高中数学2.2.2 不等式的解集教学设计及反思

第二章  等式与不等式

2.2.2 不等式的解集教学设计

教材分析：

本节内容为不等式的解集与不等式组的解集、绝对值不等式。不等式组的解集为两个不等式解集的交集，绝对值不等式是本节的重难点，但结合数轴来解题的话就比较明了。

教学目标：

1.帮助学生理解不等式解集的概念，使学生会用集合表示不等式（组）的解集；

2.帮助学生掌握绝对值不等式的解法；

3.帮助学生理解绝对值的几何意义，并利用几何意义推导数轴上两点间距离公式和中点坐标公式；

4.让学生体会化归与转化、数形结合的思想方法，发展学生数学运算、直观想象和逻辑推理等数学素养，培养学生回归概念寻找解决问题方法的解题习惯.

【教学重点】

1.掌握不等式组解集的方法.

2.理解绝对值的定义，借助数轴解决简单绝对值不等式.

3.掌握并理解数轴上两点之间的距离公式和数轴上的中点坐标公式.

4.学会如何求绝对值不等式

【教学难点】

1.正确用数轴来理解绝对值不等式

2.求解复杂绝对值不等式.

课前准备

回顾初中所学的不等式组和简单绝对值不等式的解法。

教学过程

一、不等式的解集与不等式组的解集

从初中数学中我们已经知道，能够使不等式成的未知数的值称为不等式的解，解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质。

一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.

【典型例题】

例1   求不等式组

                                   2x+1≥-9，          ①

                                                       ②

的解集.

解   ①式两边同时加上一1，得

2x≥-10，

这个不等式两边同时乘以  ，得x≥-5，因此①的解集为[-5，+oo）.

类似地，可得②的解集为（-oo，-3）.

又因为

[-5，+oo）∩（-oo，-3）=[-5，-3），

所以原不等式组的解集为[-5，-3）.

二、绝对值不等式

我们知道，数轴上表示数a的点与原点的距离称为数a的绝对值，记作|a|.而且：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式。例如，

|x|>3，|x-1|≤2

都是绝对值不等式.

【尝试与发现】

根据绝对值的定义可知，|x|>3等价于

                    x≥0，            x＜0，

                    x＞3      或     -x＞3，

即x>3或x<-3，因此|x|>3的解集为（-oo，-3）∪（3，+oo）.

不等式|x|>3的解集也可由绝对值的几何意义得到：因为|x|是数轴上表示数x的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于3的点对应的所有数组成的集合就是|x|>3的解集，从而由下图可知所求解集为（-oo，-3）∪（3，+oo）.

用类似方法可知，当m>0时，关于x的不等式|x|>m的解为x>m或x<-m，因此解集为

（-oo，-m）∪（m，+oo）；

关于x的不等式|x|≤m的解为-m≤x≤m，因此解集为

                           [-m，m]

【尝试与发现】

如果将a-1当成一个整体，比如令x=a-1，则

|a-1|≤2|x|≤2，

因此|a-1|≤2的解集可以通过求解|x|≤2得到，请读者自行尝试。

下面我们来探讨|a-1|的几何意义，并由此得出不等式|a-1|≤的解集。

【尝试与发现】  

当a=-2时，|a-1|=|-2-1|=3，而且在数轴上，表示-2的点与表示1的点的距离是3；当a=3时，|a-1|=|3-1|=2，而且在数轴上，表示3的点与表示1的点的距离是2.因此，如果数轴上表示a的点为A，表示1的点为B，则A，B之间的距离为|a-1|，如下图所示。

这样一来，数轴上与表示1的点的距离小于或等于2的点对应的所有数组成的集合就是|a-1|≤2的解集，又因为数轴上与表示1的点的距离等于2的点对应的数分别为-1和3，因此由上图可知|a-1|≤2的解集为

[-1，3].

一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），则线段AB的长为

这就是数轴上两点之间的距离公式.更进一步，如果线段AB的中点M对应的数为x，则由AM=MB可知|a-x|=|x-b|，因此：当a<b时，有a<x<b，从而

x-a=b-x，

所以

当a≥b时，类似可得上式仍成立。这就是数轴上的中点坐标公式。

【典型例题】

例2  设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围.

解    因为AB的中点对应的数为      ，所以由题意可知

即|3+x|≤10，因此-10≤3+x≤10，所以-13≤x≤7，因此x的取值范围是

     [-13，7] 

【探索与研究】

教学反思

本节内容难点在于解绝对值不等式，教师传颂学生一定的方法“套路”，则变得非常简单。