人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算课后测评

第二章　平面向量

2.2　平面向量的线性运算

2.2.3　向量数乘运算及其几何意义

基础过关练

题组一　向量数乘的定义与线性运算

1.若a=-b(b≠0),则(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.a和b方向相同,且|a|=2|b|      B.a和b方向相同,且|b|=2|a|

C.a和b方向相反,且|a|=2|b|      D.a和b方向相反,且|b|=2|a|

2.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命题中正确的是(　　)

①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,则a=b;④若ma=na,则m=n.

A.①④ B.①② C.①③ D.③④

3.(2018内蒙古赤峰二中高一下期末)给出下列命题:

①具有公共终点的两个向量一定是共线向量;           ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;

③若λa=0(λ为实数),则λ必为零;                                   ④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.

其中错误命题的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

4.(2019河北定州一中高一开学考试)化简×(2a+8b)-(4a-2b)的结果是　     　　　. 

题组二　向量的表示

5.如图,在△ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则=(　　)

A.b+c         B.c-b            C.b-c            D.b+c

6.(2019四川巴中高一下期末)在△ABC中,若+=4,则=(　　)

A.- B.-+         C.- D.-+

7.如图所示,平行四边形ABCD的对角线交于点O,点M在线段OD上,点N在线段CD上,且满足=,=3,记=a,=b,试用a,b表示,,.

题组三　共线向量定理

8.(2019湖北高一期中)已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则λ=(　　)

A.-1 B.-2 C.-2或1 D.-1或2

9.(2019河北高一期末)已知a,b是不共线的非零向量,=a+2b,=3a-b,=2a-3b,则四边形ABCD是 (　　)

A.梯形 B.平行四边形   C.矩形 D.菱形

10.对于向量a,b有下列表示(其中e1,e2不共线):

①a=2e1,b=-2e1;②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;③a=4e1-e2,b=e1-e2;④a=e1+e2,b=2e1-2e2.

其中,a,b一定共线的是(　　)

A.①②③ B.②③④C.①③④ D.①②③④

题组四　向量数乘的应用

11.(2020安徽涡阳第一中学高一月考)已知△ABC中,向量=λ(+)(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的(　　)

A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心

12.(2019四川高一期末)已知向量m,n不共线,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.

(1)判断a,b是否共线;

(2)若a∥c,求x的值.

能力提升练

一、选择题

1.(2019鄂尔多斯第一中学高一期中,★★☆)下列结论正确的是(　　)

A.若向量a,b共线,则向量a,b的方向相同                   B.向量与是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上

C.在△ABC中,若D是BC的中点,则=(+)       D.若a∥b,则∃λ∈R,使a=λb

2.(2020河北邯郸高一上期末,★★☆)设D,E为△ABC所在平面内的两点,且=,=,则(　　)　　　 　　　　　 　　　　　

A.=+   B.=--          C.=-+ D.=-

3.(★★☆)已知四边形ABCD中,G为CD的中点,则+(+)等于　(　　)

A. B. C. D.

4.(★★☆)设D为△ABC所在平面内一点,=-+,若=λ(λ∈R),则λ=(　　)

A.2 B.3 C.-2 D.-3

5.(2019河南安阳一中高考模拟,★★☆)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征,正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,=,则下列关系中正确的是(　　)

A.-= B.+=              C.-= D.+=

6.(2019黑龙江大庆实验中学高一期末,★★☆)在△ABC中,若点P满足=+,=+,则△APQ与△ABC的面积之比为(　　)

A.1∶3     B.5∶12 C.3∶4       D.9∶16

7.(★★★)已知O是△ABC所在平面内一点,动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定经过△ABC的(　　)

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

二、填空题

8.(★★☆)现有下列命题:

①若a与b为非零向量,且a∥b,则a+b必与a或b的方向相同;②若a与b共线,b与c共线,则a与c必共线;

③若平面内有四个点A,B,C,D,则必有+=+.

上述命题正确的有　　　　.(填序号) 

9.(2019天津高三期中,★★☆)在△ABC中,D为BC边延长线上的一点,且不与C重合,若=λ+(1-λ),则实数λ的取值范围是　　　　. 

10.(★★☆)已知△ABC的三个顶点都在圆O上,=+,且||=10,则圆O的面积为　　　　. 

三、解答题

11.(★★★)如图,在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,点N在对角线BD上,且BN=BD,求证:M、N、C三点共线.

答案全解全析

第二章　平面向量

2.2　平面向量的线性运算

2.2.3　向量数乘运算及其几何意义

基础过关练

1.D　∵a=-b(b≠0),-<0,∴a和b方向相反,且|a|==|b|,∴|b|=2|a|.故选D.

