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【中考二轮】2024年中考数学 热点04+二次函数(17大题型+满分技巧+限时分层检测)-专题训练.zip
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这是一份【中考二轮】2024年中考数学 热点04+二次函数(17大题型+满分技巧+限时分层检测)-专题训练.zip，文件包含热点04二次函数原卷版docx、热点04二次函数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共152页， 欢迎下载使用。
关于中考二次函数命题趋势，以下是几点可能的方向和要点：
1.基础知识点考查：二次函数的基本性质、图像、对称轴、顶点等基础知识是中考命题的基础。考生需要熟练掌握这些基础知识，并能够在实际题目中灵活应用。
2. 函数图像与性质的综合应用：命题可能会要求考生根据给定的二次函数表达式，判断其开口方向、顶点坐标、对称轴等性质，或者在给定函数图像的情况下，分析函数的性质。
3. 与实际问题的结合：二次函数在实际生活中有广泛的应用，如抛物线的运动轨迹、最大最小值问题等。命题可能会以实际问题为背景，要求考生建立二次函数模型，并求解相关问题。
4. 与其他知识点的综合应用：与一次函数类似，二次函数也可能与其他知识点进行综合考查，如与方程、不等式、几何等知识的结合。考生需要注重跨知识点的综合练习，提高综合应用能力。
5. 创新题型和拓展应用：为了考查考生的创新思维和拓展应用能力，命题可能会设计一些新颖的题型或拓展应用，如动态函数问题、函数与其他学科的交叉问题等。考生需要关注这些新型题型，拓宽解题思路。
为了更好地应对中考二次函数的命题趋势，考生需要在平时的学习中加强对二次函数的练习，深入理解二次函数的性质和图像，同时也要注重与其他知识点的综合运用，提高自己的数学思维能力和问题解决能力。同时，关注新型题型和拓展应用，拓宽解题思路，提高创新能力。
考向一：二次函数基础部分
【题型1 二次函数的图象、性质】
1．（2022•长宁区二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
A．B．
C．D．
2．（2022•上海模拟）已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是
A．B．
C．D．
3．（2023•徐汇区模拟）如果二次函数图象的顶点在轴上，那么的值是 ．
4．（2023•虹口区二模）已知抛物线的对称轴为直线，点、都在该抛物线上，那么 （填“”或“”或“” ．
5．（2023•松江区二模）我们定义：二次项系数之和为1，图象都经过原点且对称轴相同的两个二次函数称作互为友好函数．那么的友好函数是 ．
【题型2 二次函数图象与系数的关系】
1．（2023•杨浦区二模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是 ．
2．（2023•杨浦区三模）如果抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，那么的取值范围是 ．
3．（2023•静安区校级一模）定义：把二次函数与，、是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与、是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标 ．
【题型3 二次函数图象上点的坐标特征与几何变换】
1．（2023•长宁区二模）已知抛物线经过点，，，那么的值是
A．2B．3C．4D．
2．（2023•青浦区二模）已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点的坐标为 ．
3．（2023•闵行区二模）在平面直角坐标系中，如果把抛物线向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是
A．开口方向相同B．对称轴相同
C．顶点的横坐标相同D．顶点的纵坐标相同
4．（2021•上海）将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是
A．开口方向不变B．对称轴不变
C．随的变化情况不变D．与轴的交点不变
5．（2023•奉贤区二模）如果一个二次函数的图象顶点是原点，且它经过平移后能与的图象重合，那么这个二次函数的解析式是 ．
6．（2023•松江区二模）将抛物线向左平移1个单位后的抛物线表达式为 ．
7．（2020•上海）如果将抛物线向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ．
8．（2023•上海）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线经过点，点不与点重合．
（1）求点，的坐标；
（2）求，的值；
（3）平移抛物线至，点，分别平移至点，，联结，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式．
【题型4 待定系数法求二次函数解析式】
1．（2023•上海）一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
