高中数学人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示课时训练

第二章　平面向量

2.3　平面向量的基本定理及坐标表示

2.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3　平面向量的坐标运算

2.3.4　平面向量共线的坐标表示

基础过关练

题组一　平面向量的坐标表示

1.已知=(-2,4),则下面说法正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.A点的坐标是(-2,4)

B.B点的坐标是(-2,4)

C.当B是原点时,A点的坐标是(-2,4)

D.当A是原点时,B点的坐标是(-2,4)

2.在平面直角坐标系中,|a|=2 020,a与x轴正半轴的夹角为,则向量a的坐标是(　　)

A.(1 010,1 010) B.(-1 010,1 010)

C.(1 010,±1 010) D.(1 010,1 010)

3.如图,在正方形ABCD中,O为中心,且=(-1,-1),则=　　　　;=　　　　;=　　　　. 

4.如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC为平行四边形,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b.求向量a,b的坐标.

题组二　平面向量的坐标运算

5.(2020重庆一中高一下月考)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=(　　)

A. B.

C. D.

6.已知△ABC中,=(2,8),=(-3,4),若=,则=(　　)

A.-,6 B.,2

C.(-1,12) D.(5,4)

7.在△ABC中,点P在BC边上,且=2,点Q是AC边的中点,若=(4,3),=(1,5),则=(　　)

A.(-6,21) B.(6,-21)

C.(2,-7) D.(-2,7)

8.(2019四川棠湖中学高考模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),若点P满足++=0,则||=　　　　. 

9.已知向量a=(-2,1),b=(3,5),c=(4,11).

(1)求a-2b;

(2)若c=xa+yb,求x+y的值.

题组三　平面向量共线的坐标表示

10.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),若平面上任意向量c都可以唯一表示为c=λa+μb(λ,μ∈R),则实数m的取值范围是(　　)

A.(-∞,0)∪(0,+∞) B.(-∞,3)

C.(-∞,-3)∪(-3,+∞) D.[-3,3)

11.(2019山西长治第二中学高一期中)若向量m与向量n=(-2,1)共线,且|m|=3,则向量m的坐标为(　　)

A.(-6,3) B.(6,-3)

C.(6,-3)或(-6,3) D.(-6,-3)或(6,3)

12.(2019吉林第五十五中学高一期末)已知向量a=(2,3),b=(-1,4),m=a-λb,n=2a-b,若m∥n,则λ=　　　　. 

能力提升练

一、选择题

1.(2019山东菏泽一中高一月考,★★☆)若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则用a,b表示c为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.c=a-b B.c=-a+bC.c=a-b D.c=-a+b

2.(★★☆)如图所示,若向量e1、e2是一组单位正交向量,则向量2a+b在平面直角坐标系中的坐标为(　　)

A.(3,4) B.(2,4)  C.(3,4)或(4,3) D.(4,2)或(2,4)

3.(2018福建泉州永春一中高二上期中,★★☆)已知向量与单位向量e同向,且A(1,-2),B(-5,2-2),则e的坐标为(　　)

A. B.   C. D.

二、填空题

4.(★★☆)A,B为单位圆(圆心为O)上的点,O到弦AB的距离为,C是劣弧(包含端点)上一动点,若=λ+μ (λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围为　　　　. 

5.(2019江苏高考模拟,★★☆)如图,在平面四边形ABCD中,∠CBA=∠CAD=90°,∠ACD=30°,AB=BC,点E为线段BC的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λμ的值为　　　　. 

三、解答题

6.(2019云南玉溪民族中学高一期末,★★☆)已知三点A(-3,0),B(9,-3),C(3,6),=,=,求证:∥.

7.(2019黑龙江哈尔滨第六中学高一月考,★★☆)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1).

(1)若a-tb与c共线,求实数t的值;

(2)求|a+tb|的最小值及相应的t值.

8.(2019福建厦门双十中学高一下期中,★★★)根据平面向量基本定理,若e1,e2为一组基底,同一平面的向量a可以被唯一确定地表示为a=xe1+ye2,则向量a与有序实数对(x,y)一一对应,称(x,y)为向量a在基底e1,e2下的坐标.特别地,若e1,e2分别为x,y轴正方向的单位向量i,j,则称(x,y)为向量a的直角坐标.

(1)据此证明向量加法的直角坐标公式:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2);

(2)如图,在直角三角形OAB中,∠AOB=90°,||=1,||=,点C在AB边上,且⊥,求向量在基底,下的坐标.

答案全解全析

第二章　平面向量

2.3　平面向量的基本定理及坐标表示

2.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3　平面向量的坐标运算

2.3.4　平面向量共线的坐标表示

基础过关练

1.D　由向量的坐标表示方法可知,当A是原点时,B点的坐标是(-2,4).

2.C　设a=(x,y),则x=2 020cos=1 010,|y|=2 020sin=1 010.

故a=(1 010,±1 010).

3.答案　(1,-1);(1,1);(-1,1)

解析　=-=-(-1,-1)=(1,1),

由正方形的对称性可知,B(1,-1),

所以=(1,-1),则=-=-(1,-1)=(-1,1).

