高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系教课内容ppt课件

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1.理解判别式的作用，掌握一元二次方程的解法：因式分解法(包括“十字相乘法”)、配方法和求根公式法.2.掌握一元二次方程根与系数的关系.
1.了通过求一元二次方程的解集及根与系数关系的应用，提升逻辑推理和数学运算素养.解
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1.思考　能否将x2＋4x－5＝0化为(x－k)2＝t的形式？能借助此形式求出这个方程的解集吗？提示　 利用配方法可以将x2＋4x－5＝0化为(x＋2)2＝ 9，借助开方可求得一元二次方程的解集为{－5，1}.
2.填空　(1)一元二次方程的解法
3.做一做　(1)已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值为________.
(2)方程2(x－3)＝3x(x－3)的解集为_______________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 已知关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根.(1)求m的取值范围；
题型一　一元二次方程判别式的应用
解　分两种情况讨论：①当m＋1＝0，即m＝－1时，此时方程为－2x－4＝0，必有实数根；②当m＋1≠0，即m≠－1时，原方程是一元二次方程，有实数根需满足Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12≥0，
(2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根.
两边同时乘以－2，得x2＋6x＋9＝0，即(x＋3)2＝0，解得x1＝x2＝－3.
在使用根的判别式解决问题时，要注意：(1)一元二次方程的解的情况分为“无实根”、“有两个相等的实根”、“有两个不等的实根”三种情况，注意与判别式的对应关系；(2)利用根的判别式确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二次项系数不为0这个隐含条件，否则容易出错.
训练1 不解方程，判别下列方程根的情况.(1)x2－14x＋12＝0；(2)4x2＋12x＋9＝0；(3)2x2－3x＋6＝0.
解　(1)Δ＝(－14)2－4×1×12＝148＞0，∴x2－14x＋12＝0有两个不相等的实数根；(2)Δ＝122－4×4×9＝0，∴4x2＋12x＋9＝0有两个相等的实数根；(3)Δ＝(－3)2－4×2×6＝－39＜0，∴2x2－3x＋6＝0没有实数根.
例2 用适当的方法求下列方程的解集：(1)x2－2x－8＝0；
题型二　求一元二次方程的解集
解　法一　移项，得x2－2x＝8，配方，得(x－1)2＝9，由此可得x－1＝±3，∴x1＝4，x2＝－2，∴方程的解集为{－2，4}.法二　原方程可化为(x－4)(x＋2)＝0，∴x－4＝0或x＋2＝0，∴x1＝4，x2＝－2，∴方程的解集为{－2，4}.
(2)2x2－7x＋6＝0；(3)(x－1)2－2x＋2＝0.
解　 (2)法一　原方程可化为(x－2)(2x－3)＝0，
(3)原方程可化为(x－1)2－2(x－1)＝0.提取公因式，得(x－1)(x－1－2)＝0，∴x－1＝0或x－3＝0，∴x1＝1，x2＝3，∴方程的解集为{1，3}.
解一元二次方程时，首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如果不能用这两种方法，再考虑用公式法或配方法.公式法是解一元二次方程的通用方法，可以解所有的一元二次方程.
训练2 求下列方程的解集： (1)x4－3x2＋2＝0；
解　(1)令y＝x2≥0，得y2－3y＋2＝0，∴y＝1或y＝2，即x2＝1或x2＝2，
解　令x2－x＝t，得t2－t－2＝0，∴t1＝－1或t2＝2，即x2－x＋1＝0　①或x2－x－2＝0　②.对①，Δ＝－3＜0，无实数解；对②，易得x＝－1或x＝2，故原方程的解集为{－1，2}.
题型三　一元二次方程根与系数关系的应用
应用一元二次方程根与系数的关系时，要注意以下几点：(1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化为一般形式.(2)应用时，不要漏掉“－”号.(3)应用根与系数的关系公式前，首先确定判别式Δ的值，Δ≥0是应用公式的前提.
训练3 已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2. (1)求k的取值范围；
(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值.
∵|x1＋x2|＝x1x2－1，∴|2(k－1)|＝k2－1　①，
1.求一元二次方程的解集时，先用判别式判定解的情况，再求解集.2.判别式Δ≥0是运用根与系数的关系式的前提.3.运用根与系数的关系式求代数式的值、化简代数式、求参数的值(范围)时，一般要注意恒等变形和整体代入.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的适当方法是(　　)A.开平方法 B.配方法C.公式法 D.因式分解法
解析　由(5x－1)2＝3(5x－1)，得(5x－1)(5x－4)＝0，再求解最简单.故选D.
2.如果x2＋2(m－2)x＋9是完全平方式，那么m的值为(　　)A.5 B.5或－1C.－1 D.－5或－1
解析　由题意得m－2＝±3，∴m＝5或m＝－1.
3.下列结论正确的是(　　)
4.已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两实数根，则α2＋αβ＋β2的值为(　　)
A.－1 B.9 C.23 D.27
5.(多选)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和为45，则a的值可能为(　　)A.－9 B.－5C.5 D.9
解析　设方程的两根为x1，x2，
所以(x1＋x2)2－2x1x2＝45.因为x1＋x2＝a，x1x2＝2a，所以a2－2×2a＝45.解得a1＝－5，a2＝9.又因为Δ＝a2－8a，当a＝－5或9时，Δ＞0，此时方程有两实数根.
6.若关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数解是________.
解析　∵关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，∴Δ＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，解得m≤5.5，且m≠5，则m的最大整数解是m＝4.
7.已知方程x2＋4x－2m＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝________，β＝________，m＝________.
解析　由Δ＝16＋8m＞0得m＞－2，由题意α＝β－4，即α－β＝－4　①，又α＋β＝－4　②，由①②得α＝－4，β＝0，∴αβ＝0＝－2m，∴m＝0.
8.关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根为负，则实数m的取值范围是________.
9.求下列方程的解集：
10.设x1，x2是方程3x2－2x－4＝0的两根，不解方程，求下列各式的值：
11.(多选)关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是(　　)A.当m＝0时，方程只有一个实数根B.当m＝1时，方程有两个相等的实数根C.当m＝－1时，方程没有实数根D.当m＝2时，方程有两个不相等的实数根
当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，
因为Δ＝(－4)2－4×(－1)×6＞0，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；
当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，
因为Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，
所以此时方程无实数根，D错误.故选AB.
12.规定：a⊗b＝(a＋b)b，如：2⊗3＝(2＋3)×3＝15，若2⊗x＝3，则x＝________.
解析　依题意得(2＋x)x＝3，整理得x2＋2x＝3，所以(x＋1)2＝4，所以x＋1＝±2，所以x＝1或－3.
13.已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根. (1)求k的取值范围；