高中数学人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示课后复习题

2.3.3　平面向量的坐标运算

课时过关·能力提升

基础巩固

1.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=(　　)

A.(-7,-4) B.(7,4)

C.(-1,4) D.(1,4)

解析:因为点A(0,1),B(3,2),

所以=(3-0,2-1)=(3,1).

又向量=(-4,-3),所以=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).

答案:A

2.下列各式正确的是(　　)

A.若a=(-2,4),则-a=(1,2)

B.若a=(5,2),b=(2,4),则b-a=(-3,2)

C.若a=(1,0),b=(0,1),则a+b=(0,1)

D.若a=(1,1),b=(1,2),则2a+3b=(4,8)

答案:B

3.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则用a,b表示c等于(　　)

A.3a+b B.3a-b C.-a+3b D.a+3b

解析:设c=xa+yb,则(4,2)=x(1,1)+y(-1,1),

∴解得

∴c=3a-b.

答案:B

4.在平行四边形ABCD中,若=(2,4),=(1,3),则=(　　)

A.(-2,-4) B.(-3,-5) 

C.(3,5) D.(2,4)

解析:=()--2=(1,3)-(4,8)=(-3,-5).

答案:B

5.已知向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b等于 (　　)

A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)

解析:∵a=(1,1),b=(1,-1),

∴a=,-b=.

∴a-b=(-1,2).

答案:D

6.已知A(3,-5),B(-1,3),点C在线段AB上,且=3,则点C的坐标是　　　　　. 

解析:(方法一)设C(x,y),则=(x-3,y+5),

3=3(-1-x,3-y)=(-3-3x,9-3y).

∵=3,

∴

解得即点C的坐标是(0,1).

(方法二)∵A(3,-5),B(-1,3),

∴=(3,-5),=(-1,3).

∵=3,

∴=3(),

∴4+3=(3,-5)+3(-1,3)=(0,4),

∴=(0,1),

∴点C坐标为(0,1).

答案:(0,1)

7.已知a+b=(1,3),a-b=(5,7),则a=　　　　,b=　　　　. 

解析:a+b+a-b=(1,3)+(5,7),即2a=(6,10),解得a=(3,5).

a+b-(a-b)=(1,3)-(5,7),

即2b=(-4,-4),解得b=(-2,-2).

答案:(3,5)　(-2,-2)

8.已知点A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设向量=a,=b,=c.

(1)若a=mb+nc,求实数m,n的值;

(2)若=-2b,=3c,求向量的坐标.

解:(1)∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),

∴a==(5,-5),b==(-6,-3),c==(1,8).

∵a=mb+nc,

∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8),

∴解得m=n=-1.

(2)∵=-2b,=3c,b=(-6,-3),c=(1,8),=-2b-3c=(9,-18).

能力提升

1.已知M(3,-2),N(-5,-1),且,则点P的坐标为(　　)

A. B.

C. D.

解析:∵M(3,-2),N(-5,-1),

∴=(3,-2),=(-5,-1).

∵,

∴),

∴)=[(3,-2)+(-5,-1)]=(-2,-3)=.

∴点P的坐标为.

答案:B

2.设a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2),且c=pa+qb,则实数p,q的值为(　　)

A.p=4,q=1 B.p=1,q=-4

C.p=0,q=1 D.p=1,q=4

解析:∵a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2),

且c=pa+qb,

∴(3,-2)=p(-1,2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),

∴解得

答案:D

3.★已知向量集合M={a|a=(1,2)+m(3,4),m∈R},N={b|b=(-2,-2)+n(4,5),n∈R},则M∩N等于(　　)

A.{(1,2)} B.{(1,2),(-2,-2)}

C.{(-2,-2)} D.⌀

解析:a=(1+3m,2+4m),b=(-2+4n,-2+5n),

由a=b,得解得

∴M∩N={a|a=(1+3×(-1),2+4×(-1))}={(-2,-2)}.

答案:C

4.设m=(a,b),n=(c,d).规定两个向量之间的一个运算为m?n=(ac-bd,ad+bc),若p=(1,2),p?q=(-4,-3),则q=　　　　　. 

答案:(-2,1)

5.已知A(3,4),B(-5,5),且a=(x-3,x2+4x-4).若a=,则x=　　　　　. 

解析:=(-5,5)-(3,4)=(-8,1),

又a=,

∴(x-3,x2+4x-4)=(-8,1),

∴解得x=-5.

答案:-5

6.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若+λ,λ∈R,试求当点P在第三象限时,λ的取值范围.

解:设点P(x,y),则=(x-2,y-3).

∵+λ=(5-2,4-3)+λ(7-2,10-3)=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ),

∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),

即

又点P在第三象限,

∴

解得λ<-1.

∴λ的取值范围为(-∞,-1).

7.★已知四边形OABC为菱形,菱形的中心为点E(5,2),点A的坐标为(3,7),求菱形的其余顶点B,C的坐标.

解:设B(x1,y1),C(x2,y2),如图.

∵,且=(2,-5),=(x2-5,y2-2),

∴

又,且=(5,2),=(x1-5,y1-2),

∴

∴点B的坐标为(10,4),点C的坐标为(7,-3).