2．（2023•长宁区一模）已知关于的函数是二次函数．
（1）求的值并写出函数解析式；
（2）用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
3．（2023•宝山区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、．
（1）求抛物线的表达式；
（2） 点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点的横坐标为，试求点的坐标．
考向二：二次函数与方程
【题型5 抛物线与坐标轴的交点问题】
1．（2023•徐汇区二模）如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有着相同的交点、（点在点右侧），与轴的交点分别为、．如果，那么抛物线的表达式是 ．
2．（2023•虹口区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
（1）求此抛物线的表达式及点的坐标；
（2）将此抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点，求的值．
3．（2022·上海青浦·校考一模）已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023•金山区一模）如图，已知抛物线与轴交于原点与点，顶点为点．
（1）求抛物线的表达式以及点的坐标；
（2）已知点，，若的面积为6，求点的坐标．
【题型6 已知二次函数的函数值求自变量的值】
1．已知函数．
(1)若，求对应x值；
(2)若，求对应x的取值范围．
2.（2023·四川绵阳·统考二模）二次函数的部分对应值如列表所示：则一元二次方程的解为 ．
3．（2023·安徽·校联考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）．
（1）当抛物线经过时， ．
（2）当时，时，，则m的取值范围是 ．
4．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（a，b是常数，a≠0）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
(2)若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．
(3)记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求m的值．
【题型7 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】
1．（2023·上海·校考一模）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点”．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则 ．
2．（2024·福建南平·统考一模）已知抛物线上某些点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：
有以下几个结论：
①抛物线与轴的交点坐标是；
②抛物线的对称轴为直线；
③关于x的方程的根为和；
④当时，的取值范围是．
其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·江苏泰州·统考二模）在平面直角坐标系中，对于函数，其中、、为常数，，定义：函数是的衍生函数，点是函数的衍生点，设函数与其衍生函数的图象交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
(1)若函数的图象过点、 ，其衍生点，求函数的解析式；
(2)①若函数的衍生函数为，求A、B两点的坐标；
函数的图象如图所示，请在图中标出点A、B两点的位置；
是否存在常数，使得无论为何值，函数的衍生点始终在直线上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【题型8 求x轴与抛物线的截线长】
1．（2023·上海普陀·校级期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．
2．（2023·成都）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为D．当时，的值随值的增大而增大
3．在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象经过点和点,直线经过抛物线的顶点且与轴垂直,垂足为.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）设抛物线上有一动点从点处出发沿抛物线向上运动,其纵坐标随时间
≥)的变化规律为.现以线段为直径作.
①当点在起始位置点处时,试判断直线与的位置关系,并说明理由；在点运动的过程中,直线与是否始终保持这种位置关系?请说明你的理由；
②若在点开始运动的同时,直线也向上平行移动,且垂足的纵坐标随时间的变化规律为,则当在什么范围内变化时,直线与相交?此时,若直线被所截得的弦长为,试求的最大值.
