高中数学北师大版必修44.1平面向量的坐标表示同步训练题

2020-2021学年北师大版必修四  2.4.1 平面向量的坐标表示    作业

一、选择题

1、如图，在中，D为BC边上一点，且.若，则（    ）

A．2 B．1 C． D．3

2、如上图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底，表示为(　　)

A．＋ B．2－ C．－2＋ D．2＋

3、已知和点满足，若存在实数使得成立，则（    ）

A． B． C． D．

4、若是两个单位向量，且，则（ ）

A． B． C． D．

5、如图是由等边△和等边△构成的六角星，图中的，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为.若，则（    ）

A． B． C． D．

6、向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则＝（ ）

A．－8 B．－4 C．4 D．2

7、已知是正六边形，且，，则＝（    ）

A． B． C． D．

8、如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则(    )

A． B． C． D．

9、设，，，若，则与的夹角余弦值为（    ）

A． B． C． D．

10、在中，，，若点D满足，则（    ）

A． B． C． D．

11、已知向量，满足，在上的投影的数量为，则的最小值为（    ）

A． B．10 C． D．8

12、已知非零向量，满足，，，若，则实数的值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．

二、填空题

13、在△ABC中，＝2，过点D的直线与直线AB，AC分别交于点E，F，若＝x，＝y（x＞0，y＞0），则x+y的最小值为_____.

14、已知平行四边形中，为中点，点为线段上的一点，且，则________，________.

15、已知平面向量，，，满足，，，若平面向量（且），则的最小值是______.

16、在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于，.若，，，则的最小值为______.

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知是平面上两个不共线的向量且，，.

（1）若，方向相反，求的值；

（2）若，，三点共线，求的值.

18、（本小题满分12分）如图，中，为的中点，，与交于点．设，．

（1）用和表示，；

（2）若，求实数的值．

19、（本小题满分12分）求连接下列两点的线段的长度和中点坐标：

(1)；

(2)；

(3).

20、（本小题满分12分）向量满足条件，且，判断的形状．

参考答案

1、答案C

解析化简得到，得到答案.

详解：，

故，.

故选：.

点睛

本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.

2、答案C

解析以向量的起点为原点，向量所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设正方形的边长为1，则．

设，则，

∴，解得，所以．选C．

点睛：由平面向量基本定理可知，在确定了平面的基底后，平面内的任一向量都可以用这组基底唯一表示，但并没有给出分解的方法．常用的方法有两种：（1）根据向量的线性运算，将已知向量向着基底转化；（2）先确定向量和基底的坐标，根据待定系数法建立方程组，通过代数方法求解．

3、答案D

解析由可知为的重心，利用中线与向量加法法则可得．

详解：由可知为的重心，取的中点，则有，所以，则，

故选：D.

点睛

本题考查向量加法的平行四边形法则，考查向量数乘的性质．掌握向量加法的平行四边形法则是解题关键．即的中点，则．

4、答案A

解析∵，∴，即，

得，∴，则，

故选A.

5、答案B

解析以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为，得出点的坐标，由向量的运算可求得的值，可得答案.

详解：由平行四边形法则，，所以，，所以

以点为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设等边三角形的边长为.

则等边三角形的高为，

由，，，，，均为三等分点，

则,

所以

,,

所以，解得

所以

故选：B.

点睛

本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于中档题.

6、答案C

解析详解：以向量的公共点为坐标原点,

建立如图以直角坐标系,

可得,

,

解之得且,因此，.

故选：C．

考点：1、向量的几何运算；2、向量的坐标运算．

7、答案D

解析根据正六边形的性质，根据几何图形表示.

详解：

如图，由正六边形的性质可知，四边形是平行四边形，所以，且，且，

所以.

故选：D

点睛

本题考查根据平面几何图形表示向量，属于基础题型

8、答案C

解析

分析

以为基底，利用向量的中点公式，以及三角形法则即可表示出， 由，根据平面向量基本定理，可知对应项系数相等，即求解．

详解

因为为的中点，所以，

而，

即有，又，所以．

故选：C．

9、答案B

解析根据，，表示的坐标，再由建立方程求得k，得到的坐标，然后利用夹角公式求解.

