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2021学年第二章 等式与不等式2.1 等式2.1.3 方程组的解集学案设计
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这是一份2021学年第二章 等式与不等式2.1 等式2.1.3 方程组的解集学案设计，共12页。学案主要包含了一次方程组的解集，二元二次方程组的解集，一次方程组的应用等内容，欢迎下载使用。
2.1.3 方程组的解集
学习目标 1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组.2.掌握二元二次方程组的解法.3.能够根据具体的数量关系，列出一次方程组解决简单的实际问题．
导语
我国古代数学著作《张丘建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”如果设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，且x，y，z为自然数，则当z＝81时，我们如何求x，y的值呢？这节课我们一起研究方程组的解集问题．
一、一次方程组的解集
问题1 如果有一方程组为
那么适合方程①吗？适合方程②吗？
提示 均适合，并且{(x，y)|x＝8，y＝11}为两方程解集的交集．
问题2 如何求方程组的解集呢？三元一次方程组呢？
提示 可以通过消元法求解．
知识梳理
方程组的解集的概念
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集
方程组的解集的解法
求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法
注意点：
1．消元法包括加减消元法和代入消元法．
2．解多元方程组关键是“消元”，解高次方程组关键是“降次”．
3．当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素．此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．
例1 求下列方程组的解集：
(1)
(2)
解 (1)已知
由①得x＝2y＋1，③
把③代入②，得2y＋1＋3y＝6，
解得y＝1.把y＝1代入③得x＝3，
所以原方程组的解为
所以原方程组的解集为{(3,1)}．
(2)已知方程组
①＋②，得5x－z＝14.
①＋③，得4x＋3z＝15.
解方程组得
把x＝3，z＝1代入③，得y＝8.
所以原方程组的解集为{(3,8,1)}．
反思感悟 (1)解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法．
(2)解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去可以使计算量相对较小的未知数；消去的未知数一定是同一未知数．
跟踪训练1 求方程组的解集．
解 已知方程组
①－②×2，得5y－3z＝8，④
③－②，得3y－3z＝6，⑤
由④⑤组成二元一次方程组
解这个二元一次方程组，得
把y＝1，z＝－1代入②，得x＝2，
所以原方程组的解集为{(2,1，－1)}．
二、二元二次方程组的解集
例2 解方程组
解 已知方程组
方法一 由②得x＝2y＋5，③
将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2＝4.
整理，得3y2＋10y＋7＝0.解得y1＝－，y2＝－1.
把y1＝－代入③，得x1＝，
把y2＝－1代入③，得x2＝3.
所以原方程组的解是或
所以原方程组的解集为.
方法二 由①得(x＋y)2＝4，
即x＋y＝2或x＋y＝－2.
原方程组转化为或
解得或
所以原方程组的解集为.
反思感悟 这种类型的方程组主要的方法是代入消元法，转化为一个一元二次方程，之后再“回代”．如果能分解成两个二元一次方程，就可以分别联立成二元一次方程组再解(如本例方法二)．
跟踪训练2 解方程组
解 已知
由方程②，得y＝1－x，③
把方程③代入方程①，得x2＋(1－x)2＝1.
整理，得x2－x＝0.解得x1＝0，x2＝1.
把x1＝0代入方程③，得y1＝1；
把x2＝1代入方程③，得y2＝0.
原方程组的解是或
即其解集为{(0,1)，(1,0)}．
例3 求方程组的解集．
解 已知方程组
由①得x2－y2－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y－5)＝0，
∴x＋y＝0或x－y－5＝0，
∴ 原方程组可化为两个方程组
或
解这两个方程组，
得原方程组的解集是{(－1，－6)，(6,1)，(，－)，(－，)}．
反思感悟 解“二·二”型的二元二次方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可以转化为 “二·一”型方程组．
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，可以转化为四个二元一次方程组．
跟踪训练3 解方程组
解 方程组可化为
即为或
或或
解得或或或
所以原方程组的解集为.
三、一次方程组的应用
例4 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
解 设每餐甲、乙两种原料各需x g，y g，则有下表：
甲原料x g
乙原料y g
所配的营养品
其中所含蛋白质
0.5x单位
0.7y单位
(0.5x＋0.7y)单位
其中所含铁质
x单位
0.4y单位
(x＋0.4y)单位
根据题意及上述表格，可列方程组
化简，得
①－②，得y＝30，
把y＝30代入②中，得x＝28.