4.解析　如图所示,作AM⊥x轴于点M,

则OM=OA·cos 45°=4×=2,

AM=OA·sin 45°=4×=2,

∴A(2,2),故a=(2,2).

∵∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,

∴∠COy=30°.

又∵OC=AB=3,∴C-,,∴==-,,即b=-,.

5.D　a-2b+3c=(5,-2)-2×(-4,-3)+3(x,y)=(13+3x,4+3y)=0,

所以解得

即c=-,-.

6.A　因为=(2,8),=(-3,4),所以=-=(-5,-4).因为=,所以M为BC边的中点,所以==,所以=+=(2,8)+=.故选A.

7.A　由题意可得=(+),

∴=2-,

∴=2(1,5)-(4,3)=(-2,7),

∴=3=(-6,21).故选A.

8.答案　2

解析　因为++=0,所以P为△ABC的重心,故点P的坐标为,即P(2,2),故||=2.

9.解析　(1)a-2b=(-2,1)-2(3,5)

=(-8,-9).

(2)∵c=xa+yb,

∴(4,11)=x(-2,1)+y(3,5),

∴解得

∴x+y=3.

10.C　根据平面向量基本定理可知,

若平面上任意向量c都可以唯一表示为c=λa+μb(λ,μ∈R),

则向量a,b不共线,由a=(1,3),b=(m,2m-3)得2m-3≠3m,解得m≠-3,

即实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,+∞).故选C.

11.C　根据题意,设向量m的坐标为(x,y),

由向量m与向量n=(-2,1)共线,得=,即x=-2y,所以m=(-2y,y),

因为|m|=3,所以==3,解得y=±3.

当y=-3时,x=6;当y=3时,x=-6.

所以向量m的坐标为(6,-3)或(-6,3).故选C.

12.答案　

解析　m=a-λb=(2,3)-λ(-1,4)=(λ+2,3-4λ),n=2a-b=2(2,3)-(-1,4)=(5,2),

因为m∥n,所以2(λ+2)=5(3-4λ),解得λ=.

能力提升练

一、选择题

1.A　设c=x1a+x2b(x1,x2∈R),

因为向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),所以(-1,2)=(x1+x2,x1-x2),

所以解得

所以c=a-b.故选A.

2.A　建立如图所示的平面直角坐标系,

易知e1=(1,0),e2=(0,1),

∴2a=(2,1),b=(1,3),

∴2a+b=(2,1)+(1,3)=(3,4),

即向量2a+b在平面直角坐标系中的坐标为(3,4).故选A.

3.B　由两点间的距离公式可知,线段AB===4,即||=4.因为向量与单位向量e同向,=(-5,2-2)-(1,-2)=(-6,2),所以e=·=(-6,2)=-,.故选B.

二、填空题

4.答案　

解析　如图,以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系,设A,B两点在x 轴上方且线段AB 与y轴垂直.

因为A,B为单位圆(圆心为O)上的点,O到弦AB的距离为,所以不妨设点A,点B,

故=,=,

即λ=,μ=,

所以=λ+μ=.

设点C的坐标为(x,y),则=(x,y).

又C是劣弧(包含端点)上一动点,

所以

所以≤≤1 ,解得1≤λ+μ≤ ,故λ+μ的取值范围为.

5.答案　

解析　以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设AB=BC=2,

则有A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(2,1),所以=(2,2),=(2,1),AC=2,AD=2×tan 30°=.

过点D作DF⊥x轴于点F,

则∠DAF=180°-90°-45°=45°,

DF=sin 45°=×=,

所以D-,,=-,,因为=λ+μ(λ,μ∈R),

所以(2,2)=λ-,+μ(2,1),

所以解得

故λμ的值为.

三、解答题

6.证明　由题意得=(3,6)-(-3,0)=(6,6),==(2,2),所以点E的坐标为(-3,0)+(2,2)=(-1,2).

又=(3,6)-(9,-3)=(-6,9),

==(-2,3),

所以点F的坐标为(9,-3)+(-2,3)=(7,0),所以=(7,0)-(-1,2)=(8,-2),

=(9,-3)-(-3,0)=(12,-3),

又8×(-3)-12×(-2)=0,所以∥.

7.解析　(1)∵a-tb=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2-t),c=(3,-1),且a-tb与c共线,

∴(-3-2t)×(-1)-(2-t)×3=0,解得t=.

(2)∵a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),

∴a+tb=(-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t),

∴|a+tb|=

==,

易知当t=时,|a+tb|取得最小值,

最小值为.

8.解析　(1)证明:由a=(x1,y1),b=(x2,y2)可得a=x1i+y1 j,b=x2i+y2 j,

∴a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,

∴a+b=(x1+x2,y1+y2).

(2)解法一(向量法):根据几何性质易知∠OAB=60°,||=,||=,

从而=,所以+=(+),所以=+,

即=+,∴向量在基底,下的坐标为,.

解法二(坐标法):以O为坐标原点,,的方向为x轴,y轴正方向建立直角坐标系,则A(1,0),B(0,),由几何性质易得C,.

设=x+y(x,y∈R),又知A(1,0),B(0,),则,=x(1,0)+y(0,)=(x,y),

∴∴

∴=+.∴向量在基底,下的坐标为,.