考向三：二次函数与不等式
【题型9 图象法解一元二次不等式】
1．（2023·江苏）已知二次函数（为常数）．
(1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，
①则的值是_________，点的坐标是_________；
②当时，借助图像，求自变量的取值范围；
(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；
(3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
2．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）D．﹣1＜a＜﹣
3．如图，二次函数的图象的对称轴为，且经过点，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．当时，D．不等式的解集是
【题型10 利用不等式求自变量或函数值的范围】
1．（2023·上海·统考中考真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是 ．
2．（2023·浙江衢州·统考中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·湖北·一模）如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
(1)已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式；
(2)当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值大于函数的值，直接写出b的取值范围．
4．（2022·北京海淀·校考模拟预测）平面直角坐标系中，点和图形，若上存在点与点对应，则称是图形的“呼应点”．
(1)点的“呼应点”的坐标为_______；
(2)是否存在点是直线的“呼应点”，若存在，求的值；若不存在，说明理由；
(3)直线上存在以为圆心，为半径的的“呼应点”，直接写出的取值范围______．
【题型11 根据交点确定不等式的解集】
1．已知抛物线，现将其图象向上平移个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．直线和抛物线 在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式的解集是 ．
3．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求的取值范围；
(3)抛物线与轴交于点，直线上有一动点， 将点向下平移个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围．
考向四：实际问题与二次函数
【题型12 图形问题】
1．（2023·上海长宁·统考二模）已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，点D是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点D的坐标；
(3)如图2，点E坐标为，在抛物线上存在点P，满足，请直接写出直线的表达式．
2．（2023·上海闵行·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与x轴的负半轴交于点C．
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接．
①如果与线段交于点E，且，求的正切值；
②如果与y轴交于点F，以为半径的，与以为半径的外切，求点D的坐标．
3．（2022·上海松江·校考三模）如图，抛物线过点B（3，0），C（0，-3），D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；
(2)连接BC，CD，DB，求的正切值；
(3)点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接，直线与对称轴交于点，在（2）的条件下，点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点使和相似，若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由．
【题型13 图形运动问题】
1．（2023·上海·校考一模）如图，在中，，是边上的中线，，，点Q是延长线上的一动点，过点Q作，交的延长线于点P．
(1)当点B为的中点时，求的长；
(2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)过点B作交于F，当和相似时，求的长．
2．（2022·上海崇明·统考二模）如图，在中，．点E是线段AB上一动点，点G在BC的延长线上，且，连接EG，以线段EG为对角线作正方形EDGF，边ED交AC边于点M，线段EG交AC边于点N，边EF交BC边于点P．
(1)求证：﹔
(2)设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；
(3)连接NP，当是直角三角形时，求AE的值．
3．（2022·上海黄浦·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（4，0），顶点为H（2，4），对称轴l与x轴交于点B，点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点C位于对称轴左侧，∠CHB＝∠CAO，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQCH，交对称轴l于点Q，且，求直线PQ的表达式．
【题型14 拱桥问题】
1．（2024·上海杨浦·统考一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号）
2．（2023·上海静安·统考一模）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点O距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为 ．
3．（2022·浙江温州·统考中考真题）根据以下素材，探索完成任务．
【题型15 销售问题】
1．（2023·上海杨浦·统考三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），部分对应值如下表：
(1)求y与x的函数解析式；
(2)如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？
2．（2023·浙江湖州·统考中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)试求出y关于x的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
3．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．
(1)求两种商品的销售单价．
(2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【题型16 投球问题】
1．（2023·上海青浦·校考一模）如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米．
2．（2023·上海徐汇·上海市第四中学校考一模）某初三学生对自己某次实心球训练时不慎脱手，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系为，由此可知该考生此次实心球训练的成绩为 米．
3．（2023·浙江·统考中考真题）根据以下素材，探究完成任务．
【题型17 喷水问题】
1．（2023·上海杨浦·统考一模）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是，那么水珠达到的最大高度为 米．
2．（2023·上海松江·统考一模）公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是 米．
3．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校（集团）高新中学校考三模）某景观公园计划在圆形水池内修建一个小型喷泉，水柱从池中心且垂直于水面的水枪喷出，水柱喷出后落于水面的形状是抛物线．设距水枪水平距离为d米时，水柱距离水面的高度为h米，现测量得出如下数据．
