高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.1 命题与量词教案设计

第一章 集合与常用逻辑用语

1.2.1命题与量词

教材分析

常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。

教学目标

1.了解命题的概念，能够判断一个语句是不是命题，会判断命题的真假；

2.理解全称量词、存在量词的意义，并能正确判断全称量词命题、存在量词命题的真假；

3.会用自然语言、符号语言表示全称量词命题和存在量词性命题.

教学重难点

教学重点：理解全称量词与存在量词的意义.

教学难点：判断全称量词命题与存在量词命题的真假.
教学过程

【新课导入】

1.情境与问题：

“命题”这个词在新闻报道中经常可以看到.例如：“从最直接的生态保护方式之一-----植树造林，到多种更具有创造性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保“新命题”.（2017年12月21日《中国青年报》）我们在数学中也经常接触到“命题”这两个字，你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗？

师生活动：老师组织学生分组讨论，派代表表述本组结论.

设计意图：通过生活中的大家熟悉的情境中提取数学概念，使其更通俗易懂.这里通过《中国青年报》的文章设置了情境，除了引出了“命题”的概念，说明生活中所说的命题与数学中的命题不完全相同之外，还有一个目的是：引发学生对自然环境的关注和思考，具备生态环境保护的意识.教师在教学时可以提出这一点，从而达到“立德树人”“培养全面发展的人”等教学目的.

【探究新知】

知识点1  命题

阅读课本第22页，23页，回答下列问题：

（1）什么是命题？

（2）命题是如何分类的？

（ 3 ）命题可以用什么来表示？

师生活动：老师组织学生分组讨论，派代表表述本组结论.由此可知：（1）命题是可以正假判断的陈述句，也就是说，一个语句要是命题必须满足：①陈述句；②可以判断真假.两个条件缺一不可. （2）命题可分为真命题和假命题.判断为真的命题为真命题.判断为假的命题为假命题. （ 3 ）命题可以用小写英文字母表示.例如：命题.

【尝试与发现】

下列命题中，　   　　　 　是真命题，　  　　　　　是假命题.（填序号）

（1）；

（2）所有无理数都大于零；

（3）平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；

（4） 一次函数的图像经过点； 

（5）设是任意实数，如果，则；

（6） .

师生活动：根据对命题相关概念的学习和理解，完成上述命题的真假判断，并归纳判断一个命题真假的方法.

教师总结：判断命题真假的一般方法：（1）推理法（2）反例法

预设的答案：（1）（3）（4）（6）为真命题，（2）（5）为假命题.

设计意图：加深对命题的概念的理解及其掌握命题真假判断的方法.

知识点2  量词

问题：在数学中，有很多命题都是针对特定集合而言的，结合下列命题回答问题：

（1）任意给定实数；  

（2） 存在有理数，使得；

（3）每一个有理数都能写成分数的形式；

（4）所有的自然数都大于或等于零；

（5） 有一个实属范围内，至少有一个使得有意义；     

（6）方程在实数范围内有两个解；

（7）每一个直角的三条边长都满足勾股定理.

在上列命题中，哪些命题具有相同的特点？具体说明.

师生活动：学生认真观察，发现：

（1）（3）（4）（7）中含有的“任意”“每一个”“所有的”，都陈述的是指集合中的所有元素都具有特定性质，（2）（5）（6）中的“存在”“至少有一个”，陈述的是指定集合中的某些元素具有特定性质.

教师总结：这里给出的一组命题，从形式上可以分为两类，一类是带有“任意”“每一个”“所有的”， 即含有全称量词的命题；另一类是带有“存在”“至少”“有”， 即含有存在量词的命题.

（1）全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体.

用符号“”表示 .

全称量词命题：含有全称量词的命题.形如：

对集合中所有元素可简记为：     

（2）存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分.

用符号“”表示 .

存在量词命题：含有存在量词的命题.形如：

存在集合中所有元素可简记：   

追问：上述7个命题中是全称量词命题的为                    ；是存在量词命题的为                    .

预设的答案：命题（1）（3）（4）（7）都是全称量词命题；命题（2）（5）（6）都是存在量词命题.

