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【中考二轮】2024年中考数学 热点02+方程（组）与不等式（组）(13大题型+满分技巧+限时分层检测)-专题训练.zip
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这是一份【中考二轮】2024年中考数学 热点02+方程（组）与不等式（组）(13大题型+满分技巧+限时分层检测)-专题训练.zip，文件包含热点02方程组与不等式组原卷版docx、热点02方程组与不等式组解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。
方程作为初中数学的核心内容，一直是中考命题的重点。主要考察对方程的概念、解法以及应用的掌握。随着课程改革的深入，中考命题也更加注重考查学生的应用能力。因此，很多方程题目以实际生活情境为背景，要求学生根据实际情况建立数学模型，然后解决。
为了应对这些趋势，学生需要熟练掌握方程的基本知识，同时提高自己的数学应用能力、逻辑推理能力和对新情境的适应能力。建议在平时的学习中，多做真题，加强实践，不断总结经验和方法，以提升自己的数学素养和应试能力。
不等式在中考中的命题趋势主要集中在基础概念、一元一次不等式、不等式组、应用题和数轴表示等方面。学生需要熟练掌握不等式的基本概念和性质，能够灵活运用一元一次不等式的解法，以及解决实际问题的能力。
考向一：实数
【题型1 一元一次方程】
1．（2023春•闵行区期末）若方程是一元一次方程，则的值是
A．B．C．1D．以上都不对
2．（2022•徐汇区校级模拟）方程的解是 ．
3．（2022•徐汇区模拟）《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文是：今有人合伙购物，每人出8钱会多3钱；每人出7钱又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，列出的方程为 ．（无需化简）
4．（2022•松江区校级模拟）李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为分钟，那么可列出的方程是 ．
【题型2 二元一次方程、解二元一次方程组】
1．（2022•杨浦区二模）下列方程中，二元一次方程的是
A．B．C．D．
2．（2021•闵行区二模）二元一次方程组的解是 ．
3．（2023春•黄浦区期中）用换元法解方程组：．
【题型3 二元一次方程组的应用】
1．（2023•闵行区二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为 ．
2．（2022•宝山区模拟）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为 ．
3．（2023•静安区二模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有 人．
【题型4 解一元二次方程】
1．（2022•普陀区二模）如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是 ．
2．（2023秋•闵行区期末）用配方法解方程：．
3．（2023秋•虹口区校级期末）的根为 ．
4．（2023秋•普陀区校级期中）已知为等腰三角形，它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是 ．
（2023秋•浦东新区期中）已知、为实数，且，则的值为 ．
【题型5 根的判别式、一元二次方程的应用】
1．（2023•嘉定区二模）下列关于的方程一定有实数解的是
A．B．
C．为常数）D．为常数）
2．（2023•浦东新区二模）一元二次方程的根的情况是
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
3．（2023•徐汇区二模）已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
4．（2023•杨浦区三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量（件与每件售价（元之间存在一次函数关系（其中，且为整数），部分对应值如表：
（1）求与的函数解析式；
（2）如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？
5．（2023•浦东新区模拟）今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元千克，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润销售价成本价）
【题型6 高次方程、无理方程】
1．（2023•徐汇区二模）方程组的解是 ．
2．（2023•虹口区二模）解方程组：．
3．（2023•虹口区二模）方程的解是
A．B．C．D．
4．（2023•青浦区二模）下列关于的方程一定有实数解的是
A．B．C．D．
5．（2023•上海）已知关于的方程，则 ．
6．（2023•嘉定区二模）如果方程，那么 ．
【题型7 解分式方程、分式方程的增根】
1．（2023•金山区二模）方程的解是 ．
2．（2023•浦东新区二模）解方程：
3．（2023•上海）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为
A．B．C．D．
4．（2023•长宁区二模）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的方程是
A．B．C．D．
5．（2022秋•徐汇区期末）关于的分式方程有增根，则的值为
A．2B．C．0D．1
（2022秋•青浦区校级期末）如果方程有增根，则 ．
【题型8 分式方程的应用】
1．（2023•虹口区二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为株，则可列分式方程为 ．
2．（2023•青浦区二模）某中学初三年级在“阳光体育”活动中，参加各项球类运动的数据信息制作成了扇形统计图，如图所示．已知参加乒乓球运动的人数有80人，请根据图中的信息解决下列问题．
（1）求参加篮球和足球运动的总人数；
（2）学校为本次活动购买了一些体育器材，其中购买的篮球和足球的数量是根据参加的人数每人一只配备的，购买篮球的费用是3000元，购买足球费用是2400元，并且篮球的单价比足球的单价便宜10元．请你帮助计算一下，参加篮球运动和足球运动的学生各有多少人？
3．（2023•嘉定区二模）、两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从城到城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．
（1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从城到城的行驶时间减少小时，求的值；
（2）如果提速后从城到城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由．
考向二：不等式（组）
【题型9 不等式的性质、解一元一次不等式】
1．（2023•浦东新区校级模拟）如果，那么下列不等式一定成立的是
A．B．C．D．
2．（2023春•嘉定区期末）若，则下列不等式中一定成立的是
A．B．C．D．