请解决以下问题：
(1)请结合表中所给数据，直接写出水柱最高点距离水面的高度为______米．
(2)在网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中已知各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
(3)h关于d的函数关系式为：______（不需写出自变量的取值范围），表格中m的值为______．
(4)以节水为原则，为体现公园喷泉景观的美观性，在不改变水柱形状的基础上，修建工人打算将水枪的高度上升米．若圆形喷水池的半径为3米，提升水枪高度后，水柱是否会喷到水池外面？请说明理由．（其中）
（建议用时：20分钟）
1．（2021·上海·统考中考真题）将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A．开口方向不变
B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变
D．与y轴的交点不变
2．（2023·上海闵行·统考二模）在平面直角坐标系中，如果把抛物线向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是（ ）
A．开口方向相同；B．对称轴相同；
C．顶点的横坐标相同；D．顶点的纵坐标相同．
3．（2023·上海青浦·统考二模）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·上海长宁·统考二模）已知抛物线经过点，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·上海·统考中考真题）如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ．
6．（2023·上海金山·统考二模）抛物线在轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）．
7．（2023·上海青浦·统考二模）已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点N的坐标为 ．
8．（2023·上海虹口·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，点、都在该抛物线上，那么 ．(填“”或“”或“”)．
9．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是 ．
10．（2023·江苏无锡·统考中考真题）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．
(1)求关于的函数表达式：
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
11．（2023·上海宝山·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求二次函数的解析式和顶点D的坐标；
(2)连接，试判断与是否相似，并说明理由；
(3)将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，连接，如果四边形的面积为3，求新抛物线的解析式．
12．（2023·上海金山·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点．
(1)求抛物线的表达式及对称轴；
(2)如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标；
(3)点在直线上，若，求点的坐标．
（建议用时：20分钟）
1．（2023·上海松江·统考二模）在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线的顶点为．
(1)若抛物线经过点，求抛物线解析式；
(2)将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标；
(3)设抛物线的对称轴与直线交于点，且点位于轴上方，如果，求的值．
2．（2023·上海虹口·校联考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴相交于点B，异于顶点A的点在该抛物线上．
(1)如图，点B的坐标为
①求点A的坐标和n的值；
②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点，如果四边形为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式；
直线与y轴相交于点E，如果且点B在线段上，求m的值．
3．（2023·上海杨浦·二模）已知抛物线：与x轴相交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)把抛物线沿射线方向平移得到抛物线，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线上，设点F在抛物线 上，如果是以为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
(3)在第（2）小题的条件下，设点M为线段上的一点，，交直线于点N，求的值．
4．（2023·上海浦东新·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长；
(3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标
5．（2021·上海·统考中考真题）已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
满分技巧
1．二次函数的图象：
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表②描点③连线
注意：在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
2．二次函数的性质：
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
满分技巧
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
满分技巧
1.二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
2．二次函数图象几何变换技巧：
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
满分技巧
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式的解题方法：
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
满分技巧
1.求抛物线与x轴的交点解法方法：
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
2.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系：
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二次函数的交点式与x轴的交点坐标关系：
y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
满分技巧
1.已知二次函数的函数值求自变量的值
将函数值y＝m代入解析式y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）中，解二元一次方程即可.
注意：如果遇到不等式问题，例如y＜m可直接将关于y的不等式代入解析式中，即y＝ax2+bx+c＜m，解不等式即可，较为复杂问题，不要忘记数形结合.
满分技巧
根据二次函数图象确定相应方程根的情况，主要依赖于二次函数图象与x轴的交点：
（1）当二次函数图象与x轴有两个交点时，对应二次方程有两个不相等的实数根；
（2）当二次函数图象与x轴有一个交点时，对应的二次方程有两个相等的实数根；
（3）当二次函数图象与x轴没有交点时，对应的二次方程没有实数根.
…
0
…
…
p
1
p
m
…
满分技巧
直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的截线长，也称“割距”，一般用两点距离公式求出其长度，即.
