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【中考二轮】2024年中考数学（四川成都专用）重点02 概率综合（命题趋势+2类热考题型+限时检测）-专题训练.zip
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这是一份【中考二轮】2024年中考数学（四川成都专用）重点02 概率综合（命题趋势+2类热考题型+限时检测）-专题训练.zip，文件包含重点02概率综合四川成都专用原卷版docx、重点02概率综合四川成都专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
概率问题是四川成都中考数学的必考考点，常见以B卷填空题的形式，主要是考查求概率等问题，一般出现在中考的B20题或B21题，以中等难度为主，思路相对比较固定，知识点比较综合，日常练习中多注意新颖题目的考向。
【题型1 几何与概率综合问题】
【例1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【分析】如图，设OA=a，则OB=OC=a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：如图，设OA=a，则OB=OC=a，
由正方形的性质可知∠AOB=90°，
，
由正方形的性质可得CD=CE=OC=a，
∴DE=2a，
S阴影=S圆-S小正方形=，
S大正方形=，
∴这个点取在阴影部分的概率是，
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键．
【变式1-1】（2023·四川成都·统考二模）“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在正方形的内切圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是 ．
【答案】
【分析】根据图形的对称性求出黑色图形的面积，利用几何概型的概率公式计算可得．
【详解】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，
设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
所以黑色部分的面积为，
则所求的概率．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解题的关键．
【变式1-2】（2023·四川成都·模拟预测）如图正六边形ABCDEF内接于⊙O，在圆形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率是 ．
【答案】
【分析】连接OC、OD，如图，设⊙O的半径为r，利用圆的内接正六边形的性质得到∠BOD＝∠DOE＝120°，∠BOC＝∠COD＝60°，再判断S弓形DE＝S弓形BC，S△ODE＝S△BCD，所以阴影部分的面积＝S扇形BOD，然后利用几何概率的计算方法求解．
【详解】解：连接OC、OD，如图所示：
设⊙O的半径为r，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠BOD＝∠DOE＝120°，∠BOC＝∠COD＝60°，
∴△OBC和△OCD都为等边三角形，
∴BC＝OC＝CD，∠BCO＝∠COD＝60°，∴S弓形DE＝S弓形BC，S△ODE＝S△BCD，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOD＝＝πr2，
∴在圆形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率＝＝＝，故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率：某事件的概率＝相应的面积与总面积之比，即通过计算长度比、面积比或体积比得到某事件的概率，熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．
【变式1-3】（2023·四川成都·统考一模）如图，是的直径，为弦，，D为直径上一点，且，连接并延长交于点E，现假设可以随意在圆中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【分析】连接，设圆的半径为用r表示出阴影的面积和圆的面积，用概率公式计算即可．
【详解】连接，如图，
设的半径为
∴的面积为
阴影的面积为
∴点取在阴影部分的概率为：，
故答案为：
【点睛】本题考查几何概率，解题的关键是用含r的代数式表示阴影部分的面积．
【变式1-4】（2023·四川成都·成都七中校考三模）如图，分别以边长为2的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，现随机地向该图形内掷一枚小针，针尖落在内的概率为 ．
【答案】
【分析】根据几何概率公式，的面积比上图形总面积，即为针尖落在内的概率．
【详解】解：等边三角形，
，，
如图，过点作交于点，
，
,
，
分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，
可知曲边三角形的三个弓形部分面积相等，为，
图形的总面积为，
故针尖落在内的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，几何概率，熟练求得总面积是解题的关键．
【题型2 代数与几何综合】
【例2】（2021·四川成都·统考中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 ．
【答案】
【分析】先画树状图确定的所有的等可能的结果数，再分别计算符合要求的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．
【详解】解：画树状图如下：
所以一共有种等可能的结果，
又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为：
＜恒成立，为正整数，
满足条件的有：共种情况，
所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是：
故答案为：
【点睛】本题考查的是自定义情境下的概率计算，不等式的性质，掌握利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率是解题的关键．
【变式2-1】（2022·四川成都·统考二模）骰子的六个面上分别标记六个数：-2、-1、0、1、2、3．掷一次骰子，掷得的数字记为，则使得关于x的分式方程有正整数解的概率为 ．
【答案】
【分析】由关于x的分式方程有正整数解，可求得m的值，然后根据概率公式进行求解即可得到答案．
【详解】解：去分母得： ，
∴，
∵该分式方程有正整数解，
∴m+1>0，且m+1≠1
∴使得关于x的分式方程有正整数解的m的值可以为：1，2，3，