3．（2023秋•浦东新区校级期末）解不等式，原不等式的解集是 ．
4．（2023春•松江区期中）不等式的解集是，则的取值范围是 ．
【题型10 一元一次不等式的特殊解问题】
1．（2023秋•闵行区期中）解不等式：，并求出最小整数解．
2．（2023春•长宁区期末）不等式的最小整数解是 ．
3．（2023春•浦东新区期末）满足不等式的非负整数解的和是 ．
【题型11 一元一次不等式的应用】
1．（2023春•闵行区期中）某校六年级三个班给某受灾地区捐款，其中（1）班捐款420元，（2）班捐款468元．如果三个班的平均捐款超过了450元，那么（3）班的捐款总数超过 元．
2．（2023•黄浦区二模）小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：
优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；
优惠活动二：所有商品打八折．
（两种优惠活动不能同享）
（1）如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；
（2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？
（2023秋•松江区校级期中）某学校同学参加松江区“鼓乐大赛”（此次比赛要求参赛总人数不少于49人），要求除了指挥1人及旗手4人外，其他同学既能平均分成6组，又能平均分成8组，进行队形变换，这个学校至少要选拔多少人参加“鼓乐大赛”？
【题型12 解一元一次不等式组】
1．（2023•金山区二模）不等式组的解集是 ．
2．（2023•普陀区二模）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
（2023•奉贤区二模）解不等式组将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．
【题型13 一元一次不等式组的应用】
1．（2023春•黄浦区期末）某汽车销售公司到某汽车制造厂选购、两种型号的轿车，用300万元可购进型轿车10辆，型轿车15辆，用300万元也可以购进型轿车8辆，型轿车18辆．
（1）求、两种型号的轿车每辆分别为多少万元？
（2）若该汽车销售公司销售1辆型轿车可获利8000元，销售1辆型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进、两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问有几种购车方案？在这几种购车方案中，该汽车销售公司将这些轿车全部售出后，分别获利多少万元？
（2023春•浦东新区校级期中）为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人？共有多少个交通路口安排值勤？
3．（2023春•浦东新区期末）按如下程序进行运算：
规定：程序运行到“结果是否大于为一次运算，且运算进行3次才停止，则可输入的整数的个数是 个．
（建议用时：20分钟）
1．（2023•黄浦区二模）设是一个不为零的实数，下列式子中，一定成立的是
A．B．C．D．
2.（2023•松江区二模）下列方程中，有实数根的是
A．B．C．D．
3．（2020•上海）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于的方程是
A．B．C．D．
4．（2022•上海）已知有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
5．（2023•上海）已知关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是 ．
6．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 ．
7．（2021•上海）若一元二次方程无实数根，则的取值范围为 ．
8．（2021•上海）不等式的解集是 ．
9．（2022•上海）解方程组：的结果为 ．
10．（2023春•长宁区期末）已知不等式的正整数解是1，2，3，4，那么的取值范围是 ．
11．（2022•闵行区二模）明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么竿长 尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺）
12．（2021•浦东新区校级二模）如果关于的方程有一个根为2，那么 ．
13．（2021•上海）解方程组：．
（2022•上海）解关于的不等式组：．
（2020•上海）解不等式组：
16．（2023•上海）解不等式组：．
17．（2023•漳平市一模）已知是方程的一个根，求方程的另一个根及的值．
18．（2023•乌鲁木齐一模）某商店五月份销售型电脑的总利润为4320元，销售型电脑的总利润为3060元，且销售型电脑数量是销售型电脑的2倍，已知销售一台型电脑比销售一台型电脑多获利50元．
（1）求每台型电脑和型电脑的利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
（建议用时：20分钟）
1．（2023•沂源县一模）如果恰好只有一个实数是方程的根，则的值为 ．
2.（2023•南安市校级模拟）如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于，两点，设，，，关于的方程
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
3．（2023•开平市二模）已知关于的方程，
（1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．
4．（2023•乐清市模拟）1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件．
（1）求该商品的单价；
（2）2月份，两商店以单价元件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变．
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小．
②已知，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量．
5．（2023•鹤峰县一模）随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买型和型新能源公交车共10辆，若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需300万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需270万元，
（1）求购买型和型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买型和型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
6．（2023•黄石港区校级模拟）如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知、是方程的二根，则
（2）已知、、满足，，求正数的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