满分技巧
图象法解一元二次不等式的基本步骤如下：
（1）确定二次函数的开口方向；
（2）找到二次函数与x轴的交点
（3）确定不等式的解集
满分技巧
二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
满分技巧
根据交点确定不等式的解集方法：
（1）解出与不等式相关的方程，找出其交点，这些交点通常是不等式解集的边界；
（2）在函数图象上标出交点的位置；
（3）根据不等式的符号（如大于、小于、大于等于、小于等于），画出函数对应图象，并确定解集的方向和范围。
满分技巧
二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
每件售价x（元）
9
11
13
每天的销售量y（件）
105
95
85
销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．
问题解决
任务1
计算投掷距离
建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化
求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议
为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
d（米）
0
h（米）
m
0
关于中考二次函数命题趋势，以下是几点可能的方向和要点：
1.基础知识点考查：二次函数的基本性质、图像、对称轴、顶点等基础知识是中考命题的基础。考生需要熟练掌握这些基础知识，并能够在实际题目中灵活应用。
2. 函数图像与性质的综合应用：命题可能会要求考生根据给定的二次函数表达式，判断其开口方向、顶点坐标、对称轴等性质，或者在给定函数图像的情况下，分析函数的性质。
3. 与实际问题的结合：二次函数在实际生活中有广泛的应用，如抛物线的运动轨迹、最大最小值问题等。命题可能会以实际问题为背景，要求考生建立二次函数模型，并求解相关问题。
4. 与其他知识点的综合应用：与一次函数类似，二次函数也可能与其他知识点进行综合考查，如与方程、不等式、几何等知识的结合。考生需要注重跨知识点的综合练习，提高综合应用能力。
5. 创新题型和拓展应用：为了考查考生的创新思维和拓展应用能力，命题可能会设计一些新颖的题型或拓展应用，如动态函数问题、函数与其他学科的交叉问题等。考生需要关注这些新型题型，拓宽解题思路。
为了更好地应对中考二次函数的命题趋势，考生需要在平时的学习中加强对二次函数的练习，深入理解二次函数的性质和图像，同时也要注重与其他知识点的综合运用，提高自己的数学思维能力和问题解决能力。同时，关注新型题型和拓展应用，拓宽解题思路，提高创新能力。
考向一：二次函数基础部分
【题型1 二次函数的图象、性质】
1．（2022•长宁区二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
A．B．
C．D．
2．（2022•上海模拟）已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是
A．B．
C．D．
3．（2023•徐汇区模拟）如果二次函数图象的顶点在轴上，那么的值是 ．
4．（2023•虹口区二模）已知抛物线的对称轴为直线，点、都在该抛物线上，那么 （填“”或“”或“” ．
5．（2023•松江区二模）我们定义：二次项系数之和为1，图象都经过原点且对称轴相同的两个二次函数称作互为友好函数．那么的友好函数是 ．
【题型2 二次函数图象与系数的关系】
1．（2023•杨浦区二模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是 ．
2．（2023•杨浦区三模）如果抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，那么的取值范围是 ．
3．（2023•静安区校级一模）定义：把二次函数与，、是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与、是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标 ．
【题型3 二次函数图象上点的坐标特征与几何变换】
1．（2023•长宁区二模）已知抛物线经过点，，，那么的值是
A．2B．3C．4D．
2．（2023•青浦区二模）已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点的坐标为 ．
3．（2023•闵行区二模）在平面直角坐标系中，如果把抛物线向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是
A．开口方向相同B．对称轴相同
C．顶点的横坐标相同D．顶点的纵坐标相同
4．（2021•上海）将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是
A．开口方向不变B．对称轴不变
C．随的变化情况不变D．与轴的交点不变
5．（2023•奉贤区二模）如果一个二次函数的图象顶点是原点，且它经过平移后能与的图象重合，那么这个二次函数的解析式是 ．
6．（2023•松江区二模）将抛物线向左平移1个单位后的抛物线表达式为 ．
7．（2020•上海）如果将抛物线向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ．
8．（2023•上海）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线经过点，点不与点重合．
（1）求点，的坐标；
（2）求，的值；
（3）平移抛物线至，点，分别平移至点，，联结，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式．
【题型4 待定系数法求二次函数解析式】
1．（2023•上海）一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
2．（2023•长宁区一模）已知关于的函数是二次函数．
（1）求的值并写出函数解析式；
（2）用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
3．（2023•宝山区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、．
（1）求抛物线的表达式；
（2） 点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点的横坐标为，试求点的坐标．
考向二：二次函数与方程
【题型5 抛物线与坐标轴的交点问题】
1．（2023•徐汇区二模）如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有着相同的交点、（点在点右侧），与轴的交点分别为、．如果，那么抛物线的表达式是 ．
2．（2023•虹口区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
（1）求此抛物线的表达式及点的坐标；
（2）将此抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点，求的值．
3．（2022·上海青浦·校考一模）已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023•金山区一模）如图，已知抛物线与轴交于原点与点，顶点为点．
（1）求抛物线的表达式以及点的坐标；
