第五章 三角函数单元测试（基础版）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

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2022-2023学年上学期第五章 三角函数单元测试卷（基础版）

高一数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教必修一2019第五单元 三角函数。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．（2021·河北衡水中学高一期末）（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用诱导公式进行求值.

【详解】

．

故选：A．

2．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小正周期为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意，故选C．

【名师点睛】函数的性质：

(1).

(2)最小正周期

(3)由求对称轴.

(4)由求增区间;由求减区间.

3．（2020·天津·汉沽一中高一期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（    ）

A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变

【答案】B

【分析】

直接利用三角函数伸缩变换法则得到答案.

【详解】

为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点

横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

故选：

【点睛】

本题考查了三角函数的伸缩变换，意在考查学生对于三角函数图像变换的理解和掌握.

4．（2021·北京二中高一期末）函数的值域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

利用二倍角的余弦把函数式化成关于的二次型函数，再换元求解即得.

【详解】

，

令，则，

于是有时，，时，，

所以函数的值域为.

故选：D

5．（2021·北京十五中高三期中）已知函数的部分图象如图所示，则点的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

利用给定图象列出周期和初相关系式即可作答.

【详解】

观察图象得：，则，

而时，，于是有，又，则，

所以点P的坐标为.

故选：A

6．（2021·河北衡水中学高一期末）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先求出，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出.

【详解】

由题意可得：，且，

所以，

所以，

故选：C

【点睛】

本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.

7．（2021·北京二中高一期末）将函数的图像先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图像，若且，则的最大值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由三角函数的图象变换，得到，根据若，得到，解得，得到，即可求解.

【详解】

由题意，函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，

若且，

则，则，解得，

因为，所以，

当时，取得最大值，最大值为，

故选C.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

8．（2020·全国·高一课时练习）关于函数，，，且在上单调，有下列命题：

（1）的图象向右平移个单位后关于轴对称

（2）

（3）的图象关于点对称

（4）在上单调递增

其中正确的命题有（        ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】

先根据条件确定解析式，再根据图象变换以及正弦函数性质逐一判断选择.

【详解】

，

或

或

或或

因为在上单调，所以

因此或，（验证舍去）或

的图象向右平移个单位得，不关于轴对称，（1）错；

，（2）对；

，（3）错；

当时，，所以在上单调递增，（4）对；

故选：B

【点睛】

本题考查求三角函数解析式、三角函数图象与性质，考查综合分析求解能力，属中档题.

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）

9．（2020·江苏·仪征市第二中学高三月考）下列结论正确的是（　　）

A．是第三象限角

B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为

C．若角的终边过点，则

D．若角为锐角，则角为钝角

【答案】BC

【分析】

利用象限角的定义可判断A选项的正误；利用扇形面积公式可判断B选项的正误；利用三角函数的定义可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，且为第二象限角，故为第二象限角，A错；

对于B选项，扇形的半径为，因此，该扇形的面积为，B对；

对于C选项，由三角函数的定义可得，C对；

对于D选项，取，则角为锐角，但，即角为锐角，D错.

故选：BC.

10．（2021·河北衡水中学高一期末）已知角α的终边经过点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】

求得点的坐标，根据三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系式确定正确选项.

【详解】

由题意可得，则，

，．

.

所以ACD选项正确.

故选：ACD

11．（2021·安徽·池州市江南中学高一期末）已知函数，部分图象如图所示，下列说法不正确是（    ）

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点对称

C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象

D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是

【答案】ABC

【分析】

根据函数的部分图象求出函数解析式，然后根据正弦函数的性质一一判断．

【详解】

解:由函数的图象可得，由，求得．

再根据五点法作图可得，又，求得，

∴函数，

当时，，不是最值，故A不成立；

当时，，不等于零，故B不成立；

将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C不成立；

当时，，

∵，，

故方程在上有两个不相等的实数根时，则的取值范围是，故D成立．

故选:ABC.

【点睛】

本题考查三角函数的图象与性质，解答的关键是由函数的部分图象求出函数解析式，属于基础题．

12．（2021·全国·高一单元测试）如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（    ）

A．转动后点距离地面

B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的

C．第和第点距离地面的高度相同

D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为

【答案】AC

【分析】

求出摩天轮的周期，设出时间，求出点上升的高度，求出点距离地面的高度，再逐个分析判断即可

【详解】

解：摩天轮转一圈，

在内转过的角度为，

建立平面直角坐标系，如图，

设是以轴正半轴为始边，表示点的起始位置为终边的角，

以轴正半轴为始边，为终边的角为，

即点的纵坐标为，

又由题知，点起始位置在最高点处，

点距地面高度关于旋转时间的函数关系式为：

即

当时，，故A正确；

若摩天轮转速减半，，则其周期变为原来的2倍，故B错误；

第点距安地面的高度为

第点距离地面的高度为

第和第时点距离地面的高度相同，故C正确；

摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于，

即，

即，，

得，

或，

解得或，

共，故D错误．

故选：AC．

第Ⅱ卷

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．（2021·全国·高一专题练习）______________

【答案】

【详解】

由二倍角公式可得： .