答 每餐需甲种原料28 g，乙种原料30 g.
反思感悟 用一次方程组解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系．
(2)设元：用字母表示题目中的未知数．
(3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组．
(4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值．
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答．
跟踪训练4 水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)
车型
甲
乙
丙
汽车运载量(吨/辆)
5
8
10
汽车运费(元/辆)
400
500
600
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
解 (1)设需甲车型x辆，乙车型y辆，
得解得
答 需甲车型8辆，乙车型10辆．
(2)设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，
得
消去z得5x＋2y＝40，x＝8－y，
因为x，y是正整数，且不大于16，得y＝5,10，
由z是正整数，解得或
有两种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆．
1．知识清单：
(1)求一次方程组的解集．
(2)求二元二次方程组的解集．
(3)一次方程组的实际应用．
2．方法归纳：代入消元法、加减消元法．
3．常见误区：消元不恰当造成运算烦琐．
1．若x，y满足方程组则x＋y的值是( )
A．5 B．－1 C．0 D．1
答案 A
解析
方法一 ②×2－①，得3y＝9，解得y＝3.
把y＝3代入②，得x＝2.
所以x＋y＝2＋3＝5.
方法二 由①＋②，得3x＋3y＝15.
化简，得x＋y＝5.
2．求方程组的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取( )
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
答案 B
解析 根据系数特点，先消去y最简便，故选B.
3．如果的解是正数，那么a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B.
C. D.
答案 C
解析 由解得
由即
解得－2
答案 {(－2，－1)，(1,2)}
解析 ∵
∴－x2＋3＝x＋1，
∴x2＋x－2＝0，
∴(x＋2)(x－1)＝0，
∴x＝1或x＝－2，分别代入y＝x＋1可得或
∴方程组的解集为{(－2，－1)，(1,2)}．
5．已知方程x＋3y＝5，请写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为这个方程可以是________．
答案 x－4y＝0(答案不唯一)
解析 设所写出的二元一次方程为y＝kx＋b(k≠0)．
把(4,1)代入y＝kx＋b，得1＝4k＋b，
令b＝0，则k＝，
∴这个方程可以是y＝x，即x－4y＝0.
1．若方程组的解集是{(1，－1)}，则a，b为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 将x＝1，y＝－1代入方程组，
可解得a＝1，b＝0.
2．(多选) 方程组的解集为( )
A．{－1,2} B．{(－1,2)}
C. D.
答案 BD
解析 由
①＋②×4得，27x＋27＝0，得x＝－1，
代入①得y＝2.
所以方程组的解是
3．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人．设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 根据组数×每组7人＝总人数－3人，得方程7y＝x－3；
根据组数×每组8人＝总人数＋5人，得方程8y＝x＋5.
列方程组为
4．若二元一次方程3x－y＝7,2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为( )
A．3 B．－3 C．－4 D．4
答案 D
解析 由得
代入y＝kx－9得－1＝2k－9，解得k＝4.
5．(多选)方程组的解集的子集有( )
A．{(3,5)，(－1，－3)} B．{(2,6)}
C．{(－1，－3)} D．{2,6}
答案 AC
解析
由①得y＝2x－1，代入②得
3x2－2x－(2x－1)2＝－4，
整理得x2－2x－3＝0，
解得或
故方程组的解集为{(3,5)，(－1，－3)}．
6．已知二元一次方程2x－3y－5＝0的一组解为则6b－4a＋3＝________.
答案 －7
解析 ∵是二元一次方程2x－3y－5＝0的解，
∴2a－3b－5＝0，即2a－3b＝5，
∴6b－4a＋3＝－2(2a－3b)＋3＝－2×5＋3＝－10＋3＝－7.
7．三元一次方程组的解集是________．
答案 {(1，－1，－2)}
解析 已知
由①＋②，得2x＋4y＝－2，即x＋2y＝－1，④
由②×3＋③，得3x＋11y＝－8，⑤
④⑤组成二元一次方程组得
解得把y＝－1代入②中，得z＝－2.