（2）已知点，，若的面积为6，求点的坐标．
【题型6 已知二次函数的函数值求自变量的值】
1．已知函数．
(1)若，求对应x值；
(2)若，求对应x的取值范围．
2.（2023·四川绵阳·统考二模）二次函数的部分对应值如列表所示：则一元二次方程的解为 ．
3．（2023·安徽·校联考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）．
（1）当抛物线经过时， ．
（2）当时，时，，则m的取值范围是 ．
4．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（a，b是常数，a≠0）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
(2)若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．
(3)记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求m的值．
【题型7 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】
1．（2023·上海·校考一模）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点”．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则 ．
2．（2024·福建南平·统考一模）已知抛物线上某些点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：
有以下几个结论：
①抛物线与轴的交点坐标是；
②抛物线的对称轴为直线；
③关于x的方程的根为和；
④当时，的取值范围是．
其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·江苏泰州·统考二模）在平面直角坐标系中，对于函数，其中、、为常数，，定义：函数是的衍生函数，点是函数的衍生点，设函数与其衍生函数的图象交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
(1)若函数的图象过点、 ，其衍生点，求函数的解析式；
(2)①若函数的衍生函数为，求A、B两点的坐标；
函数的图象如图所示，请在图中标出点A、B两点的位置；
是否存在常数，使得无论为何值，函数的衍生点始终在直线上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【题型8 求x轴与抛物线的截线长】
1．（2023·上海普陀·校级期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．
2．（2023·成都）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为D．当时，的值随值的增大而增大
3．在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象经过点和点,直线经过抛物线的顶点且与轴垂直,垂足为.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）设抛物线上有一动点从点处出发沿抛物线向上运动,其纵坐标随时间
≥)的变化规律为.现以线段为直径作.
①当点在起始位置点处时,试判断直线与的位置关系,并说明理由；在点运动的过程中,直线与是否始终保持这种位置关系?请说明你的理由；
②若在点开始运动的同时,直线也向上平行移动,且垂足的纵坐标随时间的变化规律为,则当在什么范围内变化时,直线与相交?此时,若直线被所截得的弦长为,试求的最大值.
考向三：二次函数与不等式
【题型9 图象法解一元二次不等式】
1．（2023·江苏）已知二次函数（为常数）．
(1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，
①则的值是_________，点的坐标是_________；
②当时，借助图像，求自变量的取值范围；
(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；
(3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
2．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）D．﹣1＜a＜﹣
3．如图，二次函数的图象的对称轴为，且经过点，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．当时，D．不等式的解集是
【题型10 利用不等式求自变量或函数值的范围】
1．（2023·上海·统考中考真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是 ．
2．（2023·浙江衢州·统考中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·湖北·一模）如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
(1)已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式；
(2)当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值大于函数的值，直接写出b的取值范围．
4．（2022·北京海淀·校考模拟预测）平面直角坐标系中，点和图形，若上存在点与点对应，则称是图形的“呼应点”．
(1)点的“呼应点”的坐标为_______；
(2)是否存在点是直线的“呼应点”，若存在，求的值；若不存在，说明理由；
(3)直线上存在以为圆心，为半径的的“呼应点”，直接写出的取值范围______．
【题型11 根据交点确定不等式的解集】
1．已知抛物线，现将其图象向上平移个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．直线和抛物线 在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式的解集是 ．
3．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求的取值范围；
(3)抛物线与轴交于点，直线上有一动点， 将点向下平移个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围．
考向四：实际问题与二次函数
【题型12 图形问题】
1．（2023·上海长宁·统考二模）已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，点D是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点D的坐标；
(3)如图2，点E坐标为，在抛物线上存在点P，满足，请直接写出直线的表达式．
2．（2023·上海闵行·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与x轴的负半轴交于点C．
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接．
①如果与线段交于点E，且，求的正切值；
②如果与y轴交于点F，以为半径的，与以为半径的外切，求点D的坐标．