2.B　①和②属于向量数乘的分配律,正确;③中,若m=0,则不能推出a=b,错误;④中,若a=0,则m,n的关系不确定,错误.

3.C　①错误,两个向量共线要看其方向而不是起点与终点;②正确,因为向量既有大小,又有方向,所以它们不能比较大小,向量的模均为实数,故可以比较大小;③错误,当a=0时,无论λ为何值,λa=0恒成立;④错误,当λ=μ=0时,λa=μb,此时a与b可以是任意向量.故选C.

4.答案　2b-a

解析　原式

=×=-a+2b.

5.A　∵=2,∴-=2(-),

∴3=+2,∴=c+b.

6.C　+=4=4(+),

解得=-.故选C.

7.解析　因为=,=3,所以=+=+=+(-)=b+(a-b)=a+b,

=+=+=a+b,

则=-=a+b-a+b

=a+b.

所以=a+b,=a+b,=a+b.

8.D　∵A,B,C三点共线,

∴存在实数k,使得=k,

∴λa+2b=k[a+(λ-1)b],

即解得λ=-1或λ=2.

故选D.

9.A　=++=(a+2b)+(3a-b)+(2a-3b)=2(3a-b),因为=3a-b,且a,b是不共线的非零向量,所以∥且||≠||,所以四边形ABCD是梯形,故选A.

10.A　对于①,a=-b;对于②,a=-b;对于③,a=4b;对于④,若a=λb(λ∈R),则e1+e2=λ(2e1-2e2),又e1,e2不共线,所以不存在满足题意的λ,故④中a与b不共线.

11.D　设D为BC的中点,则+=2,

∴=2λ,即点P在中线AD上.

故点P的轨迹必过△ABC的重心.故选D.

12.解析　(1)由题意知a为非零向量,若a与b共线,

则有b=λa(λ∈R),

即6m-4n=λ(3m+2n),

∴解得

∴λ不存在,即a与b不共线.

(2)若a∥c,则有c=ra(r∈R),

即m+xn=3rm+2rn,

即解得x=.

能力提升练

一、选择题

1.C　A选项,若向量a,b共线,则向量a,b的方向相同或相反,故A错误;

B选项,向量和共线即∥,则A,B,C,D不一定在同一条直线上,故B错误;

C选项,根据向量线性运算中的加法运算法则,可得=(+),故C正确;

D选项,若a为非零向量,b为零向量,则a∥b,此时不存在λ∈R,使得a=λb,故D错误.故选C.

2.D　∵=,=,∴=,=,∴=+=+=-.

3.A　+(+)=+=.故选A.

4.D　由=-+,

可得3=-+4,

即4-4=-,

则4=,即=-4,

可得+=-3,故=-3,

则λ=-3.故选D.

5.A　在A中,-=-==,故A正确; 在B中,+=+==,故B错误;在C中,-=-==,故C错误;在D中,+=+,==-,若+=,则=0,不合题意,故D错误.故选A.

6.B　因为=+,所以(-)=(-),即=2,故点P为线段BC上靠近C点的三等分点.又因为=+,所以(-)=(-),即3=,故点Q为线段BC上靠近B点的四等分点,所以PQ=BC,所以△APQ与△ABC的面积之比为=.故选B.

7.B　∵,分别表示,方向上的单位向量,∴+的方向与∠BAC的平分线的方向一致,

∵=+λ+,∴=λ+,

又λ∈(0,+∞),∴的方向与∠BAC的平分线的方向一致,

∴动点P的轨迹一定经过△ABC的内心.故选B.

二、填空题

8.答案　③

解析　命题①中,当向量a与b的模相等且方向相反时,不成立;命题②中,当b为零向量时,不成立;命题③中,由+=+,得-=-,即+=+,所以=,成立.故正确的为③.

9.答案　(-∞,0)

解析　∵=λ+(1-λ)=+λ(-)=+λ=+(-λ).

又∵=+,∴=-λ.

由题意得-λ>0,∴λ<0.

10.答案　25π

解析　作圆O的直径AD,则=2=+,由此可知四边形ABDC是平行四边形.∵AD是直径,∴∠ACD=90°,∴四边形ABDC是矩形,∴BC=AD=10,即圆O的半径为5.∴圆O的面积为π×52=25π.

三、解答题

11.证明　设=a,=b,则=+=+=+(-)=+=a+b=a+b,

=+=+=a+b,所以=,

所以向量与向量共线,因为与有公共点M,故M、N、C三点共线.