7．（2023•仙桃模拟）已知关于的方程有两个实数根、．
（1）求的取值范围．
（2）若，求的值．
满分技巧
解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
注意：若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
解一元一次方程易错两点：
一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
由实际问题抽象出一元一次方程的方法：
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
列一元一次方程解应用题的五个步骤：（巧记：审、设、列、解、验、答）
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
满分技巧
1.二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
满分技巧
1.由实际问题抽象出二元一次方程组的方法：
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
2.二元一次方程组的应用解题心得：
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
满分技巧
1.一元二次方程的解易错点：
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
解一元二次方程的常用法：
方法1：直接开平方法：
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
方法2：配方法：
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
方法3：公式法：
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
方法4：因式分解法：
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
方法5：换元法：
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
满分技巧
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．一元二次方程的应用的规律方法：
列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
每件售价（元
9
11
13
每天的销售量（件
105
95
85
满分技巧
1．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
2．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．
（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．
解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
满分技巧
1．解分式方程的基本步骤与易错点：
（1）步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程容易漏“检验”，分式方程检验方法：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
2．检验分式方程的增根的方法：
把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
满分技巧
1.由实际问题抽象出分式方程的解题心得：
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
满分技巧
1.应用不等式的性质的规律方法：
在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2.不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
3.解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
满分技巧
1. 解决一元一次不等式的整数解的问题的规律方法：
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
满分技巧
1.一元一次不等式的应用解题心得：
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
满分技巧
1.一元一次不等式组的解法：
解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
2.一元一次不等式组的整数解的解题技巧：
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
满分技巧
1.一元一次不等式组的应用的一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
方程作为初中数学的核心内容，一直是中考命题的重点。主要考察对方程的概念、解法以及应用的掌握。随着课程改革的深入，中考命题也更加注重考查学生的应用能力。因此，很多方程题目以实际生活情境为背景，要求学生根据实际情况建立数学模型，然后解决。
为了应对这些趋势，学生需要熟练掌握方程的基本知识，同时提高自己的数学应用能力、逻辑推理能力和对新情境的适应能力。建议在平时的学习中，多做真题，加强实践，不断总结经验和方法，以提升自己的数学素养和应试能力。
不等式在中考中的命题趋势主要集中在基础概念、一元一次不等式、不等式组、应用题和数轴表示等方面。学生需要熟练掌握不等式的基本概念和性质，能够灵活运用一元一次不等式的解法，以及解决实际问题的能力。
考向一：实数
【题型1 一元一次方程】
1．（2023春•闵行区期末）若方程是一元一次方程，则的值是
A．B．C．1D．以上都不对
2．（2022•徐汇区校级模拟）方程的解是 ．
3．（2022•徐汇区模拟）《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文是：今有人合伙购物，每人出8钱会多3钱；每人出7钱又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，列出的方程为 ．（无需化简）
4．（2022•松江区校级模拟）李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为分钟，那么可列出的方程是 ．
【题型2 二元一次方程、解二元一次方程组】
1．（2022•杨浦区二模）下列方程中，二元一次方程的是
A．B．C．D．
2．（2021•闵行区二模）二元一次方程组的解是 ．
3．（2023春•黄浦区期中）用换元法解方程组：．
【题型3 二元一次方程组的应用】
1．（2023•闵行区二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为 ．
2．（2022•宝山区模拟）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为 ．
3．（2023•静安区二模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有 人．