故方程组的解是
8．已知A＝{(x，y)|x2＋4y2－4＝0}，B＝{(x，y)|x－2y－2＝0}，则A∩B＝____________.
答案 {(2,0)，(0，－1)}
解析 已知
由②得x＝2y＋2，③
把③代入①，整理得8y2＋8y＝0，
即y(y＋1)＝0，解得y1＝0，y2＝－1，
把y1＝0代入③，得x1＝2，
把y2＝－1代入③，得x2＝0，
所以原方程组的解是或
即其解集是{(2,0)，(0，－1)}．
即A∩B＝{(2,0)，(0，－1)}．
9．已知是二元一次方程组的解，求的值．
解 把代入二元一次方程组
得解得
∴原式＝＝＝4.
10．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”方法：将方程②变形为4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5③，将方程①代入③得2×3＋y＝5，∴y＝－1，将y＝－1代入①得x＝4，∴方程组的解为请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)已知x，y满足方程组求整式x2＋4y2＋xy的值．
解 (1)由题知方程组为
将方程②变形为9x－6y＋2y＝19，
即3(3x－2y)＋2y＝19，③
将方程①代入③得3×5＋2y＝19，解得y＝2；将y＝2代入①得x＝3，
∴方程组的解为
(2)由题知方程组为
由①得3(x2＋4y2)＝47＋2xy，
即x2＋4y2＝，③
把方程③代入②得2×＋xy＝36，
解得xy＝2，将xy＝2代入③得x2＋4y2＝17，
∴x2＋4y2＋xy＝17＋2＝19.
11．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( )
A．120 B．130 C．150 D．180
答案 A
解析 设毛诗有x本，春秋有y本，周易有z本，学生人数为m，
则解得
12．已知|x－z＋4|＋|z－2y＋1|＋|x＋y－z＋1|＝0，则x＋y＋z等于( )
A．9 B．10 C．5 D．3
答案 A
解析 由题意，得
③－①，得y＝3.
把y＝3代入②，得z＝5.
把z＝5代入①，得x＝1.
所以x＋y＋z＝1＋3＋5＝9.
13．(多选)已知关于x，y的方程组其中－3≤a≤1，下列选项中，正确的是( )
A．是方程组的解
B．当a＝－2时，x，y的值互为相反数
C．当a＝1时，方程组的解也是方程x＋y＝4－a的解
D．若x≤1，则1≤y≤4
答案 BCD
解析 解方程组得
∵－3≤a≤1，∴－5≤x≤3,0≤y≤4，
A中，不符合－5≤x≤3,0≤y≤4，结论错误．
B中，当a＝－2时，x＝1＋2a＝－3，y＝1－a＝3，x，y的值互为相反数，结论正确．
C中，当a＝1时，x＋y＝2＋a＝3,4－a＝3，方程x＋y＝4－a两边相等，结论正确．
D中，当x≤1时，1＋2a≤1，解得a≤0，且－3≤a≤1，
∴－3≤a≤0，∴1≤1－a≤4，∴1≤y≤4，结论正确．
14．甲、乙、丙三个正整数的和为100，将甲数除以乙数或将丙数除以甲数，所得的商都是5，余数都是1，则甲、乙、丙分别为________．
答案 16,3,81
解析 设甲、乙、丙分别为x，y，z，
所以x＋y＋z＝100，
＝5余1⇒x＝5y＋1，
＝5余1⇒z＝5x＋1，
组成三元一次方程组解得
15．关于x，y的方程3kx＋2y＝6k－3，对于任意k的值都有相同的解，则方程的解集为________．
答案
解析 方程可化为k(3x－6)＋2y＋3＝0，
由题意得解得
16．k为何值时，方程组
(1)有一组实数解，并求出此解；
(2)有两组不相等的实数解；
(3)没有实数解．
解 将①代入②，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，③
当k≠0时，Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＝－16(k－1)．
(1)当k＝0时，y＝2，则－4x＋1＝0，
解得x＝，
方程组的解为
当即k＝1时，原方程组有一组实数解，
将k＝1代入原方程组得
解得
所以当k＝0或k＝1时，
此方程组有一组实数解，
且此解为或
(2)当即k<1且k≠0时，原方程组有两组不相等的实数解，
所以当k<1且k≠0时，
原方程组有两组不相等的实数解．
(3)当时，即当k>1时，方程组无实数解．
2.1.3 方程组的解集
学习目标 1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组.2.掌握二元二次方程组的解法.3.能够根据具体的数量关系，列出一次方程组解决简单的实际问题．
导语
