2021学年2.1.3 方程组的解集同步测试题

这是一份2021学年2.1.3 方程组的解集同步测试题，共6页。

1．方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝3，,3x＋5y＝8，))的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，1)) B.eq \b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\c1(（x，y）))eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝1，y＝1))
C．{2，－1} D.eq \b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\c1(（x，y）))eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝2，y＝－1))
解析：选B eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝3， ①,3x＋5y＝8， ②))
①×5－②得，7x＝7，∴x＝1.
代入①得y＝1.
2．已知{(x，y)|(2，1)}是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax－3y＝－1，,x＋by＝5，))的解集，则a，b的值为( )
A．a＝－1, b＝3 B．a＝1, b＝3
C．a＝3, b＝1 D．a＝3, b＝－1
解析：选B 因为{(x，y)|(2，1)}是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax－3y＝－1，,x＋by＝5，))的解集，所以把x＝2，y＝1代入方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－3＝－1，,2＋b＝5，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3.))
3．方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝1，,3x2－2x－y2＝－4，))的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(（3，5）))，（－1，－3）))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(（3，5）))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(（－1，3）))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(（3，5），（3，－1）))))
解析：选A eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝1， ①,3x2－2x－y2＝－4， ②))
由①得y＝2x－1，代入②得
3x2－2x－(2x－1)2＝－4，
整理得x2－2x－3＝0，解得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝5，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－3.))
4．若二元一次方程3x－y＝7，2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为( )
A．3 B．－3
C．－4 D．4
解析：选D 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y＝7，,2x＋3y＝1))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1，))
代入y＝kx－9得－1＝2k－9，解得k＝4.故选D.
5．(多选)给出以下说法，其中正确的为( )
A．关于x的方程x＋eq \f(1,x)＝c＋eq \f(1,c)的解是x＝c(c≠0)
B．方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xy＋yz＝63，,xz＋yz＝23，))的正整数解有2组
C．已知关于x，y的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3y＝4－a，,x－y＝3a，))其中－3≤a≤1，当a＝1时，方程组的解也是方程x＋y＝4－a的解
D．以方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－2x＝2，,2x＋y＝3))的解为坐标的点(x，y)在第二象限
解析：选BC 对于A，关于x的方程x＋eq \f(1,x)＝c＋eq \f(1,c)的解是x＝c或x＝eq \f(1,c)(c≠0)，A错误；
对于B，方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xy＋yz＝63， ①,xz＋yz＝23， ②))
∵x，y，z是正整数，∴x＋y≥2，
∵23只能分解为23×1，
∴方程②即为(x＋y)z＝23，∴z＝1，x＋y＝23，
将z＝1代入原方程组可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xy＋y＝63， ③,x＋y＝23， ④))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝21))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝20，,y＝3.))
∴这个方程组的正整数解是(2，21，1)和(20，3，1)，B正确；
对于C，关于x，y的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3y＝4－a，,x－y＝3a，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋2a，,y＝1－a.))
∴x＋y＝2＋a，
当a＝1时，x＋y＝3，
∴方程组的解也是方程x＋y＝4－a＝3的解，C正确；
对于D，解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－2x＝2，,2x＋y＝3，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(5,2).))
∴点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(5,2)))在第一象限，D错误．
6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为________．
答案：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9x＝11y，,（10y＋x）－（8x＋y）＝13))
7．方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－z＝0， ①,y＋z－x＝7， ②,z＋x－y＝9， ③))
的解集为________．
解析：①＋②＋③得x＋y＋z＝16，④
④－①，得z＝8；
④－②，得x＝4.5；
④－③，得y＝3.5.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(4.5，3.5，8)}．
答案：{(x，y，z)|(4.5，3.5，8)}
8．已知方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,y－z＝3，,z＋x＝1，))的解也是方程3x＋my＋2z＝0的解，则m的值为________．
解析：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2， ①,y－z＝3， ②,z＋x＝1. ③))
①＋②，得x－z＝5，④
将③④组成方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(z＋x＝1，,x－z＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,z＝－2.))
把x＝3代入①，得y＝1.
故原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，,z＝－2.))
代入3x＋my＋2z＝0，得9＋m－4＝0，
解得m＝－5.
