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    人教B版 (2019)2.1.3 方程组的解集优秀学案设计

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    这是一份人教B版 (2019)2.1.3 方程组的解集优秀学案设计,共6页。







    知识点 方程组的解集


    1.一般地,将多个方程联立,就能得到方程组,方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集. 求解方程组的常用方法是消元法.


    2.当方程组中未知数的个数大于方程的个数时,方程组的解集可能含有无穷多个元素. 此时,如果将其中一些未知数看成常数,那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.








    探究一 解三元一次方程组


    解方程组:


    (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x+y-3z=3,①,3x-y+2z=-1,②,x-y-z=5;③)) (2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∶y=3∶2,①,y∶z=5∶4,②,x+y+z=66.③))


    解 (1)①+②,得5x-z=2,④


    ②-③,得2x+3z=-6,⑤


    联立④⑤eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x-z=2,,2x+3z=-6,))


    解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=0,,z=-2,))代入①,得y=-3,[来源:Z#xx#k.Cm]


    所以原方程的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=0,,y=-3,,z=-2.))


    (2)由①,得x∶y=15∶10.


    由②,得y∶z=10∶8,所以x∶y∶z=15∶10∶8.


    设x=15k,y=10k,z=8k,并代入③,


    得15k+10k+8k=66,解得k=2.


    所以原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=30,,y=20,,z=16.))


    [方法总结]


    解三元一次方程的方法


    解三元一次方程组时,注意代入法的应用,即通过代入,将三元一次方程变为二元一次方程的求解问题.eq \( ,\s\d4( ,))


    [跟踪训练1] 解三元一次方程组:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x+4z=7,①,2x+3y+z=9,②,5x-9y+7z=8.③))


    解 ②×3+③,得11x+10z=35.④


    ①、④组成方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x+4z=7,,11x+10z=35,))


    解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=5,,z=-2,))代入方程②,得y=eq \f(1,3).


    所以原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=5,,y=\f(1,3),,z=-2.))


    探究二 解方程组在实际问题中的应用


    今年学校举行足球联赛,共赛17轮(即每队均需参赛17场),记分办法是:胜1场得3分,平1场得1分,负1场得0分.在这次足球比赛中,小虎足球队得16分,且踢平场数是所负场数的整数倍,则小虎足球队所负场数的情况有( )


    A.2种 B.3种


    C.4种 D.5 种


    B [设小虎足球队胜了x场,平了y场,负了z场,依题意,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y+z=17,①,3x+y=16,②,y=kz.③))把③代入①②,


    得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+k+1z=17,,3x+kz=16.))解得z=eq \f(35,2k+3)(k为整数).


    又因为z为正整数,


    所以当k=1时,z=7;当k=2时,z=5;当k=16时,z=1.


    综上所述,小虎足球队所负场数的情况有3种情况.]


    [方法总结]


    解与三元一次方程有关的实际问题的关键是通过分析题目条件,建立三元一次方程组,将问题转化为计算来进行. ,


    [跟踪训练2] 利用两块长方体木块测量一张桌子的高度,首先按图1方式放置,再交换两木块的位置,按如图2所示的方式放置,测量的数据如图,则桌子的高度是( )





    A.73 cm B.74 cm


    C.75 cm D.76 cm


    C [设桌子的高度为h cm,长文体的长为x cm,宽为y cm.


    则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(h-y+x=80,①,h-x+y=70,②))①+②,得2h=150,


    所以h=75,故桌子高度为75 cm.]





    课时作业(十一) 方程组的解集





    1.下列以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,y=-1))为解的二元一次方程组是( )


    A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y=0,,x-y=1)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y=0,,x-y=-1))


    C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y=0,,x-y=2)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y=0,,x-y=-2))


    答案 C


    2.方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x+2y=7,6x-2y=11))的解是( )


    A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-1,y=5)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,y=2))


    C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=3,y=-1)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2,y=\f(1,2)))


    D [eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x+2y=7 ①,6x-2y=11 ②)),①+②得,x=2,把x=2代入①得6+2y=7,解得y=eq \f(1,2),故原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2,y=\f(1,2))).]


    3.为了丰富学生课外小组活动,培养学生动手操作能力,王老师让学生把7 m长的彩绳截成2 m或1 m的彩绳,用来做手工编织,在不造成浪费的前提下,你有几种不同的截法( )


    A.1 B.2


    C.3 D.4


    D [设截成2 m的彩绳x根,截成1 m的彩绳y根,


    依题意,得:2x+y=7,所以y=7-2x.又因为x,y均为非零整数,所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=0,y=7))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,y=5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2,y=3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=3,y=1)),所以共有4种不同的截法.]


    4.如图所示是最近微信朋友圈常被用来“醒醒盹,动动脑”的图片,请你一定认真观察,动动脑子想一想,图中的?表示什么数( )[来源:]





    A.25 B.15


    C.12 D.14


    B [结合题图,图中的鞋子为x只,小猪玩具为y只,字母玩具为z只,依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6x=30,2x+2y=20,,y+4z=13))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=5,y=5,z=2)),


    故x+yz=5+5×2=15.]


    5.用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品;用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品;要生产甲种产品37件,乙种产品18件,则恰好需用A、B两种型号的钢板共________块.


    11 [设需用A型钢板x块,B型钢板y块,依题意,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x+3y=37 ①,x+2y=18 ②)),(①+②)÷5,得x+y=11.]


    6.某项球类比赛,每场比赛必须分出胜负,其中胜1场得2分,负1场得1分.某队在全部16场比赛中得到25分,求这个队胜、负场数分别是多少?