详解：因为，，

所以，

因为，

所以，

解得，

所以，

因为，

所以，

所以与的夹角余弦值为.

故选：B

点睛

本题主要考查平面向量的数量积运算及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

10、答案A

解析由条件即得.

详解：，，

故有.

故选：A

点睛

本题主要考查了向量的线性表示，向量的加减运算，是基础题.

11、答案D

解析由题意可得，，由投影的符号可得，再根据数量积的定义即可求出答案．

详解：解：在上的投影的数量为，

，，

，，

，

，

故选：D．

点睛

本题主要考查平面向量数量积的定义的应用，属于基础题．

12、答案D

解析由题得，再把已知条件代入化简即得解.

详解：已知非零向量，满足，，，

若，

，

解得.

故选：D．

点睛

本题主要考查向量的数量积的计算，考查向量垂直的数量积表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

13、答案

解析根据向量线性关系的几何应用有，令结合已知条件有，即可列方程组，得到关于k的表达式表示x + y，最后由基本不等式即可求得最小值

详解：由题意，连接可得如下示图

∵在△ABC中＝2，即有

若令，则有

又＝x，＝y（x＞0，y＞0）

∴

即有

∴，当且仅当时等号成立

故答案为：

点睛

本题考查了向量线性关系的几何应用，及利用基本不等式求最值，通过定向量与其它向量的线性关系找到等量关系，进而构建函数并结合基本不等式求最值

14、答案     

解析设出，利用基底表示出向量，然后可得的值，利用可得与平行四边形的高之间的关系，结合面积公式可求结果.

详解：设，，

在平行四边形中，为中点，所以,

所以，由于，所以，

解得.

设平行四边形的高为，的高为，

因为，所以；

所以.

故答案为：.

点睛

本题主要考查平面向量的运算，选用基底，结合向量的运算规则，表示出目标向量是解题关键，侧重考查数学运算的核心素养.

15、答案

解析利用建系的方法，假设，依据条件可得然后作出双曲线，表示出，即可得结果.

详解：设

由题可知：，

如图

由

所以，又

所以

则

则

所以

即，其中

如图

即

所以

当三点共线时，

有

当且仅当时，取等号

则的最小值是

故答案为：

点睛

本题考查向量的综合应用，关键在于平面直角坐标的建立以及得到向量的坐标满足双曲线的方程，考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.

16、答案4

解析根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，再利用基本不等式，即可求解.

详解：如图所示，在中，，

点满足，所以，即，

可得，

因为，，

所以，

因为三点共线，所以，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为4.

点睛

本题主要考查了平面向量的线性运算与向量的共线定理，以及基本不等式的应用，其中解答中熟记向量的线性运算和共线定理，得到的关系式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

17、答案（1）；（2）或.

（2）根据三点共线得出存在，使得，得出，列出方程组，即可得出的值.

详解：解：（1）由题意知，，则存在，使得，即，从而，得，又方向相反，则；

（2）由题意知，，由，，三点共线得，存在，使得，即，从而，得或.

点睛

本题主要考查了根据向量共线求参数范围以及根据三点共线求参数，属于常考题.

解析

18、答案（1），；（2）．

（2）用为基底表示出，根据、共线列方程组，解方程组求得实数的值.

详解：（1）．

．

（2），

．

因为、共线，所以存在，使．

所以，所以，得．

点睛

本小题主要考查用基底表示向量，考查向量共线的表示，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

解析

19、答案（1）,中点；（2），中点；（3），中点.

详解：(1)，中点坐标.

(2)，中点坐标.

(3)，中点坐标.

点睛

本小题主要考查两点间的距离公式，考查中点坐标公式，属于基础题.

解析

20、答案是等边三角形

详解：向量满足，

则，

所以，即，

而，代入化简可得，因而；

同理，，

所以是等边三角形.

点睛

本题考查了平面向量与三角形形状的关系及应用，平面向量数量积求夹角，属于中档题.

解析