高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示精练

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

例3如图6.3-10，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标.

解：由图6.3-10可知，，

所以.

同理，

，

，

.

6.3.3  平面向量加、减运算的坐标表示

例4已知，，求，的坐标.

解：，

.

例5如图6.3-13，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标.

解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为.

因为，

，

又，

所以.

即解得，

所以顶点D的坐标为.

解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知

，

而

.

所以顶点D的坐标为.

练习

1. 在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求的坐标：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

【答案】（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．

【解析】

【分析】

根据向量的坐标运算法则计算可得.

【详解】解：

（1）；

．

（2）；．

（3）；．

（4）；．

【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．

2. 在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标：

（1）；（2）；（3）；（4）．

【答案】（1）；．（2），．（3）；．（4）；．

【解析】

【分析】

根据向量的坐标求法，向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.

【详解】解：（1）,

；．

（2），

；．

（3），

；．

（4），

；．

【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.

3. 若点，，，，则与有什么位置关系？证明你的猜想．

【答案】平行，证明见解析

【解析】

【分析】

求出，的坐标，即可判断，的关系，得到与的位置关系.

【详解】解：．

证明如下：因为，，所以．

又因为与不共线，

所以．

【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量共线的判定，属于基础题.

6.3.4  平面向量数乘运算的坐标表示

例6已知，，求的坐标.

解：

.

例7已知，，且，求.

解：因为，

所以.

解得.

例8已知，，，判断A，B，C三点之间的位置关系.

解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点（图6.3-15）.

观察图形，我们猜想A，B，C三点共线.下面来证明.

因为，

，

又，

所以.

又直线，直线有公共点A，

所以A，B，C三点共线.

例9设P是线段上的一点，点，的坐标分别是，.

（1）当P是线段的中点时，求点P的坐标；

（2）当P是线段的一个三等分点时，求点P的坐标.

解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知

.

所以，点P的坐标是.

（2）如图6.3-17，当点P是线段的一个三等分点时，有两种情况，即或.

如果（图6.3-17（1）），那么

，

即点P的坐标是.

同理，如果（图6.3-17（2）），那么点P的坐标是.

练习

4. 已知，，求，的坐标．

【答案】（-6，-8），（12,5）

【解析】

【分析】

根据向量的坐标运算法则计算即可．

【详解】解：，

；

．

【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．

5. 当为何值时，与共线？

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量共线的充要条件得到关于的方程，解得.

【详解】解：，，

，解得时，

时，与共线．

【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用；如果共线，那么存在唯一的，使成立或，属于基础题．

6. 若点，，，，则与是否共线？

【答案】共线

【解析】

【分析】

首先求出与的坐标，再根据平面向量共线定理判断即可.

【详解】解：，，，

，．

∵，

∴与共线．

【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.

7. 求线段的中点坐标：

（1）；（2）；（3）．

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

【分析】

根据中点坐标公式，若、，则的中点坐标为，计算可得

【详解】解：（1）

，，∴的中点坐标为；

（2）

，，∴的中点坐标为；

（3）

，，∴的中点坐标为．

【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，属于基础题.

8. 已知点，向量，，点P是线段的三等分点，求点P的坐标．

【答案】或

【解析】

【分析】

．由于点是线段的三等分点，可得，或者．即可得出．

【详解】解：，

．

点是线段的三等分点，

，或者．

，

或．

或．

∴P点的坐标为或．

【点睛】本题考查了向量的线性运算、线段的三等分点，属于基础题．

6.3.5  平面向量数量积的坐标表示

例10若点，，，则是什么形状？证明你的猜想.

解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现是直角三角形.证明如下：

因为，

，

所以..

于是.

因此，是直角三角形.

例11设，，求及，的夹角（精确到1°）.

解：

.

因为，，所以用计算器计算可得

.

利用计算器中的“”键，得.

例12用向量方法证明两角差的余弦公式

.

证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则

，.

由向量数量积的坐标表示，有

.

设与的夹角为，则

.

所以.

另一方面，由图6.3-20（1）可知，；由图6.3-20（2）可知，.于是，.所以

.

于是.

练习

9. 已知，，求，，．

【答案】，，

【解析】

【分析】

根据向量坐标运算求解即可.

【详解】解：,,．

【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算公式,属于基础题型.

10. 已知．求．

【答案】，

【解析】

【分析】

根据向量的运算法则以及向量坐标的运算求解即可.

【详解】解：,,

,

【点睛】本题主要考查了向量的运算法则以及向量坐标的运算,属于基础题型.

11. 已知，利用计算工具，求与的夹角（精确到1°）．

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量的坐标运算求解即可.

【详解】解：∵,

∴．又∵,∴．

【点睛】本题主要考查了向量的夹角运算,属于基础题型.

变式练习题

12. 已知点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？

【答案】向量与平行，直线AB与CD平行

【解析】

【分析】求出的坐标，利用共线向量的坐标表示即可判断，然后计算坐标，判断点A，B，C是否共线得解.

【详解】因点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，则=(2，4)， =(1，2)，

显然有2×2-1×4=0，于是得∥，

因= (2，6)， 而=(2，4)，即有2×4-2×6≠0，则与不平行，即点A，B，C不共线，因此，AB与CD不重合，

所以直线AB与CD平行.

13. 已知，，，．

（1）t为何值时，点P在x轴上？t为何值时，点P在y轴上？

（2）四边形OABP能否构成一个平行四边形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．

【答案】（1）；   

（2）不能，理由见解析

【解析】

【分析】（1）求出点坐标，根据的位置列方程或不等式得出答案；

（2）令列方程组，根据方程组是否有解得出结论．

【小问1详解】

解：因为，，，所以，

所以,

，

若在轴上，则，即；

若在轴上，则，即；

【小问2详解】

解：假设四边形为平行四边形，则，

，

，不等式组无解，

四边形是不可能为平行四边形．

14. 设k为实数，若向量，，，当k为何值时，A，B，C三点共线？

【答案】k＝11或k＝－2.

【解析】

【分析】由题设得＝ (k－4,7)、＝(6,k－5)，利用向量共线的坐标表示有(k－4)(k－5)－6×7＝0，求解即可.

【详解】由题设，＝－＝(k－4,7)，＝－＝(6,k－5)，

令∥，得(k－4)(k－5)－6×7＝0，即k2－9k－22＝0， k＝11或－2.

故当k＝11或－2时，A， B， C三点共线.

15. 已知向量， ．当k为何值时，与的夹角是钝角？

【答案】且

【解析】

【分析】由条件可得且不共线，然后可建立不等式求解.

【详解】因为与的夹角是钝角，

所以且不共线，即

所以且.

16. 设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．

（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；

（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．

【答案】（1）.   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）根据即可求出点P的坐标；

（2）通过分类讨论，点P满足两种情况或，然后利用向量加法的三角形法则即可求出答案.

【小问1详解】

（1）如图，由向量的线性运算可知,

所以点P的坐标是.

【小问2详解】

当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，或，

若，如图(1)，那么

，

即点P的坐标是.

同理，如果，如图(2)，那么点P的坐标是.