故使得关于x的分式方程有正整数解的概率为 ．
故答案为 ．
【点睛】此题考查了概率公式，以及分式方程的解的情况，正确解分式方程，根据题设条件求出m的值是解题的关键．
【变式2-2】（2021·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考一模）有9张卡片，分别写有1~9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为 ．
【答案】
【分析】先求出两个不等式的解，从而可得的所有可能的取值，再根据简单事件的概率公式即可得．
【详解】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
要使不等式组有解，则，
解得，
因此，正整数的所有可能的取值为，
则所求的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、概率的计算，熟练掌握不等式的解法和概率的计算方法是解题关键．
【变式2-3】（2022·四川成都·四川省成都市第七中学初中学校校考一模）有五张正面分别标有数-2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于的方程有正整数解的概率为 ．
【答案】
【分析】先求解分式方程，因为分式方程的解为正整数，进而根据概率公式求解即可．
【详解】∵，
∵分式方程的解为正整数，∴a+1>0，
∴a>-1，∴a＝0，1，3
当a=3，x＝1（分式分母为0，不合题意，舍去），
∴a＝0，1，∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为．
故答案为．
【点睛】本题考查了解含参的分式方程和求概率的问题，确定分式方程有正整数解时的a的值是解题关键．
【变式2-4】（2023·四川成都·模拟预测）从这五个数中任意取出一个数记作b，则既能使函数的图象经过第二、第四象限，又能使关于x的一元二次方程的根的判别式小于零的概率为 ．
【答案】/0.4
【分析】确定使函数的图象经过第二、四象限的b的取值范围，然后确定使方程根的判别式小于零的b的取值范围，找到同时满足两个条件的b的值，利用概率公式计算即可．
【详解】解：∵函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得：；
∵关于x的一元二次方程的根的判别式小于零，
∴，
∴，
∴使函数的图象经过第二、四象限，且使方程的根的判别式小于零的b的值有为0、1，
∴此事件的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
（建议用时：30分钟）
1．（2023·四川成都·模拟预测）已知关于的一元二次方程，现从，1，2三个数中任取一个数作为方程中的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中的值，则取得的，的值能使该一元二次方程有实数根的概率是 .
【答案】
【分析】用列举法依次确定满足方程有实数根的情况数和总的情况数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：，
当和和和时，这四种情况均有，
由于m和n的取值一共有六种情况（m在前，n在后），
∴取得的 m ， n 的值能使该一元二次方程有实数根的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的应用，涉及到了一元二次方程的根的判别式，解题关键是牢记概率公式和一元二次方程根的判别式，理解当时，方程才有实数根．
2．（2023·四川成都·统考二模）如图，在由小正方形组成的矩形网格飞镖游戏板中，扇形的圆心及弧的两端点均为格点．任意投掷飞镖（均击中游戏板），则飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是 ．
【答案】/
【分析】计算出网格的面积与扇形面积，根据概率的计算即可求解．
【详解】解：如图所示，连接
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴飞镖击中扇形的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率的计算，掌握扇形面积的计算方法，概率的计算方法是解题的关键．
3．（2022·四川成都·校考一模）将长度为9厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，2和2，5，2相同），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是 ．
【答案】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可得出答案．
【详解】解：将长度为9厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数，共有1、1、7，1、2、6，1、3、5，1、4、4，2、2、5，2、3、4，3、3、3七种情况，
能构成三角形的有1、4、4，2、3、4；3、3、3三种情况，
则截成的三段木棍能构成三角形的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
4．（2023·四川成都·统考一模）一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是 ．
【答案】/0.01
【分析】根据题意可知：后两个数字共有100种情况，据此即可求得一次就能打开该锁的概率．
【详解】解：因为密码由四个数字组成，千位和百位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则个位上的数字即有可能是中的一个，要试10次，同样，假设个位上的数字是1，则百位上的数字即有可能是中的一个，也要试10次，依此类推，要打开该锁需要试100次，而其中只有一次可以打开，所以，一次就能打开该锁的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
5．（2023·四川成都·统考二模）如图，为菱形的内切圆，，若随机在菱形及其内部投针，则针尖扎在圆形区域的概率为 ．
【答案】
【分析】如图所示，设点E、F分别为与菱形的两个切点，连接，先证明是的角平分线，进而根据菱形的性质证明A、O、C三点共线，同理可证B、O、D三点共线，求出，设，解直角三角形求出，，再求出面积与菱形面积的比值即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设点E、F分别为与菱形的两个切点，连接，
∴，
∴是的角平分线，
∵四边形是菱形，∴平分，∴A、O、C三点共线，
同理可证B、O、D三点共线，∴，
∵，∴，
设，在中，，
在中，，
∴
∴，
