人教版九年级上册21.2 解一元二次方程综合与测试精练

人教版2021年九年级上册同步练习：21.2 解一元二次方程

一．选择题

1．下列x的各组取值是方程x2﹣2x＝0的根的是（　　）

A．x＝0或x＝2 B．x＝1或x＝2 C．x＝2或x＝3 D．x＝3或x＝4

2．用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（　　）

A．3，﹣4，8 B．3，﹣4，﹣8 C．3，4，﹣8 D．3，4，8

3．用配方法解x2﹣8x+5＝0方程，将其化成（x+a）2＝b的形式，则变形正确的是（　　）

A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11

4．用配方法将二次三项式x2+4x﹣96变形，结果正确的是（　　）

A．（x+2）2﹣100 B．（x﹣2）2﹣100 C．（x+2）2﹣92 D．（x﹣2）2﹣92

5．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　）

A． B．4 C．25 D．5

6．已知a，b是实数，定义：a※b＝ab+a+b．若m是常数，则关于x的方程：x※（mx）＝﹣1，下列说法正确的是（　　）

A．方程一定有实数根        B．当m取某些值时，方程没有实数根 

C．方程一定有两个实数根    D．方程一定有两个不相等的实数根

7．若x1，x2是方程x2＝16的两根，则x1+x2的值是（　　）

A．16 B．8 C．4 D．0

8．将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc．例如＝8×5﹣9×3＝40﹣27＝13．则方程＝﹣9的根的情况为（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．只有一个实数根

9．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C．﹣1 D．4或﹣1

10．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．12

二．填空题

11．方程3x（x﹣1）＝6（x﹣1）的根为 　          　．

12．关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣2＝0的一个根是x＝1，则这个方程的另一根为 　                　．

13．将方程3x2﹣6x﹣8＝0配方为a（x﹣h）2＝k，其结果是 　           　．

14．一元二次方程x2+2x+2＝0的根的判别式的值为　   　．

15．设方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 　     　．

16．若a，b是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则代数式a2﹣3a﹣b的值是　 　．

17．现定义运算“⊗”，对于任意实数a、b，都有a⊗b＝a2﹣3a+b；如：3⊗5＝32﹣3×3+5，若x⊗2＝6，则实数x的值是　     　．

三．解答题

18．解方程：

（1）x2+2x＝0．                  （2）．

19．解方程：

（1）（x+1）2＝4；                （2）3x（x﹣1）＝1．

20．解方程

（1）2x2+3x﹣3＝0；              （2）x（2x﹣5）＝10﹣4x．

21．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

22．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．

23．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．

（1）若x1＝1，求x2及m的值；

（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

24．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．请根据阅读材料解决下列问题：

（1）填空：分解因式4a2﹣4a+1＝　        　；

（2）把x2﹣10x﹣1写成（x+h）2+k后，求出h+k的值；

（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+3b2+c2+3＝2ab+4b+2c，试判断△ABC的形状，并说明理由．