设计意图：具体的实例，观察以上命题具有哪些共同的特点为新授知识做铺垫，并介绍新知识.

【练一练】将下列命题改写为符号语言

（1）任意给定实数   可简记为：                    

（2）存在有理数，使得可简记为：                    

师生活动：学生尝试完成，教师指正.

预设的答案：（1）      （2）

设计意图：通过练习，巩固新知.

【尝试与发现】

若记是整数，则通过指定所在的集合和添加量词，就可以构成命题.例如：   根据上述内容，回答问题：

（1）上述4个命题 中，真命题是                  ；

（2）总结出判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法.

师生活动：分组讨论：（1）真命题： ;

总结方法：

要判断全称量词命题是真命题，必须对限定集合中每一个元素，验证成立；

但要判定其是假命题，却只需举出集合中的一个元素，使得不成立即可即“举反例”.

要判断存在量词命题是真命题，只要在限定集合中的找到一个元素，

使得成立即可即“举例说明”；但要判定其是假命题，却需说明集合中的每一个元素 ，

都使得不成立.

【巩固练习】

例1下列命题：

①{2，3，4，2}是由四个元素组成的集合；

②集合{0}表示仅由一个数“零”组成的集合；

③集合{1，2，3}与{3，2，1}是两个不同的集合；

④集合{小于1的正有理数}是一个有限集．其中正确命题是（    ）

A．只有③④     B．只有②     C．只有①②     D．只有②③④

师生活动：学生独立完成并回答，教师指正.

预设的答案：对于①有两个2，故不满足集合的互异性，故①错；

对于②{0}中只有一个元素“0”，故②对；

对于③由于集合中的元素是无序的，故{1，2，3}={3，2，1}故③错；

对于④小于1的正有理数是有无限个的，故④错.

故选B.

设计意图：补充例题，通过学生思考并回答，使学生学会判断命题的真假，培养学生分析和解决问题的能力.

例2 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；

(3)矩形的对角线不相等；

(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

师生活动：学生独立完成并回答，教师指正.

预设的答案：(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．

 (2)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．

(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．

(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．

设计意图：通过学生思考并回答，进一步熟悉两种含量词的命题.

例3 判断下列命题的真假：

（1）          （2）

（3）              （4）

师生活动：独立完成，教师提问，学生回答，并指正.

预设的答案：（1）真命题   （2）假命题    （3）真命题      （4）假命题

设计意图：通过例题，是通过让学生思考并回答，使学生会判断两种特殊命题的真假，培养学生分析和解决问题的能力.

课堂练习   教材P25-26   练习A   1， 2，3

师生活动：学生回答，学生纠错，教师点评.

设计意图：通过让学生思考并回答，巩固新知，查缺补漏.

【课堂小结】

1．板书设计

1.2.1命题与量词

（1）命题：可供真假判断的陈述语句称为命题.

判断为真的语句称为真命题. 判断为假的语句称为假命题.

（2）全称量词：“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体.

全称量词命题 ：

（3）存在量词：存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分。

存在量词命题：

例1             例2           例3

作业：教材P26  练习B

2．总结概括：

回顾本节课，你有什么收获？

师生活动：学生可以从以下三点分别回答：

（1）命题  （2）量词  （3）两种特殊命题的形式及其真假判断

作业：教材P26  练习B

【拓展阅读】

1．课本P23   数学中的猜想

2．命题，由于自然语言的不同可以有不同的描述方法，这可以进一步体现出数学语言的精准和简练

全称量词命题“”可以表示为：

（1) 所有的成立：

（2) 对一切成立：

（3) 每一个成立：

（4) 任取一个成立；

（5) 凡是，都有成立.

存在量词命题“ ”可以表示为：

（1) 存在，使成立；

（2) 至少有一个，使成立；

（3) 有些，使成立；

（4) 某个，使成立；

（5) 有，使成立.

设计意图：让学生自主阅读相关内容，以培养学生的数学阅读能力，在培养学生学习兴趣的同时，让有志于数学研究的学生树立远大的理想.