高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.3 方程组的解集教学设计及反思

第二章 等式与不等式

《2.1.3 方程组的解集》教学设计

教学目标

1．掌握解方程组的方法．

2．判断方程组解集是有限集还是无限集．

3．解读古代数学语境，能正确列出方程组．

教学重难点

教学重点：1．用消元法解方程组．

2．判断方程组是有限集还是无限集．

3．在特定的语境中能正确列出方程组．

教学难点：在应用题中正确解读语境，能够列出题目要求的方程组．
课前准备

PPT课件．

教学过程

一、整体概述

问题1：阅读课本第51~54页，回答下列问题：

（1）本节将要研究哪类问题？

（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？

师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．

预设的答案：（1）本节将要研究方程组的解集．（2）起点是二元一次方程的解集，目标是会用消元法求解二元一次方程组、三元一次方程组以及二元二次方程组．提升数学运算素养．

设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架。

二、探索新知

1．情境与问题

《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾田三来⑧，中禾二秉，下禾一来，实三十九斗⑤；上禾二乘，中禾三来，下禾一乘，实三十四斗；上禾一乘，中禾二秉，下禾三乘，实二十六斗．问上、中、下禾实一乘各几何．请列方程组求解这个问题．

设计意图：以古代名题创设情境，既让学生了解中国古代数学史，激发学生的爱国情怀，又激发学生学习数学的兴趣．

2．探究新知

知识点1  方程组的解集

问题1：为了更好地解决上述问题，我们先来研究以下问题：将x－y=1看成含有两个未知数x，y的方程：

（1）判断（x，y）=（3，2）（指的是下同）是否是这个方程的解；

（2）判断这个方程的解集是有限集还是无限集．

师生活动：学生回答：因为3－2=1，所以（x，y）=（3，2）是方程x－y=1的解．教师与学生一起讨论，只要给定一个x或y的值，随之可得相应的y或x的值，进而得到方程的一个解，所以方程x－y=1的解集是无限集．

【想一想】二元一次方程的解集都是无限集吗？

师生活动：学生回答！

预设的答案：是！

问题2：在刚才二元一次方程的基础上再增加一个方程，如何求方程组的解集？解集是有限集还是无限集．

师生活动：学生回答：是一个方程组，而且通过①+②可以消去y，得到x=2；②一①可以消去x，得到y=1，从而得出这个方程组的解为（x，y）=（2，1）．

教师总结：一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．因此，方程组 的解集是{（x，y）| x－y=1 } ∩ {（x，y）| x+y=3 }={（2，1）}．

由上可以看出，求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是以前学过的消元法（消元的方法有代入消元法与加减消元法）．

【想一想】一般情况下，二元一次方程组的解集是单元素集合，那么二元一次方程组的解集都是单元素集合吗？

师生活动：学生讨论，派代表回答！如二元一次方程组的解集为空集；二元一次方程组的解集为无限集．

预设的答案：不是！

问题3：如何求解情境与问题中的实际应用问题？

师生活动：学生互相讨论，并请一代表回答：

设上禾实一秉x斗，中禾实一秉y斗，下禾实一秉z斗，根据题意，可列方程组

由此可解得这个方程组的解集为．

教师总结：解三元一次方程组的基本步骤：（1）观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；（2）利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；（3）解二元一次方程组，求出两个未知数的值；（4）将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；（5）写出三元一次方程组的解．

【想一想】如果是三个未知时两个方程，如何求解集呢？如：设方程组的解集为A．判断（x，y，z）=（3，2，0）和（x，y，z）=（4，4，1）是否是集合A中的元素；判断A是一个有限集还是一个无限集．

师生活动：学生回答：（x，y，z）=（3，2，0）和（x，y，z）=（4，4，1）均为上述方程组的解．师生一起探讨：如果我们将z看成已知数，就可以解得x= z +3，y=2 z +2．

这样一来，方程组的解集可以写成A={（x，y，z）|x= z +3，y=2 z +2，z∈R）．

不难看出，这个集合含有无限多个元素，是一个无限集．

教师总结：当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．

设计意图：层层递进 ，让学生熟悉和理解二元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组的求解方法以及解集是有限集还是元限集． 

三、初步应用

例1 今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．分别求出该市今年外来和外出旅游的人数．

师生活动：学生思考分析，派代表发言：根据等量关系“去年外来旅游的人数－去年外出旅游的人数＝20万人”和“今年外来旅游的人数＋今年外出旅游的人数＝226万人”列方程组求解．教师写出规范解答．

预设的答案：解：设去年同期外来旅游的人数为x万人，外出旅游的人数为y万人．

由题意得

解这个方程组，得．

所以（1＋30%）x＝130，（1＋20%）y＝96．

故该市今年外来和外出旅游的人数分别是130万人和96万人．

方程组应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、列方程组来加以解决．

教师总结：列方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出题目中的两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案．

设计意图：数学来源于生活，又作用于生活！通过本题说明如何求解实际应用问题．

例2  求方程组的解集．

师生活动：师生一起来认识这个方程组，探讨求解方法．教师写出规范解题过程．

预设的答案：解：将②代入①，整理得x2+x－2=0，解得x=1或x=－2．

利用②可知，x=1时，y=2；x=－2时，y=－1．

所以原方程组的解集为{（1，2），（－2，－1）}．

设计意图：通过本题说明如何用代入消元法求一个是二元一次方程与一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解集．

例3 求方程组    的解集．

师生活动：师生一起来认识这个方程组，观察方程组中两个方程之间的联系，给出消元的方案． 教师写出规范解题过程．

预设的答案：解：由①－②，整理得

x+2y－3=0．③

由③解得x=3－2y．代人①，并整理，得5y2－12y+7=0，解得

        y=1或  

利用③可知，y=1时，x=1； 时，

因此，原方程组的解集为．

设计意图：通过本题说明如何用化归法求解一类二元二次方程组的解集：两个都是二元二次的方程组成的二元二次方程组，首先通过加减消元转化为例1的类型，进而再用代入消元法将方程组求解问题转化为一元二次方程的求解问题．

练习：教科书P54练习A1、2、3、4、5

四、归纳小结，布置作业

1．板书设计：

2.1.3方程组的解集

1．方程组的解集

二元一次方程的解集

二元一次方程组的解集

三元一次方程的解集

二元二次方程的解集

例1

例2

例3

2．总结概括：

回顾本节课，你有什么收获？

（1）二元一次方程的解集

（2）二元一次方程组的解集

（3）三元一次方程组的解集

（4）二元二次方程组的解集

师生活动：学生总结，老师适当补充．

作业：教科书P55练习B 1、2、3、4、5

【拓展阅读】

《九章算术》中的代数成就简介

《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共246个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就，代数方面，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程组，情境与问题中的题是其中的第一个问题．《九章算术》给出了解这个问题的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下．

3 2 1 39  3 2 1 39  3 2 1 39  4 0 0 37

2 3 1 34  0 5 1 24  0 5 1 24  0 4 0 17

1 2 3 26  0 4 8 39  0 0 4 11  0 0 4 11

其中第一步是将第二行的数乘以3，然后不断地减去第一行，直到第一个数变为0为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似．

不难看出，“遍乘直除”的目的在于消元．按照我国著名数学史学家李文林先生的说法，《九章算术》的方程术，是世界数学史上的一颗明珠．

《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则．

另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是给出了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的数值求解步骤．

而且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开．这是意识到了无理数的存在．你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅有关书籍或网络进行了解吧！