答案：－5
9．甲、乙两位同学在求方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋by＝2，,cx－3y＝－2))的解集时，甲解得正确答案为{(x，y)|(1，－1)}，乙因抄错了c的值，解得答案为{(x，y)|(2，6)}，求eq \f(a,b)－ac的值．
解：将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1))代入方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＝2， ①,c＋3＝－2， ②))
将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝6))代入ax＋by＝2，得2a＋6b＝2. ③
联立①②③，解得a＝eq \f(7,4)，b＝－eq \f(1,4)，c＝－5，
所以eq \f(a,b)－ac＝eq \f(7,4).
10．已知x，y满足方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x2－2xy＋12y2＝47， ①,2x2＋xy＋8y2＝36. ②))
(1)甲看了看说：这是二元一次方程组；乙想了想说：这不是二元一次方程组，甲、乙两人的说法正确的是________．
(2)求x2＋4y2的值；
(3)若已知：eq \f(1,x)＋eq \f(1,2y)＝eq \f(2y＋x,2xy)和(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy，求eq \f(1,x)＋eq \f(1,2y)的值．
解：(1)原方程组不是二元一次方程组，故乙的说法正确．填乙．
(2)①＋②×2得，7x2＋28y2＝119，
整理得，x2＋4y2＝17.
(3)②×3－①×2得，7xy＝14，
解得，xy＝2，则(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy＝25，
∴2y＋x＝±5，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,2y)＝eq \f(2y＋x,2xy)＝±eq \f(5,4).
[B级 综合运用]
11．已知|x－z＋4|＋|z－2y＋1|＋|x＋y－z＋1|＝0，则x＋y＋z＝( )
A．9 B．10
C．5 D．3
解析：选A 由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－z＋4＝0， ①,z－2y＋1＝0， ②,x＋y－z＋1＝0. ③))
③－①，得y＝3.
把y＝3代入②，得z＝5.
把z＝5代入①，得x＝1.
所以x＋y＋z＝1＋3＋5＝9.故选A.
12．“m＝2”是{(x，y)|mx＋4y－6＝0}∩{(x，y)|x＋my－3＝0}＝∅的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选D 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mx＋4y－6＝0，,x＋my－3＝0，))消元，得(4－m2)y＝6－3m.
当m＝2时，y有无数个解，不符合题意；
当m＝－2时，y无解．
因为{(x，y)|mx＋4y－6＝0}∩{(x，y)|x＋my－3＝0}＝∅，所以m＝－2.故“m＝2”是{(x，y)|mx＋4y－6＝0}∩{(x，y)|x＋my－3＝0}＝∅的既不充分也不必要条件．
13．已知关于x，y的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y＝5，,4ax＋5by＝－22))和eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝－4，,ax－by＝8))有相同的解，则(－a)b的值为________．
解析：因为两方程组有相同的解，所以原方程组可化为
①eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y＝5，,2x＋3y＝－4；))②eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4ax＋5by＝－22，,ax－by＝8.))
解方程组①，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－2.))
代入方程组②，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a－10b＝－22，,a＋2b＝8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3.))
所以(－a)b＝(－2)3＝－8.
答案：－8
14．解方程组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x2＋xy＋y2＝15， ①,3x2－31xy＋5y2＝－45； ②))
(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(4,b2)＝1， ①,\f(16,a2)＋\f(1,b2)＝1. ②))(a>0，b>0)
解：(1)①×3＋②得，3x2－7xy＋2y2＝0，
(3x－y)(x－2y)＝0，
3x－y＝0或x－2y＝0，
将y＝3x代入①得，x2＝1，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－3.))
将x＝2y代入①得，y2＝1，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－1.))
所以原方程组的解集为{(x，y)|(1，3)，(－1，－3)，(2，1)，(－2，－1)}．
(2)令x＝eq \f(1,a2)，y＝eq \f(1,b2).
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋4y＝1，,16x＋y＝1，))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,20)，,y＝\f(1,5)，))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＝\f(1,20)，,\f(1,b2)＝\f(1,5).))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2\r(5)，,b＝\r(5)))(因为a>0，b>0)．
即原方程组的解集为{(a，b)|(2eq \r(5)，eq \r(5))}．
[C级 拓展探究]
15．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
已知该农场计划在设备资金上投入67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用？
解：设水稻、棉花和蔬菜的种植面积分别为x公顷、y公顷和z公顷，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝51，,4x＋8y＋5z＝300，,x＋y＋2z＝67，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝15，,y＝20，,z＝16.))
故种植水稻15公顷、棉花20公顷、蔬菜16公顷，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用．
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入设备资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元