高中3.1.1 函数及其表示方法第2课时精练

十九　函数概念的综合应用

基础全面练　(15分钟·35分)

1.(2021·南康高一检测)下列各项表示同一个函数的是(　　)

A．f(x)＝与g(x)＝x＋1

B．f(x)＝－1与g(x)＝x－1

C．f(t)＝与g(x)＝

D．f(x)＝1与g(x)＝x·

【解析】选C.对于A选项，f(x)＝的定义域为，g(x)＝x＋1的定义域为R，故不满足；

对于B选项，f(x)＝－1与g(x)＝x－1的定义域均为R，f(x)＝－1＝|x|－1，两个函数对应关系不一致，故不满足；

对于C选项，f(t)＝与g(x)＝的定义域均为，函数对应关系一致，故是同一个函数，满足；

对于D选项，f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝x·的定义域为，故不满足．

2．已知函数f(x)＝x2＋2x(－2≤x≤1且x∈Z)，则f(x)的值域是(　　)

A．[0，3]      B．{－1，0，3}

C．{0，1，3}     D．[－1，3]

【解析】选B.函数f(x)＝x2＋2x(－2≤x≤1且x∈Z)，所以x＝－2，－1，0，1；对应的函数值分别为：0，－1，0，3，所以函数的值域为：{－1，0，3}．

3．(2021·贵溪高一检测)f(x)的定义域A＝，则f(x)＝－2x2＋6x的值域为(　　)

A．　　　　　 B．

C．      D．

【解析】选D.因为A＝＝，f(x)＝－2x2＋6x，所以f(0)＝0，

f(1)＝4，f(2)＝4，f(3)＝0，故值域为.

4．若函数f(x)满足f(x)－2f(2－x)＝－x2＋8x－8，则f(1)的值为(　　)

A．0    B．1    C．2    D．3

【解析】选B.令x＝1，f(1)－2f(1)＝－1＋8－8＝－1，则f(1)＝1.

5．(2021·丽水高一检测)设f(x)＝－|x|，则f＝________．

【解析】f(x)＝－|x|，故f＝－＝0，故f＝f(0)＝1.

答案：1

6．求函数f(x)＝－＋x2的定义域，并画出图像，再求其值域．

【解析】由题意知，该函数的定义域为{x|x≠0}，f(x)＝其图像如图所示，

由图像可知，所求函数的值域为.

综合突破练　(30分钟·60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．下列函数中，与函数y＝是同一个函数的是(　　)

A．y＝x    B．y＝－x

C．y＝－     D．y＝x2

【解析】选B.根据题意，由－2x3≥0得x≤0，

函数y＝的定义域是(－∞，0]，

所以y＝＝|x|

＝－x.

2．若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是(　　)

A．a＝－1或a＝3      B．a＝－1

C．a＝3         D．a不存在

【解析】选B.由得a＝－1.

3．(2021·南昌高一检测)已知f(2x＋1)＝4x2，则f(－3)＝(　　)

A．36    B．16    C．4    D．－16

【解析】选B.方法一：令2x＋1＝－3，

解得x＝－2.所以f(－3)＝4×(－2)2＝16.

方法二：因为f＝4x2＝(2x＋1)2－2(2x＋1)＋1，所以f(x)＝x2－2x＋1.

所以f(－3)＝(－3)2－2×(－3)＋1＝16.

4．已知函数f(x)＝2x－，x∈[1，5]，则f(x)的最小值是(　　)

A．1    B．8    C．    D．

【解析】选C.因为函数f(x)＝2x－，x∈，

设t＝∈，则x＝t2＋1，

所以f＝2t2－t＋2，t∈，

图像开口向上，对称轴为t＝，

所以fmin＝f＝2×2－＋2＝.

故选C.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有(　　)

A．A＝，B＝，f：A中的数的平方

B．A＝，B＝，f：A中的数的开方

C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数

D．A＝，B＝，f：A中的数的2倍

【解析】选AD.A选项：2＝1，02＝0，12＝1，为一一对应关系，是A到B的函数；

B选项：±＝0，±＝±1，集合A中元素1，集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，不是A到B的函数；C选项：A中元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，不是A到B的函数；

D选项：1×2＝2，2×2＝4，3×2＝6，4×2＝8，为一一对应关系，是A到B的函数．

6．已知函数f(x)＝|x|＋5，若f(x)＝10，则x的值可以是(　　)

A．5　　　B．15　　　C．－5　　　D．－15

【解析】选AC.因为f(x)＝10，所以|x|＋5＝10，解得x＝5或－5.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．已知f(x)＝2x2＋1，则f(2x＋1)＝________.

【解析】因为f(x)＝2x2＋1；

所以f(2x＋1)＝2(2x＋1)2＋1＝8x2＋8x＋3.

答案：8x2＋8x＋3

8．已知函数f(x)＝5x3，则f(x)＋f(－x)＝________．

【解析】函数f(x)＝5x3，

则f(－x)＝5(－x)3＝－5x3，

那么：f(x)＋f(－x)＝5x3－5x3＝0.

答案：0

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．(2021·南宁高一检测)已知函数f(x)满足f＝x.

(1)求f(x)的解析式；

【解析】令＝m，即x＝－2m＋1，

所以f(m)＝－2m＋1，即f(x)＝－2x＋1.

(2)求函数y＝f－的值域．

【解析】y＝f－＝x－，

设t＝，则t≥0，且x＝－t2＋，

得y＝－t2－t＋＝－(t＋1)2＋1，因为t≥0，所以y≤，所以该函数的值域为.

10．已知f(x)＝，x∈R.

(1)计算f(a)＋f 的值．

【解析】由于f(a)＝，f ＝

＝，所以f(a)＋f ＝1.

(2)计算f(1)＋f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋f(4)＋f 的值．

【解析】由(1)知f(a)＋f ＝1，

从而f(2)＋f ＝f(3)＋f ＝f(4)＋

f ＝1，故＋

 ＋ ＝3，

而f(1)＝，所以f(1)＋f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋f(4)＋f ＝.

应用创新练

1．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是同一个函数，则函数y＝f(x)的定义域是(　　)

A．[－3，1]　　　　　 B．(－3，1)

C．(－3，＋∞)      D．(－∞，1]

【解析】选A.由于y＝f(x)与y＝＋是同一个函数，故二者定义域相同，所以y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}．故写成区间形式为[－3，1].

2．已知函数f(x)对任意实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．

(1)求f(0)，f(1)的值．

【解析】令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0；令a＝1，b＝0，得f(0)＝f(1)＋f(0)，解得f(1)＝0.

(2)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q为常数)，求f(36)的值．

【解析】方法一：令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p，令a＝b＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，

令a＝4，b＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.

方法二：因为36＝22×32，

所以f＝f＝f＋f＝f(2×2)＋f(3×3)＝f(2)＋f(2)＋f(3)＋f(3)＝2f(2)＋2f(3)＝2p＋2q.

【补偿训练】

已知定义在R上的函数f(x)，其值域也是R，并且对任意x，y∈R，都有f(xf(y))＝xy，则|f(2 019)|＝(　　)

A．0    B．1    C．2 0192    D．2 019

【解析】选D.对于a∈R，

由已知f(f(1)·f(a))＝f(1)·a，

f(f(a)·f(1))＝f(a)×1，

两式比较，得f(a)＝f(1)·a，

令a＝f(1)，得f(f(1))＝f(1)·f(1)，

又由题意，可得f(f(1))＝f(1·f(1))＝1×1＝1，于是f(1)·f(1)＝1，即|f(1)|＝1，

所以|f(a)|＝|a|，从而|f(2 019)|＝2 019.