我国古代数学著作《张丘建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”如果设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，且x，y，z为自然数，则当z＝81时，我们如何求x，y的值呢？这节课我们一起研究方程组的解集问题．
一、一次方程组的解集
问题1 如果有一方程组为
那么适合方程①吗？适合方程②吗？
提示 均适合，并且{(x，y)|x＝8，y＝11}为两方程解集的交集．
问题2 如何求方程组的解集呢？三元一次方程组呢？
提示 可以通过消元法求解．
知识梳理
方程组的解集的概念
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集
方程组的解集的解法
求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法
注意点：
1．消元法包括加减消元法和代入消元法．
2．解多元方程组关键是“消元”，解高次方程组关键是“降次”．
3．当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素．此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．
例1 求下列方程组的解集：
(1)
(2)
解 (1)已知
由①得x＝2y＋1，③
把③代入②，得2y＋1＋3y＝6，
解得y＝1.把y＝1代入③得x＝3，
所以原方程组的解为
所以原方程组的解集为{(3,1)}．
(2)已知方程组
①＋②，得5x－z＝14.
①＋③，得4x＋3z＝15.
解方程组得
把x＝3，z＝1代入③，得y＝8.
所以原方程组的解集为{(3,8,1)}．
反思感悟 (1)解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法．
(2)解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去可以使计算量相对较小的未知数；消去的未知数一定是同一未知数．
跟踪训练1 求方程组的解集．
解 已知方程组
①－②×2，得5y－3z＝8，④
③－②，得3y－3z＝6，⑤
由④⑤组成二元一次方程组
解这个二元一次方程组，得
把y＝1，z＝－1代入②，得x＝2，
所以原方程组的解集为{(2,1，－1)}．
二、二元二次方程组的解集
例2 解方程组
解 已知方程组
方法一 由②得x＝2y＋5，③
将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2＝4.
整理，得3y2＋10y＋7＝0.解得y1＝－，y2＝－1.
把y1＝－代入③，得x1＝，
把y2＝－1代入③，得x2＝3.
所以原方程组的解是或
所以原方程组的解集为.
方法二 由①得(x＋y)2＝4，
即x＋y＝2或x＋y＝－2.
原方程组转化为或
解得或
所以原方程组的解集为.
反思感悟 这种类型的方程组主要的方法是代入消元法，转化为一个一元二次方程，之后再“回代”．如果能分解成两个二元一次方程，就可以分别联立成二元一次方程组再解(如本例方法二)．
跟踪训练2 解方程组
解 已知
由方程②，得y＝1－x，③
把方程③代入方程①，得x2＋(1－x)2＝1.
整理，得x2－x＝0.解得x1＝0，x2＝1.
把x1＝0代入方程③，得y1＝1；
把x2＝1代入方程③，得y2＝0.
原方程组的解是或
即其解集为{(0,1)，(1,0)}．
例3 求方程组的解集．
解 已知方程组
由①得x2－y2－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y－5)＝0，
∴x＋y＝0或x－y－5＝0，
∴ 原方程组可化为两个方程组
或
解这两个方程组，
得原方程组的解集是{(－1，－6)，(6,1)，(，－)，(－，)}．
反思感悟 解“二·二”型的二元二次方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可以转化为 “二·一”型方程组．
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，可以转化为四个二元一次方程组．
跟踪训练3 解方程组
解 方程组可化为
即为或
或或
解得或或或
所以原方程组的解集为.
三、一次方程组的应用
例4 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
解 设每餐甲、乙两种原料各需x g，y g，则有下表：
甲原料x g
乙原料y g
所配的营养品
其中所含蛋白质
0.5x单位
0.7y单位
(0.5x＋0.7y)单位
其中所含铁质
x单位
0.4y单位
(x＋0.4y)单位
根据题意及上述表格，可列方程组
化简，得
①－②，得y＝30，
把y＝30代入②中，得x＝28.
