会成立，若用-z替换其中的y，则
（x-z）2=x2+2x（-z）+（-z）2=x2-2xz+z2，
由此就得到了以前学过的两数差的平方公式。
典型例题
例1：化简（2x+1）2-（x-1）2．
解（方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即
（2x+1）2-（x-1）2
=4x2+4x+1-（x2-2x+1）
=3x2+6x
（方法二）可以将2x+1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即
（2x+1）2-（x-1）2
=[（2x+1）+（x+1）][（2x+1）-（x+1）]
=3x（x+2）
=3x2+6x
下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有
（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab．
这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可，留作练习。
可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则
x2+Cx+D=（x+a）（x+b）．
为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”。
例如，对于式子x2+5x+6来说，因为2×3=6且2+3=5，所以
x2+5x+6=________．
尝试与发现
上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可。
据此也可进行因式分解。例如，对于3x2+11x+10来说，因为1×3=3，2×5=10，1×5+3×2=11，如右图所示，所以3x2+11x+10=（x+2）（3x+5）．
三、方程的解集
新课讲授
我们知道，方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。
利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。例如，对于方程3x+5=-1来说，首先在等式两边同时加上-5，然后在上述等式两边同时乘以，则得x=-2，因此可知方程3x+5=-1的解集为{-2}。
不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集。
从小学开始我们就知道，任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，因此：如果ab=0，则a=0或b=0。
利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集。例如，由方程（4x+1）（x-1）=0可知4x+1=0或x-1=0，从而x=或x=1，因此方程（4x+1）（x-1）=0的解集为{，1}。
典型例题
例2：求方程x2-5x+6=0的解集．
解：因为x2-5x+6=0=（x-2）（x-3），所以原方程可以化为（x-2）（x-3）=0，
从而可知x-2=0或x-3=0，即x=2或x=3，因此所求解集为{2，3}．
例2说明，如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为（x-x1）（x-x2）=0的形式，那么就能方便地得出原方程的解集了。
思考与辨析
例3：求关于x的方程ax=2的解集，其中a是常数．
尝试与发现
解：当a≠0时，在等式ax=2的两边同时乘以，得x=，此时解集为{}．
当a=0时，方程变为0x=2，这个方程无解，此时解集为∅．
综上，当a≠0时，解集为{}；当a=0时，解集为∅．
【教学反思】
本节内容为回顾初中解方程内容，注意解题格式规范书写。
【教材分析】
相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式与不等式的差异与共性，掌握基本不等式。
【教学目标】
1．掌握等式的性质。
2．掌握几个重要的恒等式。
3．掌握因式分解中的十字相乘法。
4．规范方程的解集的书写。
【核心素养】
1．数学抽象：体会解方程所形成的等式思想和数学方法，理解等式的模型。
2．逻辑推理：通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法。
3．直观想象：通过十字相乘法，建立数与形的关系，正确写出因式分解。
4．数学运算：掌握恒等式和解方程的运算法则，选择运算方法，求得运算结果。
5．数据分析：例3中对常数a的分类讨论，是理解和处理数据a的方法。
【教学重难点】
教学重点：
1．掌握等式的性质与重要恒等式。
2．会正确写出方程的解集。
教学难点：
能利用十字相乘法正确写出式子的因式分解。
【课前准备】
回顾初中所学的等式和方程知识，在高中如何用集合来表示解集。
【教学过程】
一、等式的性质
新课讲授
我们已经学习过等式的性质：
（1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
（2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。
尝试与发现
因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数，因此上述等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立。
二、恒等式
尝试与发现
新课讲授
如果从量词的角度来对以上6个等式进行分类的话，可以知道，等式________对任意实数都成立，而等式________只是存在实数使其成立。例如3x-6=0只有x=2时成立，x取其他数时都不成立。
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。
恒等式是进行代数变形的依据之一。例如，因为（x+y）2=x2+2xy+y2对任意x，y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x，y，等式仍然会成立，若用-z替换其中的y，则
（x-z）2=x2+2x（-z）+（-z）2=x2-2xz+z2，
由此就得到了以前学过的两数差的平方公式。
典型例题
例1：化简（2x+1）2-（x-1）2．
解（方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即
（2x+1）2-（x-1）2
=4x2+4x+1-（x2-2x+1）
=3x2+6x
（方法二）可以将2x+1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即
（2x+1）2-（x-1）2
=[（2x+1）+（x+1）][（2x+1）-（x+1）]
=3x（x+2）
=3x2+6x
下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有
（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab．
这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可，留作练习。
可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则
x2+Cx+D=（x+a）（x+b）．
为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”。
例如，对于式子x2+5x+6来说，因为2×3=6且2+3=5，所以
x2+5x+6=________．
尝试与发现
上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可。
据此也可进行因式分解。例如，对于3x2+11x+10来说，因为1×3=3，2×5=10，1×5+3×2=11，如右图所示，所以3x2+11x+10=（x+2）（3x+5）．
三、方程的解集
新课讲授
我们知道，方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。
利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。例如，对于方程3x+5=-1来说，首先在等式两边同时加上-5，然后在上述等式两边同时乘以，则得x=-2，因此可知方程3x+5=-1的解集为{-2}。
不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集。
从小学开始我们就知道，任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，因此：如果ab=0，则a=0或b=0。
利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集。例如，由方程（4x+1）（x-1）=0可知4x+1=0或x-1=0，从而x=或x=1，因此方程（4x+1）（x-1）=0的解集为{，1}。
典型例题
例2：求方程x2-5x+6=0的解集．
解：因为x2-5x+6=0=（x-2）（x-3），所以原方程可以化为（x-2）（x-3）=0，
从而可知x-2=0或x-3=0，即x=2或x=3，因此所求解集为{2，3}．
例2说明，如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为（x-x1）（x-x2）=0的形式，那么就能方便地得出原方程的解集了。
思考与辨析
例3：求关于x的方程ax=2的解集，其中a是常数．
尝试与发现
解：当a≠0时，在等式ax=2的两边同时乘以，得x=，此时解集为{}．
当a=0时，方程变为0x=2，这个方程无解，此时解集为∅．
综上，当a≠0时，解集为{}；当a=0时，解集为∅．
【教学反思】
本节内容为回顾初中解方程内容，注意解题格式规范书写。
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