    解 设该队胜x场,负y场,则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y=16,2x+y=25 )),


    解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=9,y=7)) ,故这个队胜9场,负7场.


    7.解方程组:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a-b+c=7,①,2a+3b=-2,②,a+b+c=-1.③))


    解 ①-③,得2a-2b=8.④


    ④-②,得-5b=10,所以b=-2.


    将b=-2代入②,得a=2.


    将a=2,b=-2代入③,得c=-1.


    所以方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=2,,b=-2,,c=-1.))


    8.解方程组:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x2-4y2=20,,\r(15)x-2y=2\r(15).))


    解 依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x2-4y2=20①,,\r(15)x-2y=2\r(15)②,))由②得4y2=15x2-60x+60③,将③代入①化简得x2-6x+8=0,解此方程得x=2或x=4,代入②得y=0或y=eq \r(15),所以原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2,y=0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=4,y=\r(15).))





    1.某宾馆有单人间、双人间和三人间三种客房供游客租住,某旅行团有18人准备同时租用这三种客房共9间,且每个房间都住满,则租房方案共有________种.( )


    A.3 B.4


    C.5 D.6


    B [设宾馆有客房:单人间x间、二人间y间、三人间z间,根据题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+2y+3z=18,x+y+z=9)),解得y+2z=9,y=9-2z,因为x,y,z都是小于9的正整数,


    当z=1时,y=7,x=1;当z=2时,y=5,x=2;


    当z=3时,y=3,x=3当z=4时,y=1,x=4[来源:]


    当z=5时,y=-1(不合题意,舍去)


    所以租房方案有4种.]


    2.鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学趣题,出自《孙子算经》.原文为:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?小雪自己解决完此题后,又饶有兴趣地为同学编制了四道题目:


    ①今有雉兔同笼,上有三十头,下有五十二足,问雉兔各几何?


    ②今有雉兔同笼,上有三十头,下有八十一足,问雉兔各几何?


    ③今有雉兔同笼,上有三十四头,下有九十足,问雉兔各几何?


    ④今有雉兔同笼,上有三十四头,下有九十二足,问雉兔各几何?


    根据小雪编制的四道题目的数据,可以求得鸡兔只数的题目是________(填序号).


    ③④ [设笼中有x只雉,y只兔,根据题得,


    ①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y=30,2x+4y=52)),解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=34,y=-4)),不符合题;


    ②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y=30,2x+4y=81)),此方程组无整数解,不符合题意;


    ③eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y=34,2x+4y=90)),解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=23,y=11)),符合题意;


    ④eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y=34,2x+4y=92)),解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=22,y=12)),符合题意;


    故答案为:③④.]


    3.《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱.问合伙人、羊价各是多少?


    设合伙人为x人,羊价为y钱,根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组:


    甲同学:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=5x+45,y=7x+3)),乙同学:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=5x-45,y=7x+3))


    请你判断哪位同学所列方程组正确,并帮助解答.


    解 设合伙人为x人,羊价为y钱,


    依题意,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=5x+45,y=7x+3)),


    所以甲同学列的方程组正确,


    解该方程组,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=21,y=150)).


    合伙人为21人,羊价为150钱.


    4.阅读理解:


    小聪在解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x+5y=3 ①,4x+11y=5 ②))时,发现方程组中①和②之间存在一定的关系,他发现了一种“整体代换”法,具体解法如下:


    解 将方程②变形为:4x+10y+y=5


    即2(2x+5y)+y=5 ③


    把方程①代入方程③得:2×3+y=5解得y=-1


    把y=-1代入方程①得x=4[来源]


    所以方程组的解是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=4,y=-1))


    (1)模仿小聪的解法,解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x-2y=5 ①,9x-4y=19 ②))


    (2)已知x,y满足方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x2-2xy+12y2=47 ①,2x2+xy+8y2=36 ②)),


    解答:


    (ⅰ)求x2+4y2的值;


    (ⅱ)求3xy的值.


    解 (1)把方程②变形:3(3x-2y)+2y=19, ③


    把①代入③得:15+2y=19,得y=2,


    把y=2代入①得x=3,


    则方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=3,y=2)).


    (2)(ⅰ)由①得:3(x2+4y2)=47+2xy,


    即x2+4y2=eq \f(47+2xy,3), ④


    ②式整理得2(x2+4y2)+xy=36, ⑤


    将④代入⑤得2×eq \f(47+2xy,3)+xy=36,解得xy=2,


    将xy=2代入③得x2+4y2=17,[来源:学_科_网]


    (ⅱ)由(ⅰ)知xy=2,则3xy=6.


    5.(拓广探索)小明到某服装商场进行社会调查,了解到该商场为了激励营业员的工作积极性,实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法,并获得如下信息:


    营业员A:月销售件数200件,月总收入3 400元;


    营业员B:月销售件数300件,月总收入3 700元;


    假设营业员的月基本工资为x元,销售每件服装奖金为y元.


    (1)求x,y的值;


    (2)商场为了多销售服装,对顾客推荐一种购买方式:如果购买甲服装3件,乙服装2件,丙服装1件共需390元;如果购买甲服装1件,乙服装2件,丙服装3件共需370元.某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元?


    解 (1)根据题意,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+200y=3 400,,x+300y=3 700,))


    解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2 800,,y=3.))


    (2)设购买一件甲服装需要a元,购买一件乙服装需要b元,购买一件丙服装需要c元,


    根据题意,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a+2b+c=390, ①,a+2b+3c=370, ②))


    (①+②)÷4,得:a+b+c=190.


    故购买甲、乙、丙服装各一件共需190元.





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