专题06 一元一次方程-2021年中考数学二轮复习专题 学案+课件

2021年中考数学一轮专题复习

学案06 一元一次方程

1．方程、方程的解、解方程：

（1）含有未知数的  等式  叫做方程．

（2）使方程左右两边的值相等的  未知数的值  ，叫做方程的解．

（3）求  方程解  的过程叫做解方程．

注意：方程的解与解方程不同．

2．一元一次方程：

在整式方程中，只含有  1  个未知数，并且未知数的最高次数是  1  ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．

3.一元一次方程的一般形式：     ax+b=0(a，b为常数，且a≠0)         .　

【例1】（2019•呼和浩特14/25）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为　   　．

【解答】解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，

∴2m﹣1＝1，即m＝1或m＝0，

方程为x﹣2＝0或﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或x＝﹣2，

故答案为：x＝2或x＝﹣2．

【例2】已知3是关于x的方程2x－a＝1的解，则a的值是(　　)

A．－5　　　B．5　　　C．7　　　D．2

【分析】直接利用方程的解的定义可得出关于a的方程：6－a＝1，所以a＝5.

【答案】B

1.等式的基本性质：

（1）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
如果a=b，那么a±c= b±c．

（2）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．

如果a=b，那么ac= bc；如果a=b(c≠0)，那么．

（3）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质：①对称性：等式的左、右两边交换位置，所得的结果仍是等式．如果a=b，那么b= a．②传递性：如果a=b，且b=c，那么a= c．等式的传递性，习惯上也称作是等量代换．

2．解一元一次方程的步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.

【例3】（2020•重庆A卷7/26）解一元一次方程时，去分母正确的是（   ）

A．3(x+1)=1-2x B．2(x+1)=1-3x C．2(x+1)=6-3x D．3(x+1)=6-2x

【考点】解一元一次方程

【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．

【解答】解：方程两边都乘以6，得：3(x+1)=6-2x，

故选：D．

【点评】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．

【例4】解方程：（1）20%+50%x=7.2；（2）．

【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程合并，把x系数化为1，即可求出解．

【答案】解：（1）移项，得：50%x=7.2–20%，

合并同类项，得：0.5x=7，

将x的系数化为1，解得：x=14．

（2）合并同类项，得：，

将x的系数化为1，解得：x=4．

1．列一元一次方程解应用题的一般步骤：

审题→找出  相等关系  →列出一元一次方程→解一元一次方程→写出答案．

2.关键：寻找等量关系是关键，注意两点：（1）设适当的未知数；（2）题中各个量的单位．

【例5】（2020•山西17/23）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．

【考点】一元一次方程的应用

【分析】设该电饭煲的进价为x元，则售价为80%×(1+50%)x元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，求解即可．

【解答】解：设该电饭煲的进价为x元，则标价为(1+50%)x元，售价为80%×(1+50%)x元，

根据题意，得80%×(1+50%)x-128=568，

解得x=580．

答：该电饭煲的进价为580元．

【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．

【例6】（2018·呼和浩特13/25）文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元”，小华说：“那就多买一个吧，谢谢，”根据两人的对话可知，小华结账时实际付款        元．

【考点】一元一次方程的应用．

【分析】设小华购买了x个笔袋，根据原单价×购买数量（x﹣1）﹣打九折后的单价×购买数量（x）＝节省的钱数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出小华购买的数量，再根据总价＝单价×0.9×购买数量，即可求出结论．

【解答】解：设小华购买了x个笔袋，

根据题意得：18（x﹣1）﹣18×0.9x＝36，

解得：x＝30，

∴18×0.9x＝18×0.9×30＝486．

答：小华结账时实际付款486元．

故答案为：486．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

1.行程问题：

基本量间的关系：路程=速度×时间

相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程

追及问题：被追的路程=甲走的路程-乙走的路程（若甲为快者）

2.工程问题：

基本量间的关系：工作效率=

其他常用关系量：①甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率；②通常把工作总量看作“1”.

【例7】（2020•吉林10/26）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为                    ．

【考点】数学常识；由实际问题抽象出一元一次方程

【分析】设快马x天可以追上慢马，根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【解答】解：设快马x天可以追上慢马，

依题意，得：(240-150)x=150×12．

故答案为：(240-150)x=150×12．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

【例8】（2019·安徽省17/23）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

【考点】一元一次方程的应用．

【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．

【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，

由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，

解得x＝7，

所以乙工程队每天掘进5米，

（天）

答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．

【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．

1．请写出一个解为x＝2的一元一次方程：__________．

2. 已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是(　　)

A．2　　　B．－2　　　C.　　　D．－

3.设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算=ad﹣bc，则满足等式=1的x的值为　　　　　　．

4.解方程：（1）5(x-1)-1=2x；（2）．

5.（2020•青海15/28）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是　　

A． B． 

C． D．

6.（2018·通辽8/26）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（　　）

A．亏损20元 B．盈利30元 C．亏损50元 D．不盈不亏

7.（2020•呼和浩特5/24）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了　　

A．102里 B．126里 C．192里 D．198里

8.湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为__________________.