∴针尖扎在圆形区域的概率为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，几何概率，角平分线的判定等等，正确作出辅助线求出和菱形的面积是解题的关键．
6．（2023·四川成都·统考二模）正方形的顶点分别在正方形各边上，且，沿正方形各边将其周围的直角三角形向内翻折，得到正方形，向正方形区域随机取点，则点落在正方形区域的概率为 ．
【答案】
【分析】首先根据正方形的性质及全等三角形的判定定理，即可证得，可得，，再根据折叠的性质，可得，最后根据几何概率的求法，即可求解．
【详解】解：设，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
沿正方形各边将其周围的直角三角形向内翻折，得到正方形，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求概率公式，正方形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，求得正方形的边长是解决本题的关键．
7.（2023·四川成都·校考三模）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，连接和．现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【分析】设交于点M，交于点N，设，，分别得到和，即可得到答案．
【详解】解：设交于点M，交于点N，设，，
由勾股定理得，
∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
则，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
则针尖落在阴影区域的概率为，
故答案为：
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，分别表示出和是解题的关键．
8．（2023·四川成都·校考三模）一只袋中装有四个完全相同的小球，小球上分别标有数字1，0，，，随机摸出一个小球，把这只小球上的数字作为一次函数中的k，则得到一次函数的图象不经过第四象限的概率为 ．
【答案】/
【分析】根据一次函数的图象不经过第四象限，可得，从而可得满足题意的数字有1和0，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限，
∴，
∴四个数字中符合题意的有1和0，
∴一次函数的图象不经过第四象限的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查概率公式和一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质判断k的取值范围是解题的关键．
9．（2023·四川成都·统考二模）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”．如图所示，正方形内的一圆O与边均相切，正方形的一条对角线与圆O相交与点M，N（点N在点M的右上方），若正方形的边长为丈，的长度为丈．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在圆中（包含圆上）的概率是 ．
【答案】
【分析】由题意知，，，则，，如图，过作于，则为的半径，设半径为，则，，由，可得，解得，根据这个点取在圆中（包含圆上）的概率是，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，，
如图，过作于，则为的半径，
设半径为，则，∴，
∵，∴，解得，
∴这个点取在圆中（包含圆上）的概率是，故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，切线的性质，余弦，几何概率．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．（2021·四川成都·统考一模）数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周率．如图，正六边形的边长为2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【分析】用阴影部分圆环的面积除以大⊙O的面积即可．
【详解】解：设大⊙O的半径为2r，则正六边形的边长为2r，即小⊙O的半径为，
则随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是设出大⊙O的半径并表示出正六边形的边长及小⊙O的半径，求出对应图形的面积．
11．（2022·四川达州·统考二模）正方形ABCD的边长为2，分别以AB、BC、CD、DA的中点为圆心，1为半径画弧，得到如图所示的阴影部分，若随机向正方形内投小石子，则小石子落在阴影部分的概率为 .
【答案】
【分析】求出4个半圆的面积减去正方形的面积，即为阴影部分面积，用阴影面积除以正方形面积即得．
【详解】∵，
∴小石子落在阴影部分的概率为，
．故答案为．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的定义和基本图形面积公式是解决此类问题的关键．
12．（2022·四川成都·统考二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【答案】//0.25
【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率．
【详解】解：如图，连接EG交BD于点P，
∵平分，
∴ ∠ADE＝∠MDE
∵四边形EFGH是正方形
∴∠MED＝90°，
∴∠AED＝180°－∠MED＝90°
∴∠MED＝∠AED
∵DE＝DE
∴△ADE≌△MDE（ASA）
∴AE＝ME
同理可证△BGC≌△BGN（ASA），
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADM＝45°
∴∠ADE＝∠MDE＝22.5°
∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5°
∵∠MEG＝45°
∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5°
∴∠EMD＝∠MPE
∴EM＝EP
设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x
在Rt△EFG中，∠EFG＝45°，
∴FG＝EG×sin45°＝
∵△BFA≌△AED≌△CGB
∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED，
在Rt△BCG中，
∴＝
∴
∴针尖落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形的面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键．
满分技巧