3．（2022·上海松江·校考三模）如图，抛物线过点B（3，0），C（0，-3），D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；
(2)连接BC，CD，DB，求的正切值；
(3)点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接，直线与对称轴交于点，在（2）的条件下，点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点使和相似，若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由．
【题型13 图形运动问题】
1．（2023·上海·校考一模）如图，在中，，是边上的中线，，，点Q是延长线上的一动点，过点Q作，交的延长线于点P．
(1)当点B为的中点时，求的长；
(2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)过点B作交于F，当和相似时，求的长．
2．（2022·上海崇明·统考二模）如图，在中，．点E是线段AB上一动点，点G在BC的延长线上，且，连接EG，以线段EG为对角线作正方形EDGF，边ED交AC边于点M，线段EG交AC边于点N，边EF交BC边于点P．
(1)求证：﹔
(2)设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；
(3)连接NP，当是直角三角形时，求AE的值．
3．（2022·上海黄浦·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（4，0），顶点为H（2，4），对称轴l与x轴交于点B，点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点C位于对称轴左侧，∠CHB＝∠CAO，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQCH，交对称轴l于点Q，且，求直线PQ的表达式．
【题型14 拱桥问题】
1．（2024·上海杨浦·统考一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号）
2．（2023·上海静安·统考一模）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点O距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为 ．
3．（2022·浙江温州·统考中考真题）根据以下素材，探索完成任务．
【题型15 销售问题】
1．（2023·上海杨浦·统考三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），部分对应值如下表：
(1)求y与x的函数解析式；
(2)如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？
2．（2023·浙江湖州·统考中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)试求出y关于x的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
3．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．
(1)求两种商品的销售单价．
(2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【题型16 投球问题】
1．（2023·上海青浦·校考一模）如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米．
2．（2023·上海徐汇·上海市第四中学校考一模）某初三学生对自己某次实心球训练时不慎脱手，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系为，由此可知该考生此次实心球训练的成绩为 米．
3．（2023·浙江·统考中考真题）根据以下素材，探究完成任务．
【题型17 喷水问题】
1．（2023·上海杨浦·统考一模）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是，那么水珠达到的最大高度为 米．
2．（2023·上海松江·统考一模）公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是 米．
3．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校（集团）高新中学校考三模）某景观公园计划在圆形水池内修建一个小型喷泉，水柱从池中心且垂直于水面的水枪喷出，水柱喷出后落于水面的形状是抛物线．设距水枪水平距离为d米时，水柱距离水面的高度为h米，现测量得出如下数据．
请解决以下问题：
(1)请结合表中所给数据，直接写出水柱最高点距离水面的高度为______米．
(2)在网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中已知各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
(3)h关于d的函数关系式为：______（不需写出自变量的取值范围），表格中m的值为______．
(4)以节水为原则，为体现公园喷泉景观的美观性，在不改变水柱形状的基础上，修建工人打算将水枪的高度上升米．若圆形喷水池的半径为3米，提升水枪高度后，水柱是否会喷到水池外面？请说明理由．（其中）
（建议用时：20分钟）
1．（2021·上海·统考中考真题）将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A．开口方向不变
B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变
D．与y轴的交点不变
2．（2023·上海闵行·统考二模）在平面直角坐标系中，如果把抛物线向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是（ ）
A．开口方向相同；B．对称轴相同；
C．顶点的横坐标相同；D．顶点的纵坐标相同．
3．（2023·上海青浦·统考二模）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·上海长宁·统考二模）已知抛物线经过点，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·上海·统考中考真题）如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ．
6．（2023·上海金山·统考二模）抛物线在轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）．
7．（2023·上海青浦·统考二模）已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点N的坐标为 ．
8．（2023·上海虹口·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，点、都在该抛物线上，那么 ．(填“”或“”或“”)．
9．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是 ．