9.根据省“十三五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260 km，求提速后的火车速度．(精确到1 km/h)

10.（2020•安徽19/23）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长，其中线上销售额增长，线下销售额增长．

（1）设2019年4月份的销售总额为元，线上销售额为元，请用含，的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；

（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．

11.甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快，两人同时从起点同向出发，经过两人首次相遇，此时乙还需跑才能跑完第一圈．

（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）

（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？

12.为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

13.为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？

14.某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20 m3，每立方米收费2元；若用水超过20 m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水           m3．

1．请写出一个解为x＝2的一元一次方程：__________．

【考点】一元一次方程的解．

【解答】解：根据题意，写出一元一次方程的解为x＝2即可，故方程可以是：2x-2=2.

注意答案不唯一．

2. 已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是(　　)

A．2　　　B．－2　　　C.　　　D．－

【考点】一元一次方程的解．

【解答】解：把x＝m代入原方程，

得：4m－3m＝2，

解得：m=2，

故答案为：A．

3.设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算=ad﹣bc，则满足等式=1的x的值为　　　　　　．

【考点】解一元一次方程．

【分析】根据题中的新定义化简已知方程，求出方程的解即可得到x的值．

【解答】解：根据题中的新定义得：，

去分母得：3x﹣4x﹣4=6，

移项合并得：﹣x=10，

解得：x=﹣10，

故答案为：﹣10．

【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．

4.解方程：（1）5(x-1)-1=2x；（2）．

【分析】（1）去括号求解即可；

（2）通分再移项合并同类项即可．

【解答】解：（1）5(x-1)-1=2x

5x-6=2x

即3x=6

x=2

（2）

15x+5x+10=15-3x+18

即23x=23

x=1

【点评】掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．

5.（2020•青海15/28）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是　　

A． B． 

C． D．

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程

【分析】根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．

【解答】解：依题意，得：．

故选：B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

6.（2018·通辽8/26）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（　　）

A．亏损20元 B．盈利30元 C．亏损50元 D．不盈不亏

【考点】一元一次方程的应用．

【分析】设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据销售收入﹣进价＝利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再由两件商品的销售收入﹣成本＝利润，即可得出商店卖这两件商品总的亏损20元．

【解答】解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，

根据题意得：150﹣x＝25%x，150﹣y＝﹣25%y，

解得：x＝120，y＝200，

∴150+150﹣120﹣200＝﹣20（元）．

故选：A．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

7.（2020•呼和浩特5/24）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了　　

A．102里 B．126里 C．192里 D．198里

【考点】一元一次方程的应用

【分析】设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，依此往前推，第一天走的路程为里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，依此往前推，第一天走的路程为里，

依题意，得：，

解得：．

，

，

答：此人第一和第六这两天共走了198里，

故选：D．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

8.湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为__________________.

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于或等于0，列出不等式x-2≥0，解不等式即可.

【答案】50-8x=38

9.根据省“十三五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260 km，求提速后的火车速度．(精确到1 km/h)

【分析】根据提速前与提速后连云港至徐州的距离不变，列出方程，求解即可.

【答案】解：设提速后的火车速度是x km/h，根据题意，

得2.3(x－260)＝0.6x，

解得x＝352.

答：提速后的火车速度是352 km/h.

10.（2020•安徽19/23）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长，其中线上销售额增长，线下销售额增长．

（1）设2019年4月份的销售总额为元，线上销售额为元，请用含，的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；

（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．

【考点】列代数式；一元一次方程的应用

【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含，的代数式表示出2020年4月份的线下销售额；

（2）根据2020年4月份的销售总额线上销售额线下销售额，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值（用含的代数式表示），再将其代入中即可求出结论．

【解答】解：（1）与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长，

该超市2020年4月份线下销售额为元．

故答案为：．

（2）依题意，得：，

解得：，

．

答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

11.甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快，两人同时从起点同向出发，经过两人首次相遇，此时乙还需跑才能跑完第一圈．

（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）

（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？

【分析】（1）可设乙的速度是每分钟米，则甲的速度是每分钟米，两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程与乙路程的差环形场地的路程，列出方程即可求解；

（2）在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程乙路程环形场地的路程，列出算式求解即可．

【答案】解：（1）设乙的速度是每分钟米，则甲的速度是每分钟米，依题意有：

，

解得，

．

答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米．

（2）

（米，

（米．

答：乙的速度至少要提高每分钟50米．

12.为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

【分析】设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．

【答案】解：设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米，

由题意，得，

解得   ，

所以乙工程队每天掘进5米，

（天

答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．

13.为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？

【解答】解法一：设九年级一班胜的场数是场，负的场数是场．

依题意，得    解得

答：九年级一班胜的场数是5场，负的场数是3场．

解法二：设九年级一班胜的场数是场，负的场数是场．

据题意，得2+=13，解得=5，负的场数=8-5=3（场）.

答：九年级一班胜的场数是5场，负的场数是3场．

【考点】一元一次方程的应用或二元一次方程组的应用.

【分析】本题重要的基础是学生理解题意的能力，关键是设出胜的场数且以总分数做为等量关系列方程（组）求解.

14.某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20 m3，每立方米收费2元；若用水超过20 m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水           m3．

【考点】一元一次方程的应用．.

【分析】20立方米时交40元，题中已知五月份交水费64元，即已经超过20立方米，所以在64元水费中有两部分构成，列方程即可解答．

【解答】解：设该用户居民五月份实际用水x立方米，

故20×2+（x﹣20）×3=64，

故x=28．

故答案是：28．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．