答 每餐需甲种原料28 g，乙种原料30 g.
反思感悟 用一次方程组解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系．
(2)设元：用字母表示题目中的未知数．
(3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组．
(4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值．
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答．
跟踪训练4 水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)
车型
甲
乙
丙
汽车运载量(吨/辆)
5
8
10
汽车运费(元/辆)
400
500
600
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
解 (1)设需甲车型x辆，乙车型y辆，
得解得
答 需甲车型8辆，乙车型10辆．
(2)设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，
得
消去z得5x＋2y＝40，x＝8－y，
因为x，y是正整数，且不大于16，得y＝5,10，
由z是正整数，解得或
有两种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆．
1．知识清单：
(1)求一次方程组的解集．
(2)求二元二次方程组的解集．
(3)一次方程组的实际应用．
2．方法归纳：代入消元法、加减消元法．
3．常见误区：消元不恰当造成运算烦琐．
1．若x，y满足方程组则x＋y的值是( )
A．5 B．－1 C．0 D．1
答案 A
解析
方法一 ②×2－①，得3y＝9，解得y＝3.
把y＝3代入②，得x＝2.
所以x＋y＝2＋3＝5.
方法二 由①＋②，得3x＋3y＝15.
化简，得x＋y＝5.
2．求方程组的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取( )
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
答案 B
解析 根据系数特点，先消去y最简便，故选B.
3．如果的解是正数，那么a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B.
C. D.
答案 C
解析 由解得
由即
解得－2
答案 {(－2，－1)，(1,2)}
解析 ∵
∴－x2＋3＝x＋1，
∴x2＋x－2＝0，
∴(x＋2)(x－1)＝0，
∴x＝1或x＝－2，分别代入y＝x＋1可得或
∴方程组的解集为{(－2，－1)，(1,2)}．
5．已知方程x＋3y＝5，请写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为这个方程可以是________．
答案 x－4y＝0(答案不唯一)
解析 设所写出的二元一次方程为y＝kx＋b(k≠0)．
把(4,1)代入y＝kx＋b，得1＝4k＋b，
令b＝0，则k＝，
∴这个方程可以是y＝x，即x－4y＝0.
1．若方程组的解集是{(1，－1)}，则a，b为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 将x＝1，y＝－1代入方程组，
可解得a＝1，b＝0.
2．(多选) 方程组的解集为( )
A．{－1,2} B．{(－1,2)}
C. D.
答案 BD
解析 由
①＋②×4得，27x＋27＝0，得x＝－1，
代入①得y＝2.
所以方程组的解是
3．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人．设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 根据组数×每组7人＝总人数－3人，得方程7y＝x－3；
根据组数×每组8人＝总人数＋5人，得方程8y＝x＋5.
列方程组为
4．若二元一次方程3x－y＝7,2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为( )
A．3 B．－3 C．－4 D．4
答案 D
解析 由得
代入y＝kx－9得－1＝2k－9，解得k＝4.
5．(多选)方程组的解集的子集有( )
A．{(3,5)，(－1，－3)} B．{(2,6)}
C．{(－1，－3)} D．{2,6}
答案 AC
解析
由①得y＝2x－1，代入②得
3x2－2x－(2x－1)2＝－4，
整理得x2－2x－3＝0，
解得或
故方程组的解集为{(3,5)，(－1，－3)}．
6．已知二元一次方程2x－3y－5＝0的一组解为则6b－4a＋3＝________.
答案 －7
解析 ∵是二元一次方程2x－3y－5＝0的解，
∴2a－3b－5＝0，即2a－3b＝5，
∴6b－4a＋3＝－2(2a－3b)＋3＝－2×5＋3＝－10＋3＝－7.
7．三元一次方程组的解集是________．
答案 {(1，－1，－2)}
解析 已知
由①＋②，得2x＋4y＝－2，即x＋2y＝－1，④
由②×3＋③，得3x＋11y＝－8，⑤
④⑤组成二元一次方程组得
解得把y＝－1代入②中，得z＝－2.
故方程组的解是
8．已知A＝{(x，y)|x2＋4y2－4＝0}，B＝{(x，y)|x－2y－2＝0}，则A∩B＝____________.