1、阴影部分面积的求法基本公式是考试必备，解决问题的核心．
2、三角形、四边形、圆的性质，面积的计算等，熟练运用面积的转化．
满分技巧
1、阴影部分面积的求法基本公式是考试必备，解决问题的核心．
2、函数的基本性质、分式方程与一元二次方程的解、一元一次不等式（组）的解法等熟练运用．
概率问题是四川成都中考数学的必考考点，常见以B卷填空题的形式，主要是考查求概率等问题，一般出现在中考的B20题或B21题，以中等难度为主，思路相对比较固定，知识点比较综合，日常练习中多注意新颖题目的考向。
【题型1 几何与概率综合问题】
【例1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【分析】如图，设OA=a，则OB=OC=a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：如图，设OA=a，则OB=OC=a，
由正方形的性质可知∠AOB=90°，
，
由正方形的性质可得CD=CE=OC=a，
∴DE=2a，
S阴影=S圆-S小正方形=，
S大正方形=，
∴这个点取在阴影部分的概率是，
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键．
【变式1-1】（2023·四川成都·统考二模）“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在正方形的内切圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是 ．
【答案】
【分析】根据图形的对称性求出黑色图形的面积，利用几何概型的概率公式计算可得．
【详解】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，
设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
所以黑色部分的面积为，
则所求的概率．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解题的关键．
【变式1-2】（2023·四川成都·模拟预测）如图正六边形ABCDEF内接于⊙O，在圆形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率是 ．
【答案】
【分析】连接OC、OD，如图，设⊙O的半径为r，利用圆的内接正六边形的性质得到∠BOD＝∠DOE＝120°，∠BOC＝∠COD＝60°，再判断S弓形DE＝S弓形BC，S△ODE＝S△BCD，所以阴影部分的面积＝S扇形BOD，然后利用几何概率的计算方法求解．
【详解】解：连接OC、OD，如图所示：
设⊙O的半径为r，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠BOD＝∠DOE＝120°，∠BOC＝∠COD＝60°，
∴△OBC和△OCD都为等边三角形，
∴BC＝OC＝CD，∠BCO＝∠COD＝60°，∴S弓形DE＝S弓形BC，S△ODE＝S△BCD，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOD＝＝πr2，
∴在圆形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率＝＝＝，故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率：某事件的概率＝相应的面积与总面积之比，即通过计算长度比、面积比或体积比得到某事件的概率，熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．
【变式1-3】（2023·四川成都·统考一模）如图，是的直径，为弦，，D为直径上一点，且，连接并延长交于点E，现假设可以随意在圆中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【分析】连接，设圆的半径为用r表示出阴影的面积和圆的面积，用概率公式计算即可．
【详解】连接，如图，
设的半径为
∴的面积为
阴影的面积为
∴点取在阴影部分的概率为：，
故答案为：
【点睛】本题考查几何概率，解题的关键是用含r的代数式表示阴影部分的面积．
【变式1-4】（2023·四川成都·成都七中校考三模）如图，分别以边长为2的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，现随机地向该图形内掷一枚小针，针尖落在内的概率为 ．
【答案】
【分析】根据几何概率公式，的面积比上图形总面积，即为针尖落在内的概率．
【详解】解：等边三角形，
，，
如图，过点作交于点，
，
,
，
分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，
可知曲边三角形的三个弓形部分面积相等，为，
图形的总面积为，
故针尖落在内的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，几何概率，熟练求得总面积是解题的关键．
【题型2 代数与几何综合】
【例2】（2021·四川成都·统考中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 ．
【答案】
【分析】先画树状图确定的所有的等可能的结果数，再分别计算符合要求的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．
【详解】解：画树状图如下：
所以一共有种等可能的结果，
又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为：
＜恒成立，为正整数，
满足条件的有：共种情况，
所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是：
故答案为：
【点睛】本题考查的是自定义情境下的概率计算，不等式的性质，掌握利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率是解题的关键．
【变式2-1】（2022·四川成都·统考二模）骰子的六个面上分别标记六个数：-2、-1、0、1、2、3．掷一次骰子，掷得的数字记为，则使得关于x的分式方程有正整数解的概率为 ．
【答案】
【分析】由关于x的分式方程有正整数解，可求得m的值，然后根据概率公式进行求解即可得到答案．
【详解】解：去分母得： ，
∴，
∵该分式方程有正整数解，
∴m+1>0，且m+1≠1
∴使得关于x的分式方程有正整数解的m的值可以为：1，2，3，
故使得关于x的分式方程有正整数解的概率为 ．
故答案为 ．
【点睛】此题考查了概率公式，以及分式方程的解的情况，正确解分式方程，根据题设条件求出m的值是解题的关键．
【变式2-2】（2021·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考一模）有9张卡片，分别写有1~9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为 ．
