数学1.2 空间几何体的三视图和直观图教学设计及反思

1．2．3　空间几何体的直观图

Q

皮影戏，又称影子戏或灯影戏，是一种用灯光照射兽皮或纸板做成的人物剪影以表演故事的民间戏曲．表演时，艺人们在白色幕布后面，一边操纵戏曲人物，一边用当地流行的曲调唱述故事，同时配以打击乐器和弦乐，有浓厚的乡土气息．在河南、山西等地的农村，这种拙朴的民间艺术形式很受人们的欢迎．皮影戏和太阳光照射成像都具备光线、不透明物体和投影面这些相同的条件．皮影戏中的成像与太阳光成像原理一样吗？

X

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

(1)在已知图形中取互相__垂直__的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．

(2)在已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成__平行__于x′轴或y′轴的线段．

(3)在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度__不变__，平行于y轴的线段，长度变为原来的__一半__．

[归纳总结]　用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点．因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形．

2．画空间几何体的直观图的步骤

(1)在几何体中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOy＝90°，∠xOz＝90°．

(2)画出与Ox，Oy，Oz对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．

(3)在几何体中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成__平行__于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．

(4)在几何体中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度__不变__，平行于y轴的线段，长度为原来的__一半__．

(5)擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．

[归纳总结]　用斜二测画法画几何体的直观图时，与画水平放置的平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且平行于z轴的线段的平行性和长度都不变，在直观图中，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和z′O′x′表示直立平面．

Y

1．下列关于直观图的说法不正确的是 (　A　)

A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变

B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变

C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成135°

D．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同

[解析]　平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A错．

2．下面关于利用斜二测画法得到直观图的叙述正确的是 (　B　)

A．正三角形的直观图是正三角形

B．平行四边形的直观图是平行四边形

C．矩形的直观图是矩形

D．圆的直观图是圆

[解析]　直观图改变了原图中角的大小及图形的形状，所以A，C，D都不正确，故选B．

3．一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 (　A　)

A．2＋　 B．　

C．　 D．1＋

[解析]　由题意可知，直观图如图所示

分别过C，D作AB的垂线，E，F为垂足．

∵CD＝1，∴EF＝1．

又∵BC＝AD＝1，∠A＝∠B＝45°

∴CE＝DF＝BE＝AF＝

∴AB＝＋1．

S直观图＝×＝．

又∵＝

∴S原形图＝×＝2＋．

4．在已知图形中平行于x轴的线段AB＝6 cm，则在直观图中线段A′B′＝__6__cm；在已知图形中平行于y轴的线段CD＝4 cm，则在直观图中线段C′D′＝__2__cm．

[解析]　由于平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变，则A′B′＝AB＝6 cm；由于平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半，则C′D′＝CD＝2 cm．

H

命题方向1　⇨水平放置的平面图形直观图的画法

典例1 画正五边形的直观图．

[思路分析]　(1)如何建立直角坐标系．

(2)确定不在坐标轴上的点．

(3)建立坐标系xOy后，B，E两点不在坐标轴上或平行于坐标轴的直线上，故需作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H．

[解析]　(1)以正五边形的中心为原点O，建立如图(1)所示的直角坐标系xOy，再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°；

(2)在图(1)中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝OA，O′F′＝OF，过F′作C′D′∥x′轴使C′D′＝CD且F′为C′D′的中点．

(3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝BG，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝HE，连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′，得五边形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的平面直观图．

(4)擦去x′，y′轴得直观图五边形A′B′C′D′E′．

『规律方法』　画平面图形的直观图的关键点

画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或与轴平行的线段上；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，遇到这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将其转化到与轴平行的线段上来确定

〔跟踪练习1〕 

画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．

[解析]　(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°．

(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0．5 cm，在y′轴上截取O′A′＝AO＝ cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．

(3)擦去x′，y′轴得直观图△A′B′C′．

命题方向2　⇨几何体的直观图画法

典例2 用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定)．

[解析]　画法：(1)画六棱锥P－ABCDEF的底面．

①在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于O(如图1所示)，画相应的x′轴和y′轴、z′轴，三轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°(如图2所示)．

②在图2中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF．

③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′．

(2)画六棱锥P－ABCDEF的顶点，在O′z′轴上截取O′P′＝OP．

(3)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴、z′轴，便得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(图3)．

