专题2 整式与因式分解——【备考2023】中考数学二轮专题过关练学案（教师版+学生版）

华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题2 整式与因式分解

一、单选题

1．（2022七上·黄浦期中）下列各式能用平方差公式计算的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【知识点】平方差公式及应用

【解析】【解答】解：A．，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；

B．，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；

C．，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；

D．不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．

故答案为：B．

【分析】利用平方差公式的计算方法逐项判断即可。

2．（2022七上·奉贤期中）多项式的次数是四次，那么m不可能是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【知识点】多项式的项和次数

【解析】【解答】解：多项式的次数是四次，

∴m是小于或等于4的非负整数，

故答案为：D

【分析】根据多项式次数的定义求解即可。

3．（2022七上·普陀期中）如果，那么的值是（　　）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【知识点】多项式乘多项式

【解析】【解答】解：因为

所以

故答案为：B．

【分析】利用多项式乘多项式的计算方法可得，再利用待定系数法可得。

4．（2022七上·龙岗期末）若单项式与是同类项，则的值是（　　）

A．-6 B．-4 C．9 D．4

【答案】B

【知识点】同类项

【解析】【解答】解：∵单项式与是同类项，

∴，解得：，

∴；

故答案为：B．

【分析】根据同类项的定义可得，求出，再将m、n的值代入计算即可。

5．（2022七上·龙岗期末）下列计算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【知识点】合并同类项法则及应用

【解析】【解答】解：、不是同类项，不能进行计算，故不符合题意；

、是同类项，合并同类项的运算错误，故不符合题意；

、不是同类项，不能进行计算，故不符合题意；

、是同类项，合并同类项的运算正确，故符合题意．

故答案为：．

【分析】利用合并同类项的计算方法逐项判断即可。

6．（2022七上·杨浦期中）下列多项式中，与相乘的结果是的多项式是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【知识点】多项式乘多项式

【解析】【解答】，

∴选项A不符合题意；

∵，

∴选项B符合题意；

∵，

∴选项C不符合题意，

∵，

∴选项D不符合题意，

故答案为：B．

【分析】利用多项式乘多项式的计算方法逐项判断即可。

7．（2022八上·无为月考）在多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（　　）

嘉琪：添加，；

陌陌：添加，；

嘟嘟：添加，．

A．嘉琪和陌陌的做法正确 B．嘉琪和嘟嘟的做法正确

C．陌陌和嘟嘟的做法正确 D．三位同学的做法都正确

【答案】A

【知识点】完全平方式

【解析】【解答】解：由题意，得：嘉琪和陌陌的做法正确，嘟嘟添加-1后，变成了一个单项式，错误；

故答案为：A．

【分析】利用完全平方式的特征逐个判断求解即可。

8．（2022八上·青田期中）如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可表示为（　　）

A．S1﹣S2 B．2S1﹣S2 C．S1+S2 D．S1+2S2

【答案】B

【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理

【解析】【解答】解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，

则S1＝c2＝a2+b2，

S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，

∴2ab＝S1﹣S2，

∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，

故答案为：B.

【分析】设直角三角形的斜边为c，则S1＝c2＝a2+b2，S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，再由完全平方公式即可求解.

9．（2022七上·衢州期中）下列说法中，正确的是（　　）

A．的系数是  2 B．的次数是9次

C．的常数项是5 D． 是3次多项式

【答案】D

【知识点】单项式的次数和系数；多项式的项和次数

【解析】【解答】解：A、 的系数是，故A不符合题意；
B、 的次数是7次 ，故B不符合题意；
C、 的常数项是-5 ，故C不符合题意；
D、 是3次多项式，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数，可对A，B作出判断；多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，不含字母的项是常数项，可对C，D作出判断.

10．（2022七下·奉化期末）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和若知道下列条件，仍不能求值的是(　　)

A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积

C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差

【答案】D

【知识点】列式表示数量关系；整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法

【解析】【解答】如图，

设矩形的两边长分别是、；阴影部分的长分别为下、；

则，即：，

，；

；

矩形的面积是，矩形的周长是；

故A、是正确的；

又因为的面积是的面积是；

；

故正确

故答案为：D.

【分析】设矩形的两边长分别是、；阴影部分的长分别为下、，根据长方形面积公式和正方形的面积公式，利用面积和差表示出S1和S2，则可表示出S1-S2，然后整理化简得出S1-S2=，再表示出 ①和②的面积差，然后逐项判断，即可解答.