【答案】
【分析】先求出两个不等式的解，从而可得的所有可能的取值，再根据简单事件的概率公式即可得．
【详解】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
要使不等式组有解，则，
解得，
因此，正整数的所有可能的取值为，
则所求的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、概率的计算，熟练掌握不等式的解法和概率的计算方法是解题关键．
【变式2-3】（2022·四川成都·四川省成都市第七中学初中学校校考一模）有五张正面分别标有数-2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于的方程有正整数解的概率为 ．
【答案】
【分析】先求解分式方程，因为分式方程的解为正整数，进而根据概率公式求解即可．
【详解】∵，
∵分式方程的解为正整数，∴a+1>0，
∴a>-1，∴a＝0，1，3
当a=3，x＝1（分式分母为0，不合题意，舍去），
∴a＝0，1，∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为．
故答案为．
【点睛】本题考查了解含参的分式方程和求概率的问题，确定分式方程有正整数解时的a的值是解题关键．
【变式2-4】（2023·四川成都·模拟预测）从这五个数中任意取出一个数记作b，则既能使函数的图象经过第二、第四象限，又能使关于x的一元二次方程的根的判别式小于零的概率为 ．
【答案】/0.4
【分析】确定使函数的图象经过第二、四象限的b的取值范围，然后确定使方程根的判别式小于零的b的取值范围，找到同时满足两个条件的b的值，利用概率公式计算即可．
【详解】解：∵函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得：；
∵关于x的一元二次方程的根的判别式小于零，
∴，
∴，
∴使函数的图象经过第二、四象限，且使方程的根的判别式小于零的b的值有为0、1，
∴此事件的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
（建议用时：30分钟）
1．（2023·四川成都·模拟预测）已知关于的一元二次方程，现从，1，2三个数中任取一个数作为方程中的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中的值，则取得的，的值能使该一元二次方程有实数根的概率是 .
【答案】
【分析】用列举法依次确定满足方程有实数根的情况数和总的情况数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：，
当和和和时，这四种情况均有，
由于m和n的取值一共有六种情况（m在前，n在后），
∴取得的 m ， n 的值能使该一元二次方程有实数根的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的应用，涉及到了一元二次方程的根的判别式，解题关键是牢记概率公式和一元二次方程根的判别式，理解当时，方程才有实数根．
2．（2023·四川成都·统考二模）如图，在由小正方形组成的矩形网格飞镖游戏板中，扇形的圆心及弧的两端点均为格点．任意投掷飞镖（均击中游戏板），则飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是 ．
【答案】/
【分析】计算出网格的面积与扇形面积，根据概率的计算即可求解．
【详解】解：如图所示，连接
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴飞镖击中扇形的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率的计算，掌握扇形面积的计算方法，概率的计算方法是解题的关键．
3．（2022·四川成都·校考一模）将长度为9厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，2和2，5，2相同），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是 ．
【答案】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可得出答案．
【详解】解：将长度为9厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数，共有1、1、7，1、2、6，1、3、5，1、4、4，2、2、5，2、3、4，3、3、3七种情况，
能构成三角形的有1、4、4，2、3、4；3、3、3三种情况，
则截成的三段木棍能构成三角形的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
4．（2023·四川成都·统考一模）一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是 ．
【答案】/0.01
【分析】根据题意可知：后两个数字共有100种情况，据此即可求得一次就能打开该锁的概率．
【详解】解：因为密码由四个数字组成，千位和百位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则个位上的数字即有可能是中的一个，要试10次，同样，假设个位上的数字是1，则百位上的数字即有可能是中的一个，也要试10次，依此类推，要打开该锁需要试100次，而其中只有一次可以打开，所以，一次就能打开该锁的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
5．（2023·四川成都·统考二模）如图，为菱形的内切圆，，若随机在菱形及其内部投针，则针尖扎在圆形区域的概率为 ．
【答案】
【分析】如图所示，设点E、F分别为与菱形的两个切点，连接，先证明是的角平分线，进而根据菱形的性质证明A、O、C三点共线，同理可证B、O、D三点共线，求出，设，解直角三角形求出，，再求出面积与菱形面积的比值即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设点E、F分别为与菱形的两个切点，连接，
∴，
∴是的角平分线，
∵四边形是菱形，∴平分，∴A、O、C三点共线，
同理可证B、O、D三点共线，∴，
∵，∴，
设，在中，，
在中，，
∴
∴，
∴针尖扎在圆形区域的概率为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，几何概率，角平分线的判定等等，正确作出辅助线求出和菱形的面积是解题的关键．
6．（2023·四川成都·统考二模）正方形的顶点分别在正方形各边上，且，沿正方形各边将其周围的直角三角形向内翻折，得到正方形，向正方形区域随机取点，则点落在正方形区域的概率为 ．
【答案】
【分析】首先根据正方形的性质及全等三角形的判定定理，即可证得，可得，，再根据折叠的性质，可得，最后根据几何概率的求法，即可求解．
