数学必修 第一册1.1.1 集合及其表示方法第2课时导学案

这是一份数学必修 第一册1.1.1 集合及其表示方法第2课时导学案，共9页。学案主要包含了列举法，描述法，区间及其表示等内容，欢迎下载使用。

导语
同学们，上节课我们学习了集合的概念，而且我们发现可以用自然语言描述一个集合，那么对于一个集合，除了用自然语言描述一个集合外，是否还有哪些其他不同的表示方法呢？让我们一同进入今天的探究之旅．
一、列举法
问题1 用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？
提示 这是用自然语言法表示的集合；我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出．
知识梳理
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．
注意点：
(1)集合中的元素间用“，”隔开，元素不重复，一般不考虑元素的顺序．
(2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{ }”括起来即可；元素个数较多时，若元素能够按照一定的规律排列，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号．
(3)这里集合的“{ }”已包含所有的意思，不能出现“全体”“所有”等字眼．
例1 用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝8，,x－y＝1))的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
解 (1)因为－2≤x≤2，x∈Z，
所以x＝－2，－1,0,1,2，
所以A＝{－2，－1,0,1,2}．
(2)因为2和3是方程的根，
所以M＝{2,3}．
(3)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝8，,x－y＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2.))
所以B＝{(3,2)}．
(4)因为15的正约数有1,3,5,15，
所以N＝{1,3,5,15}．
反思感悟 用列举法表示集合的步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用大括号括起来．
跟踪训练1 用列举法表示下列集合：
(1)方程eq \f(x2－4,x＋2)＝0的所有实数根组成的集合；
(2)不大于15的质数集；
(3)一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合．
解 (1)方程eq \f(x2－4,x＋2)＝0的实数根为2，
故其实数根组成的集合为{2}．
(2)不大于15的质数有2,3,5,7,11,13，故不大于15的质数集为{2,3,5,7,11,13}．
(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,y＝2x－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))
故一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合为{(1,1)}．
二、描述法
问题2 你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？
提示 不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，不能一一列举，但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}．
问题3 仿照上面的例子，你能表示偶数集吗？
提示 {x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
知识梳理
1．一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．
2．集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}的形式．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
注意点：
(1)用描述法表示集合时，应写清该集合中元素的代表符号，并用简明、准确的语言描述集合的特征性质．
(2)从上下文的关系来看，若元素的取值(或变化)范围是明确的，则可省略不写．
例2 用描述法表示下列集合：
(1)坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合；
(2)所有被3除余1的整数组成的集合；
(3)使y＝eq \f(1,x2＋x－6)有意义的实数x组成的集合；
(4)方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的解集．
解 (1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．
(2)因为被3除余1的整数可表示为3n＋1，n∈Z，所以所有被3除余1的整数组成的集合为{x|x＝3n＋1，n∈Z}．
(3)要使y＝eq \f(1,x2＋x－6)有意义，
则x2＋x－6≠0.
由x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3.
所以使y＝eq \f(1,x2＋x－6)有意义的实数x组成的集合为{x|x≠2且x≠－3，x∈R}．
(4)由(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
反思感悟 利用描述法表示集合应注意
(1)写清楚该集合的代表元素．例如，集合{(x，y)|x＝2，y＝3}写成{x，y|x＝2，y＝3}是错误的．
(2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}．
跟踪训练2 用描述法表示下列集合．
(1)坐标平面内第三象限的点组成的集合；
(2)大于4的所有偶数组成的集合．
解 (1)第三象限内的点的横、纵坐标均小于零，故此集合可表示为{(x，y)|x<0，y<0，x∈R，y∈R}．
(2)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
三、区间及其表示
知识梳理
1．设a，b是两个实数，且a2．如果用“＋∞”表示“正无穷大”，用“－∞”表示“负无穷大”，则实数集R可表示为区间(－∞，＋∞)．
注意点：
(1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆．
(2)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立．
(3)a，b分别称为区间的左、右端点，b－a称为区间的长度．
(4)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
(5)∞是一个符号，而不是一个数．
例3 把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；
(2){x|x<0}；
(3){x|－1(4){x|0解 (1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．
(2){x|x<0}＝(－∞，0)．
(3){x|－1(4){x|0反思感悟 用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值．
(2)区间两端点之间用“，”隔开．
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．
(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
跟踪训练3 (1)集合{x|－2答案 (－2,0)∪(0,2]
解析 {x|－2(2)已知区间(a＋1,7]，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，6)
解析 由题意可知a＋1<7，即a－6<0，
解得a<6，
所以实数a的取值范围是(－∞，6)．
1．知识清单：
(1)集合的两种表示方法．
(2)区间及其表示．
2．方法归纳：分类讨论、转化与化归．
3．常见误区：
(1)描述法格式错误．
(2)搞不清是点集还是数集，把元素的形成写错．
1．将集合A＝{x|1A．(1,3) B．(1,3]
C．[1,3) D．[1,3]
答案 B
解析 集合A为左开右闭区间，可表示为(1,3]．
2．(多选)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝3，,2x＋y＝6))的解集是( )
A．{x＝3，y＝0} B．{3}
C．{(3,0)} D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝0))))))
答案 CD
解析 方程组解的形式是有序实数对，故可排除A，B；C是用的列举法，D是用的描述法，所以是C，D正确的．
3．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
答案 D
解析 A中应是xy<0；B中不符合描述法的规范格式，应为{x|x<5}；C中的“{ }”与“全体”意思重复．
4．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，a≠b}，则集合N中所有元素之和为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案 A
解析 ∵集合M＝{－1,0,1}，∴N＝{－1,0}，
∴集合N中所有元素之和为－1.