14．（2021·河北衡水中学高一期末）若，则________.

【答案】

【分析】

利用诱导公式，求得所求表达式的值.

【详解】

依题意.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查诱导公式的运用，属于基础题.

15．（2021·北京二中高一期末）已知，且，则的值是___________.

【答案】

【分析】

利用诱导公式化成表示，并求出这个函数值，再根据给定条件求出，最后经角的变换即可作答.

【详解】

因，即，则

又，即，则，

而，，即，，

则有，

所以的值是.

故答案为：

16．（2021·北京二中高一期末）若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】

由可得出，分析可知，其中，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】

当且时，，

因为函数在区间内既没有最大值，也没有最小值，

则，其中，

所以，，解得，由，可得，

因为且，当时，；当时，；当时，.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（2020·天津·汉沽一中高一期末）已知．

（1）求和的值；

（2）求的值．

【答案】（1） ，  （2）

【分析】

（1）直接利用同角三角函数的关系计算得到答案.

（2）直接利用和差公式展开得到答案.

【详解】

（1）由，

（2）

【点睛】

本题考查了三角函数值的计算，意在考查学生的计算能力.

18．（2021·河北衡水中学高一期末）已知，，且.

（1）求的值；

（2）求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）先根据，且，求出，则可求，再求；

（2）先根据，，求出，再根据求解即可.

【详解】

（1）∵且，

∴，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

又∵，

∴，

，

所以.

【点睛】

三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题.

19．（2021·河北衡水中学高一期末）已知函数的部分图象如下图所示.

（1）求函数的解析式，并写出函数的单调递增区间；

（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域.

【答案】（1），递增区间为；

（2）.

【分析】

（1）由三角函数的图象，求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解.

（2）由三角函数的图象变换，求得，根据的图象关于直线对称，求得的值，得到，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】

（1）由图象可知，，

所以，所以，

由图可求出最低点的坐标为，所以，

所以，所以，

因为，所以，所以，

由，可得.

所以函数的单调递增区间为.

（2）由题意知，函数，

因为的图象关于直线对称，

所以，即，

因为，所以，所以.

当时，，可得，

所以，即函数的值域为.

【点睛】

解答三角函数的图象与性质的基本方法：

1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；

2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.

20．（2021·河北衡水中学高一期末）已知函数，，图象上相邻两个最低点的距离为．

（1）若函数有一个零点为，求的值；

（2）若存在，使得（a）（b）（c）成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）化简函数解析式，根据周期计算，根据零点计算；

（2）求出在，上的最值，解不等式得出的范围．

【详解】

（1），

的图象上相邻两个最低点的距离为，

的最小正周期为：，故．

是的一个零点，

，，

（2），

若，，则，，

，

故在，上的最大值为，最小值为，

若存在，使得（a）（b）（c）成立，

则，

．

【点睛】

关键点点睛：本题第二问属于存在，使不等式成立，即转化为，转化为三角函数求最值.

21．（2020·天津·汉沽一中高一期末）已知函数，．

（1）求使得的最大值时的集合；

（2）求在，上的单调减区间；

（3）若方程在上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   （2）   （3）

【分析】

（1）化简得到，计算得到答案.

（2）设，根据单调区间得到计算得到答案.

（3）根据（2）得到在上单调递增，在上单调递减，计算最值得到答案.

【详解】

（1）

设，函数取得最大值的集合为

，解得：

所以使得的最大值时的集合为：.

（2）设，

函数的单调减区间是

即，解得 所以函数的单调减区间是.

（3）由（2）可知在上单调递增，在上单调递减

且

若方程在上有两个不同的实数解，则.

【点睛】

本题考查了三角函数的单调性，最值，方程解的个数问题，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.

22．（2021·北京二中高一期末）设函数

（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；

（2）求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值.

【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为；(2)的最大值是2，此时，的最小值是1，此时.

【分析】

(1)利用二倍角的正余弦公式把函数作三角变换，再利用正弦型函数的性质即可得解；

(2)x在区间内时，讨论相位所在区间，再利用正弦函数取最值的性质即可作答.

【详解】

(1) ，

的最小正周期为，

由得，，

所以函数的对称轴方程为；

(2)由(1)知，时，，则，即时，，，即时，，

的最大值是2，此时，的最小值是1，此时.