『规律方法』　简单几何体直观图的画法规则：

(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．

(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．

(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．

(4)连线成图．

〔跟踪练习2〕 

用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．

[解析]　(1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．

(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm．分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD．

(3)画侧棱，过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′．

(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．

Y 　对斜二测画法理解不透，导致判断错误．

典例3 如图①所示，△ABC水平放置的直观图为

△A′B′C′，∠B′A′C′＝30°，∠A′C′B′＝90°，请用作图法画出原△ABC，并量出△ABC的各内角，∠BAC是否等于∠B′A′C′的2倍？∠BCA是否等于∠B′C′A′？

[错解]　∠BAC＝2∠B′A′C′，∠BCA＝∠B′C′A′

[错因分析]　错误的原因是对斜二测画法理解不透，在用斜二测画法画直观图时，角的度数一般会发生变化，但这种变化并不是角的度数减小了一半，它的变化与角的两边的位置有关．

[正解]　如图②所示，画出直角坐标系xOy，以点A为原点．在直观图中过C′作C′D′∥O′y′轴，交A′B′于D′，在Ox轴上截取AB＝A′B′，AD＝A′D′．过D作DC∥Oy轴，使DC＝2D′C′，连接AC，BC，则△ABC为原三角形．用量角器量出∠BAC，可以得出∠BAC≠60°，所以∠BAC≠2∠B′A′C′，∠BCA≠∠B′C′A′．

〔跟踪练习3〕 

已知一个三角形的斜二测直观图是一个边长为2的正三角形，则原三角形的面积为__2__．

[错解]　2，如图，作C′D′⊥A′B′，则C′D′＝，因此原三角形的高为2，∴面积S＝×2×2＝2．

[辨析]　对三视图画法规则不清楚，误以为在原三角形中，CD＝2C′D′．

[正解]　设直观图为△A′B′C′，作C′D′⊥A′B′，延长D′A′到O′使D′O′＝C′D′，则∠C′O′D′＝45°，则O′C′＝C′D′＝．画出对应的原平面直角坐标系和△ABC如图．由三视图画法规则知，AB＝A′B′，OA＝O′A′，而OC＝2O′C′＝2．

∴S△ABC＝AB·OC＝2．

X 　直观想象能力——识图、画图、用图

典例4 由几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．

[解析]　(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．

(2)画圆台的两底面．利用斜二测画法，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的高度，过O′作Ox的平行线O′x′，作Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′(与画⊙O一样)．

(3)画圆锥的顶点．在Oz上取一点P，使PO′等于三视图中相应的高度．

(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②．

『规律方法』　由三视图还原直观图确定几何体形状的方法：

(1)由俯视图区分多面体与旋转体；

(2)由正视图与侧视图区分柱体与锥体；　　

(3)特别注意观察者与几何体的方位，重点把握图中的垂线位置；

(4)注意横放的多面体与旋转体；

(5)熟记特殊几何体的视图特征．

〔跟踪练习4〕 

已知某几何体的三视图如图，请画出它的直观图(单位：cm)．

[解析]　(1)如图1，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．

(2)以O为中点，在x轴上取线段OB＝8 cm，在y轴上取线段OA′＝2 cm，以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A．

(3)在z轴上取线段OC＝4 cm，过C分别作x轴、y轴的平行线，并在平行线上分别截取CD＝4 cm，CC′＝2 cm．以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′．

(4)成图．连接A′C，BD，B′D，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到几何体的直观图(如图2)．

K

1．梯形的直观图是 (　A　)

A．梯形　　　　　　　　 B．矩形

C．三角形  D．任意四边形

[解析]　梯形的直观图仍为梯形．

2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝ (　D　)

A．45°  B．135°

C．90°  D．45°或135°

[解析]　因∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°．

3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是__AC__．

 [解析]　画出原图形如图所示，△ABC为直角三角形，显然，AC边最长．

4．用斜二测画法画一个底面边长为4 cm，高为6 cm的正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图．

[解析]　(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，记坐标原点为O′，如图(1)所示．

(2)画底面：按x′轴、y′轴画边长为4 cm的正六边形的直观图ABCDEF．

(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′，使它们都等于6 cm．

(4)成图：顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图，如图(2)所示．