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C．eq \r(11)∈{x|x<2eq \r(3)}
D．{1,2}与{2,1}是不同的集合
答案 AC
解析 {x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}，A正确；集合{0}中有一个元素0，B错误；{x|x<2eq \r(3)}＝{x|x2．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}
C．{x＝1} D．{1}
答案 C
解析 由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合．
3．将集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5,2x－y＝1))))))用列举法表示，正确的是( )
A．{2,3} B．{(2,3)}
C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)
答案 B
解析 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,2x－y＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，))
所以集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5,2x－y＝1))))))＝{(2,3)}．
4．已知集合A＝{1,2,3,4}，则集合B＝{y|y＝3x－2，x∈A}表示正确的是( )
A．B＝{3,6,9,12} B．B＝{1,2,3,4}
C．B＝{1,4,7,10} D．B＝{－2,1,4,7}
答案 C
5．不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
答案 B
解析 不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞)．
6．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2答案 (1)[1，＋∞) (2)(2,4]
7．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．
答案 {－1,4}
解析 ∵4∈A，∴16－12＋a＝0，
∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．
8．集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈N\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(8,x－1)，y∈N))))，B＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y∈N\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(y＝\f(8,x－1)，x∈N))))，用列举法表示A＝________，B＝________.
答案 {2,3,5,9} {1,2,4,8}
解析 因为集合eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈N\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(y＝\f(8,x－1)，y∈N))))，
故x－1为8的正约数，
即x－1的值可以为1,2,4,8，
所以x可以为2,3,5,9，y可以为8,4,2,1.
用列举法表示A＝{2,3,5,9}，B＝{1,2,4,8}．
9．若[a,3a－1]为一确定区间，求a的取值范围．
解 [a,3a－1]为一确定区间，则有3a－1>a，得a>eq \f(1,2).
10．用适当的方法表示下列集合：
(1)由1,2,3三个数字中的两个数字(没有重复数字)所组成的自然数的集合；
(2)方程eq \r(2x＋1)＋|y－2|＝0的解集．
解 (1)由1,2,3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有12,21,13,31,23,32，
用列举法可表示为{12,21,13,31,23,32}．
(2)由eq \r(2x＋1)＋|y－2|＝0，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1＝0，,y－2＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,y＝2，))
所以方程eq \r(2x＋1)＋|y－2|＝0的解集用描述法可表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2),y＝2)))))).
11．(多选)下列命题中错误的是( )
A．0＝{0}
B．由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}
C．方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解构成的集合可表示为{1,1,2}
D．集合{x|2答案 ACD
解析 A错误，0是元素，{0}表示有一个元素0的集合；B正确，由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；C错误，方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解构成的集合可表示为{1,2}；D错误，集合{x|212．已知x，y为非零实数，则集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(x,|x|)＋\f(y,|y|)＋\f(xy,|xy|)))))为( )
A．{0,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．{1，－3}
答案 C
解析 当x>0，y>0时，m＝3，
当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.
若x，y异号，不妨设x>0，y<0，
则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．
13．若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．
答案 2
解析 由题意可知(－5)2－a×(－5)－5＝0，得a＝－4，故方程x2－4x＋4＝0的解为2，即{x|x2－4x－a}＝{2}，则其所有元素之和为2.
14．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}只含有一个元素，则实数a的值是________．
答案 4
解析 当a＝0时，原方程可化为1＝0，显然方程无解，
当a≠0时，一元二次方程ax2＋ax＋1＝0有两个相等的实数解，
则需Δ＝a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝4.
15.用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )
A．{－2≤x≤0且－2≤y≤0}
B．{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}
C．{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}
D．{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}
答案 B
解析 由阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，
∴集合{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}表示阴影部分点的集合．
16．将不超过30的正整数分成A，B，C三个集合，分别表示可以被3整除的数，被3除余1的数，被3除余2的数．请分别用列举法和描述法表示集合A，B，C.
解 A＝{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}＝{x|x＝3k，k∈N,1≤k≤10}，
B＝{1,4,7,10,13,16,19,22,25,28}＝{x|x＝3k－2，k∈N,1≤k≤10}，
C＝{2,5,8,11,14,17,20,23,26,29}＝{x|x＝3k－1，k∈N,1≤k≤10}．定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
集合
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x区间
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)