高中数学人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示课文内容ppt课件

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[知识点拨](1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0.(2)对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)只有非零向量才能用平面内的一组基底e1，e2线性表示．(　　)(2)同一向量用两组不同的基底表示时，表示方法是相同的．(　　)(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则必有a＝c，b＝d.(　　)(4)若两个向量的夹角为θ，则当|csθ|＝1时，两个向量共线．(　　)(5)若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是60°.(　　)
命题方向1　⇨对基底概念的理解
[思路分析]　应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的唯一性求解．[解析]　由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B．
『规律总结』　根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题．若不共线，则它们可作为一组基底；若共线，则它们不可能作为一组基底．
〔跟踪练习1〕设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是______.(写出所有满足条件的序号)
命题方向2　⇨求两向量的夹角
『规律总结』　求两向量夹角时，一定要让两向量共起点，否则会出现错误．
用基底表示平面内任意向量的关键是，在进行运算时，一定要把所要表示的向量放在某一个三角形或平行四边形中，通过向量的加法或数乘运算将所求向量用基底表示出来．
已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为(　　)A．λ＝0　　　　　　　B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0[错解]　A[错因分析]　在应用平面向量基本定理时，要注意a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共线这个条件．若没有指明，则应对e1，e2共线的情况加以考虑．
忽略两个向量作为基底的条件
[思路分析]　当e1∥e2时，a∥e1，又因为b＝2e1，所以b∥e1.又e1≠0，故a与b共线；当λ＝0时，则a∥e1.又因为b＝2e1，所以b∥e1.又因为e1≠0，故a与b共线．[正解]　D[误区警示]　当条件不明确时要分类讨论．
〔跟踪练习4〕已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于______.
1．向量的夹角θ的范围是(　　)A．0°≤θ<180°　　　　B．0°≤θ≤180°C．0°<θ<180° D．0°<θ≤180°
2．设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有(　　)A．e1、e2一定平行B．e1、e2的模相等C．同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) D．若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)[解析]　由平面向量基本定理可知，选项D正确．对于任意向量e1，e2，选项A、B不正确，而只有当e1与e2为不共线向量时，选项C不正确．