答案 {(2,0)，(0，－1)}
解析 已知
由②得x＝2y＋2，③
把③代入①，整理得8y2＋8y＝0，
即y(y＋1)＝0，解得y1＝0，y2＝－1，
把y1＝0代入③，得x1＝2，
把y2＝－1代入③，得x2＝0，
所以原方程组的解是或
即其解集是{(2,0)，(0，－1)}．
即A∩B＝{(2,0)，(0，－1)}．
9．已知是二元一次方程组的解，求的值．
解 把代入二元一次方程组
得解得
∴原式＝＝＝4.
10．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”方法：将方程②变形为4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5③，将方程①代入③得2×3＋y＝5，∴y＝－1，将y＝－1代入①得x＝4，∴方程组的解为请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)已知x，y满足方程组求整式x2＋4y2＋xy的值．
解 (1)由题知方程组为
将方程②变形为9x－6y＋2y＝19，
即3(3x－2y)＋2y＝19，③
将方程①代入③得3×5＋2y＝19，解得y＝2；将y＝2代入①得x＝3，
∴方程组的解为
(2)由题知方程组为
由①得3(x2＋4y2)＝47＋2xy，
即x2＋4y2＝，③
把方程③代入②得2×＋xy＝36，
解得xy＝2，将xy＝2代入③得x2＋4y2＝17，
∴x2＋4y2＋xy＝17＋2＝19.
11．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( )
A．120 B．130 C．150 D．180
答案 A
解析 设毛诗有x本，春秋有y本，周易有z本，学生人数为m，
则解得
12．已知|x－z＋4|＋|z－2y＋1|＋|x＋y－z＋1|＝0，则x＋y＋z等于( )
A．9 B．10 C．5 D．3
答案 A
解析 由题意，得
③－①，得y＝3.
把y＝3代入②，得z＝5.
把z＝5代入①，得x＝1.
所以x＋y＋z＝1＋3＋5＝9.
13．(多选)已知关于x，y的方程组其中－3≤a≤1，下列选项中，正确的是( )
A．是方程组的解
B．当a＝－2时，x，y的值互为相反数
C．当a＝1时，方程组的解也是方程x＋y＝4－a的解
D．若x≤1，则1≤y≤4
答案 BCD
解析 解方程组得
∵－3≤a≤1，∴－5≤x≤3,0≤y≤4，
A中，不符合－5≤x≤3,0≤y≤4，结论错误．
B中，当a＝－2时，x＝1＋2a＝－3，y＝1－a＝3，x，y的值互为相反数，结论正确．
C中，当a＝1时，x＋y＝2＋a＝3,4－a＝3，方程x＋y＝4－a两边相等，结论正确．
D中，当x≤1时，1＋2a≤1，解得a≤0，且－3≤a≤1，
∴－3≤a≤0，∴1≤1－a≤4，∴1≤y≤4，结论正确．
14．甲、乙、丙三个正整数的和为100，将甲数除以乙数或将丙数除以甲数，所得的商都是5，余数都是1，则甲、乙、丙分别为________．
答案 16,3,81
解析 设甲、乙、丙分别为x，y，z，
所以x＋y＋z＝100，
＝5余1⇒x＝5y＋1，
＝5余1⇒z＝5x＋1，
组成三元一次方程组解得
15．关于x，y的方程3kx＋2y＝6k－3，对于任意k的值都有相同的解，则方程的解集为________．
答案
解析 方程可化为k(3x－6)＋2y＋3＝0，
由题意得解得
16．k为何值时，方程组
(1)有一组实数解，并求出此解；
(2)有两组不相等的实数解；
(3)没有实数解．
解 将①代入②，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，③
当k≠0时，Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＝－16(k－1)．
(1)当k＝0时，y＝2，则－4x＋1＝0，
解得x＝，
方程组的解为
当即k＝1时，原方程组有一组实数解，
将k＝1代入原方程组得
解得
所以当k＝0或k＝1时，
此方程组有一组实数解，
且此解为或
(2)当即k<1且k≠0时，原方程组有两组不相等的实数解，
所以当k<1且k≠0时，
原方程组有两组不相等的实数解．
(3)当时，即当k>1时，方程组无实数解．
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