参考答案

一．选择题

1．解：∵x2﹣2x＝0，

∴x（x﹣2）＝0，

则x＝0或x﹣2＝0，

解得x1＝0，x2＝2，

故选：A．

2．解：∵3x2﹣4x＝8，

∴3x2﹣4x﹣8＝0，

则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，

故选：B．

3．解：∵x2﹣8x＝﹣5，

∴x2﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）2＝11，

故选：D．

4．解：x2+4x﹣96＝x2+4x+4﹣4﹣96＝（x+2）2﹣100，

故选：A．

5．解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4和2，

即AC＝6，BD＝2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，

由勾股定理得：AD＝＝，

故选：A．

6．解：∵a※b＝ab+a+b，

∴x※（mx）＝x•mx+x+mx＝mx2+（m+1）x＝﹣1，

由mx2+（m+1）x＝﹣1得

mx2+（m+1）x+1＝0，

△＝b2﹣4ac＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，

∴方程一定有实数根．

故选：A．

7．解：∵x2＝16，

∴x1＝4，x2＝﹣4，

则x1+x2＝0，

故选：D．

8．解：∵方程＝﹣9，

∴x2﹣6x＝﹣9，

∴x2﹣6x+9＝0，

∴△＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0，

∴方程＝﹣9有两个相等的实数根，

故选：B．

9．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．

整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．

解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．

即a2+b2的值为4．

故选：A．

10．解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，

∴m+n＝﹣3，mn＝﹣9，

∵m是x2+3x﹣9＝0的一个根，

∴m2+3m﹣9＝0，

∴m2+3m＝9，

∴m2+4m+n＝m2+3m+m+n＝9+（m+n）＝9﹣3＝6．

故选：C．

二．填空题

11．解：原方程变形整理后得：3（x﹣1）（x﹣2）＝0，

∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，

解得：x1＝1，x2＝2，

故答案为：x1＝1，x2＝2．

12．解：设关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣2＝0的另一个实数根是x＝α，

∵关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣2＝0的一个根是x＝1，

∴1×α＝﹣，

∴α＝﹣．

故答案为．

13．解：3x2﹣6x﹣8＝0，

∴3（x2﹣2x+1）＝8+3，

∴3（x﹣1）2＝11，

故答案为：3（x﹣1）2＝11．

14．解：∵a＝1，b＝2，c＝2，

∴△＝22﹣4×1×2＝﹣4，

故答案为：﹣4．

15．解：∵方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，

∴x1+x2＝2021，x1x2＝﹣1，

∴x1+x2﹣x1x2＝2021+1＝2022．

故答案是：2022．

16．解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，

∴a+b＝2，a2﹣2a﹣5＝0，即a2﹣2a＝5，

∴a2﹣3a﹣b＝（a2﹣2a）﹣（a+b）＝5﹣2＝3．

故答案为：3．

17．解：由题意可知：x2﹣3x+2＝6，

∴x2﹣3x﹣4＝0，

∴（x﹣4）（x+1）＝0，

∴x＝4或x＝﹣1．

故答案为：4或﹣1．

三．解答题

18．解：（1）x（x+2）＝0，

x＝0或x+2＝0，

所以x1＝0，x2＝﹣2；

（2）方程整理为3x2﹣8x﹣2＝0，

∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝4×22，

∴x＝＝＝，

所以x1＝，x2＝．

19．解：（1）方程（x+1）2＝4，

开方得：x+1＝2或x+1＝﹣2，

解得：x1＝1，x2＝﹣3；

（2）方程整理得：3x2﹣3x﹣1＝0，

这里a＝3，b＝﹣3，c＝﹣1，

∵△＝（﹣3）2﹣4×3×（﹣1）＝9+12＝21＞0，

∴x＝＝，

解得：x1＝，x2＝．

20．解：（1）∵a＝2，b＝3，c＝﹣3，

∴△＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，

则x＝＝，

∴x1＝，x2＝．

（2）x（2x﹣5）＝10﹣4x，

x（2x﹣5）+2（2x﹣5）＝0，

（2x﹣5）（x+2）＝0，

∴x1＝，x2＝﹣2．

21．解：小敏：×；

小霞：×．

正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，

提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．

则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，

解得x1＝3，x2＝6．

22．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，

解得m≤0．

故m的取值范围是m≤0；

（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，

∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，

∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，

解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．

故m的值为﹣2．

23．解：（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，

x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，

∵x1＝1，

∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，

∴x2＝5，m＝3；

（2）存在．

∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，

∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，

即2m﹣1﹣6＝，

整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，

∵m≤5且m≠5，

∴m＝2．

24．解：（1）4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2；

故答案为：（2a﹣1）2；

（2）x2﹣10x﹣1

＝x2﹣10x+52﹣52﹣1

＝（x﹣5）2﹣26

∴h＝﹣5，k＝﹣26，

∴h+k＝﹣31；

（3）△ABC为等边三角形．理由如下：

∵a2+3b2+c2+3＝2ab+4b+2c，

∴a2+3b2+c2﹣2ab﹣4b﹣2c+3＝0，

∴a2﹣2ab+b2+2b2﹣4b+2+c2﹣2c+1＝0，

∴（a﹣b）2+2（b﹣1）2+（c﹣1）2＝0，

∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，

即a＝b＝c＝1，

∴△ABC为等边三角形．