二、填空题

11．（2022七上·杨浦期中）若，则　     　．

【答案】7

【知识点】代数式求值；多项式乘多项式

【解析】【解答】解：∵，

∴，，，

解得，

把代入得：，

∴，

∴，

∴，

故答案为：7．

 【分析】利用多项式乘多项式的计算方法可得，再利用待定系数法可得，，，求出a、b、c的值，最后将a、b、c的值代入计算即可。

12．（2022八上·北京月考）若是完全平方式，则的值是　     　．

【答案】±1

【知识点】完全平方式

【解析】【解答】解：是一个完全平方式，

，

，

故答案为：±1．

【分析】根据完全平方式的特征可得，再求出的值即可。

13．（2022七上·黄浦期中）计算：　                      　．

【答案】

【知识点】完全平方公式及运用

【解析】【解答】解：原式

故答案为：

【分析】利用完全平方公式计算方法求解即可。

14．（2022七上·黄浦期中）若单项式与单项式的和仍然是一个单项式A，则A=　        　

【答案】

【知识点】同类项；合并同类项法则及应用

【解析】【解答】解：因为单项式与单项式的和仍然是一个单项式，

所以单项式与单项式是同类项，

所以，，

所以．

故答案为：．

 【分析】根据同类项的定义可得，，再利用合并同类项的计算方法求解即可。

15．（2022七上·乐清期中） 如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“英华数”，定义新运算：将一个“英华数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以．根据以上定义，回答下列问题：

（1）计算：　     　．

（2）若m，n都是“英华数”，且m+n=100，则　     　．

【答案】（1）9

（2）19

【知识点】整式的加减运算

【解析】【解答】解：（1） ，
故答案为：9；
（2）∵ m，n都是“英华数”，且m+n=100 ，设m=10x+y，则n=10（9-x）+（10-y），
∴.
故答案为：19.
【分析】（1）根据题干提供的信息直接计算即可；
（2）根据数字问题，分别表示出m、n，再根据（1）的计算方法及整式的加减法法则分别计算 与，再求和即可.

三、计算题

16．（2022八上·淮北月考）计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）解：原式

（2）解：原式

【知识点】整式的混合运算；单项式除以单项式

【解析】【分析】（1）利用单项式除以单项式的计算方法求解即可；
（2）利用整式的混合运算的计算方法求解即可。

17．（2022八上·北京月考）因式分解：

【答案】解：原式

【知识点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式因式分解即可。

四、解答题

18．（2022八上·淮北月考）已知中不含项和x项，求a，b的值．

【答案】解：原式

；

∵中不含项和x项，

∴，

解得：；

∴．

【知识点】多项式乘多项式

【解析】【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法可得，再根据“不含项和x项”可得，求出即可。

19．（2022七上·黄浦期中）分解因式：

【答案】解：原式

【知识点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【分析】利用平方差公式和提公因式法因式分解即可。

20．（2022七上·河北期中）已知，，求A．

【答案】解：∵，，

∴

．

【知识点】整式的混合运算

【解析】【分析】将代数式代入，再利用整式的加减法计算即可。

五、综合题

21．（2022七上·普陀期中）现有7张如图1的小长方形纸片，它们的长为a，宽为．将它们按如图2、3、4的方式不重叠地摆放，构造出一个长方形，未被小长方形纸片覆盖的两块阴影部分的面积分别记作和．

（1）如图2，如果，那么　     　 （用含a、b的代数式表示）；

（2）如图3，　        　（用含a、b的代数式表示）

（3）如图4，设，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？

【答案】（1）

（2）

（3）解：如图4，

左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为a，

∵，即，，

∴，即，

∴

，

则当，即时，S始终保持不变．

【知识点】列式表示数量关系；整式的混合运算

【解析】【解答】（1）解：∵，，

∴，

∴右下角阴影部分的宽为，

∵右下角阴影部分的长为，

∴，

故答案为：

（2）解：∵左上角阴影部分的长为，宽为3b，则，

右下角阴影部分是边长为的正方形，则，

∴，

故答案为：

 【分析】（1）先求出右下角阴影部分的宽和长，再利用矩形的面积公式求出即可；
（2）先求出，，再列出算式求出即可；
（3）先求出，再根据“S始终保持不变”可得，再求出即可。

22．（2022七上·海曙期中）某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）

（1）某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费；

（2）设某户月用水量为立方米，当时，求该用户应缴纳的水费（用含的代数式表示）；

（3）甲、乙两用户一个月共用水已知甲用户缴纳的水费超过了20元，设甲用户用水，则甲、乙两用户一个月共缴纳水费多少元？（用含的代数式表示）

【答案】（1）解：（元），

该用户这个月应缴纳的水费38元；

（2）解：，

该用户应缴纳的水费为：

元；

（3）解：甲用户缴纳的水费超过了20元，

甲用户的用水量大于，

分情况讨论：

当时，则时，

此时共缴纳的水费为：元，

当，时，

此时共缴纳的水费为：元，

当，时，

此时共缴纳的水费为：元，

综上所述，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：元或元或元.

【知识点】列式表示数量关系；整式的加减运算

【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量=总价及前10m3水的费用+超过10m3但不超过20m3的费用列式计算即可；
（2）根据单价乘以数量=总价及前10m3水的费用+超过10m3但不超过20m3部分水的费用+超过20m3部分的水费的费用列式化简即可；
（3）首先判断甲用户的用水量大于10m3，然后分类通论：① 当10＜x≤20时，则40-x≥20时， ② 当x＞20，10＜（40-x）＜20时 ，③ 当x＞20，0＜（40-x）≤10时 三种情况，根据（2）的计算方法分别列出式子，再去括号合并化简即可.