10．（2023·江苏无锡·统考中考真题）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．
(1)求关于的函数表达式：
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
11．（2023·上海宝山·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求二次函数的解析式和顶点D的坐标；
(2)连接，试判断与是否相似，并说明理由；
(3)将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，连接，如果四边形的面积为3，求新抛物线的解析式．
12．（2023·上海金山·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点．
(1)求抛物线的表达式及对称轴；
(2)如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标；
(3)点在直线上，若，求点的坐标．
（建议用时：20分钟）
1．（2023·上海松江·统考二模）在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线的顶点为．
(1)若抛物线经过点，求抛物线解析式；
(2)将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标；
(3)设抛物线的对称轴与直线交于点，且点位于轴上方，如果，求的值．
2．（2023·上海虹口·校联考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴相交于点B，异于顶点A的点在该抛物线上．
(1)如图，点B的坐标为
①求点A的坐标和n的值；
②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点，如果四边形为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式；
直线与y轴相交于点E，如果且点B在线段上，求m的值．
3．（2023·上海杨浦·二模）已知抛物线：与x轴相交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)把抛物线沿射线方向平移得到抛物线，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线上，设点F在抛物线 上，如果是以为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
(3)在第（2）小题的条件下，设点M为线段上的一点，，交直线于点N，求的值．
4．（2023·上海浦东新·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长；
(3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标
5．（2021·上海·统考中考真题）已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
满分技巧
1．二次函数的图象：
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表②描点③连线
注意：在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
2．二次函数的性质：
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
满分技巧
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
满分技巧
1.二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
2．二次函数图象几何变换技巧：
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
满分技巧
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式的解题方法：
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
满分技巧
1.求抛物线与x轴的交点解法方法：
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
2.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系：
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二次函数的交点式与x轴的交点坐标关系：
y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
满分技巧
1.已知二次函数的函数值求自变量的值
将函数值y＝m代入解析式y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）中，解二元一次方程即可.
注意：如果遇到不等式问题，例如y＜m可直接将关于y的不等式代入解析式中，即y＝ax2+bx+c＜m，解不等式即可，较为复杂问题，不要忘记数形结合.
满分技巧
根据二次函数图象确定相应方程根的情况，主要依赖于二次函数图象与x轴的交点：
（1）当二次函数图象与x轴有两个交点时，对应二次方程有两个不相等的实数根；
（2）当二次函数图象与x轴有一个交点时，对应的二次方程有两个相等的实数根；
（3）当二次函数图象与x轴没有交点时，对应的二次方程没有实数根.
…
0
…
…
p
1
p
m
…
满分技巧
直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的截线长，也称“割距”，一般用两点距离公式求出其长度，即.
满分技巧
图象法解一元二次不等式的基本步骤如下：
（1）确定二次函数的开口方向；
（2）找到二次函数与x轴的交点
（3）确定不等式的解集
满分技巧
二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
满分技巧
根据交点确定不等式的解集方法：
（1）解出与不等式相关的方程，找出其交点，这些交点通常是不等式解集的边界；
（2）在函数图象上标出交点的位置；
（3）根据不等式的符号（如大于、小于、大于等于、小于等于），画出函数对应图象，并确定解集的方向和范围。
满分技巧
二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
每件售价x（元）
9
11
13
每天的销售量y（件）
105
95
85
销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．
问题解决
任务1
计算投掷距离
建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化
求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议
为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
d（米）
0
h（米）
m
0
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