【详解】解：设，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
沿正方形各边将其周围的直角三角形向内翻折，得到正方形，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求概率公式，正方形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，求得正方形的边长是解决本题的关键．
7.（2023·四川成都·校考三模）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，连接和．现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【分析】设交于点M，交于点N，设，，分别得到和，即可得到答案．
【详解】解：设交于点M，交于点N，设，，
由勾股定理得，
∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
则，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
则针尖落在阴影区域的概率为，
故答案为：
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，分别表示出和是解题的关键．
8．（2023·四川成都·校考三模）一只袋中装有四个完全相同的小球，小球上分别标有数字1，0，，，随机摸出一个小球，把这只小球上的数字作为一次函数中的k，则得到一次函数的图象不经过第四象限的概率为 ．
【答案】/
【分析】根据一次函数的图象不经过第四象限，可得，从而可得满足题意的数字有1和0，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限，
∴，
∴四个数字中符合题意的有1和0，
∴一次函数的图象不经过第四象限的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查概率公式和一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质判断k的取值范围是解题的关键．
9．（2023·四川成都·统考二模）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”．如图所示，正方形内的一圆O与边均相切，正方形的一条对角线与圆O相交与点M，N（点N在点M的右上方），若正方形的边长为丈，的长度为丈．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在圆中（包含圆上）的概率是 ．
【答案】
【分析】由题意知，，，则，，如图，过作于，则为的半径，设半径为，则，，由，可得，解得，根据这个点取在圆中（包含圆上）的概率是，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，，
如图，过作于，则为的半径，
设半径为，则，∴，
∵，∴，解得，
∴这个点取在圆中（包含圆上）的概率是，故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，切线的性质，余弦，几何概率．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．（2021·四川成都·统考一模）数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周率．如图，正六边形的边长为2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【分析】用阴影部分圆环的面积除以大⊙O的面积即可．
【详解】解：设大⊙O的半径为2r，则正六边形的边长为2r，即小⊙O的半径为，
则随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是设出大⊙O的半径并表示出正六边形的边长及小⊙O的半径，求出对应图形的面积．
11．（2022·四川达州·统考二模）正方形ABCD的边长为2，分别以AB、BC、CD、DA的中点为圆心，1为半径画弧，得到如图所示的阴影部分，若随机向正方形内投小石子，则小石子落在阴影部分的概率为 .
【答案】
【分析】求出4个半圆的面积减去正方形的面积，即为阴影部分面积，用阴影面积除以正方形面积即得．
【详解】∵，
∴小石子落在阴影部分的概率为，
．故答案为．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的定义和基本图形面积公式是解决此类问题的关键．
12．（2022·四川成都·统考二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【答案】//0.25
【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率．
【详解】解：如图，连接EG交BD于点P，
∵平分，
∴ ∠ADE＝∠MDE
∵四边形EFGH是正方形
∴∠MED＝90°，
∴∠AED＝180°－∠MED＝90°
∴∠MED＝∠AED
∵DE＝DE
∴△ADE≌△MDE（ASA）
∴AE＝ME
同理可证△BGC≌△BGN（ASA），
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADM＝45°
∴∠ADE＝∠MDE＝22.5°
∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5°
∵∠MEG＝45°
∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5°
∴∠EMD＝∠MPE
∴EM＝EP
设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x
在Rt△EFG中，∠EFG＝45°，
∴FG＝EG×sin45°＝
∵△BFA≌△AED≌△CGB
∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED，
在Rt△BCG中，
∴＝
∴
∴针尖落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形的面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键．
满分技巧
1、阴影部分面积的求法基本公式是考试必备，解决问题的核心．
2、三角形、四边形、圆的性质，面积的计算等，熟练运用面积的转化．
满分技巧
1、阴影部分面积的求法基本公式是考试必备，解决问题的核心．
2、函数的基本性质、分式方程与一元二次方程的解、一元一次不等式（组）的解法等熟练运用．
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