【题型4 解一元二次方程】
1．（2022•普陀区二模）如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是 ．
2．（2023秋•闵行区期末）用配方法解方程：．
3．（2023秋•虹口区校级期末）的根为 ．
4．（2023秋•普陀区校级期中）已知为等腰三角形，它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是 ．
（2023秋•浦东新区期中）已知、为实数，且，则的值为 ．
【题型5 根的判别式、一元二次方程的应用】
1．（2023•嘉定区二模）下列关于的方程一定有实数解的是
A．B．
C．为常数）D．为常数）
2．（2023•浦东新区二模）一元二次方程的根的情况是
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
3．（2023•徐汇区二模）已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
4．（2023•杨浦区三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量（件与每件售价（元之间存在一次函数关系（其中，且为整数），部分对应值如表：
（1）求与的函数解析式；
（2）如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？
5．（2023•浦东新区模拟）今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元千克，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润销售价成本价）
【题型6 高次方程、无理方程】
1．（2023•徐汇区二模）方程组的解是 ．
2．（2023•虹口区二模）解方程组：．
3．（2023•虹口区二模）方程的解是
A．B．C．D．
4．（2023•青浦区二模）下列关于的方程一定有实数解的是
A．B．C．D．
5．（2023•上海）已知关于的方程，则 ．
6．（2023•嘉定区二模）如果方程，那么 ．
【题型7 解分式方程、分式方程的增根】
1．（2023•金山区二模）方程的解是 ．
2．（2023•浦东新区二模）解方程：
3．（2023•上海）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为
A．B．C．D．
4．（2023•长宁区二模）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的方程是
A．B．C．D．
5．（2022秋•徐汇区期末）关于的分式方程有增根，则的值为
A．2B．C．0D．1
（2022秋•青浦区校级期末）如果方程有增根，则 ．
【题型8 分式方程的应用】
1．（2023•虹口区二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为株，则可列分式方程为 ．
2．（2023•青浦区二模）某中学初三年级在“阳光体育”活动中，参加各项球类运动的数据信息制作成了扇形统计图，如图所示．已知参加乒乓球运动的人数有80人，请根据图中的信息解决下列问题．
（1）求参加篮球和足球运动的总人数；
（2）学校为本次活动购买了一些体育器材，其中购买的篮球和足球的数量是根据参加的人数每人一只配备的，购买篮球的费用是3000元，购买足球费用是2400元，并且篮球的单价比足球的单价便宜10元．请你帮助计算一下，参加篮球运动和足球运动的学生各有多少人？
3．（2023•嘉定区二模）、两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从城到城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．
（1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从城到城的行驶时间减少小时，求的值；
（2）如果提速后从城到城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由．
考向二：不等式（组）
【题型9 不等式的性质、解一元一次不等式】
1．（2023•浦东新区校级模拟）如果，那么下列不等式一定成立的是
A．B．C．D．
2．（2023春•嘉定区期末）若，则下列不等式中一定成立的是
A．B．C．D．
3．（2023秋•浦东新区校级期末）解不等式，原不等式的解集是 ．
4．（2023春•松江区期中）不等式的解集是，则的取值范围是 ．
【题型10 一元一次不等式的特殊解问题】
1．（2023秋•闵行区期中）解不等式：，并求出最小整数解．
2．（2023春•长宁区期末）不等式的最小整数解是 ．
3．（2023春•浦东新区期末）满足不等式的非负整数解的和是 ．
【题型11 一元一次不等式的应用】
1．（2023春•闵行区期中）某校六年级三个班给某受灾地区捐款，其中（1）班捐款420元，（2）班捐款468元．如果三个班的平均捐款超过了450元，那么（3）班的捐款总数超过 元．
2．（2023•黄浦区二模）小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：
优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；
优惠活动二：所有商品打八折．
（两种优惠活动不能同享）
（1）如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；
（2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？
（2023秋•松江区校级期中）某学校同学参加松江区“鼓乐大赛”（此次比赛要求参赛总人数不少于49人），要求除了指挥1人及旗手4人外，其他同学既能平均分成6组，又能平均分成8组，进行队形变换，这个学校至少要选拔多少人参加“鼓乐大赛”？
【题型12 解一元一次不等式组】
1．（2023•金山区二模）不等式组的解集是 ．
2．（2023•普陀区二模）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
（2023•奉贤区二模）解不等式组将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．
【题型13 一元一次不等式组的应用】
1．（2023春•黄浦区期末）某汽车销售公司到某汽车制造厂选购、两种型号的轿车，用300万元可购进型轿车10辆，型轿车15辆，用300万元也可以购进型轿车8辆，型轿车18辆．
（1）求、两种型号的轿车每辆分别为多少万元？
（2）若该汽车销售公司销售1辆型轿车可获利8000元，销售1辆型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进、两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问有几种购车方案？在这几种购车方案中，该汽车销售公司将这些轿车全部售出后，分别获利多少万元？
（2023春•浦东新区校级期中）为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人？共有多少个交通路口安排值勤？
3．（2023春•浦东新区期末）按如下程序进行运算：
规定：程序运行到“结果是否大于为一次运算，且运算进行3次才停止，则可输入的整数的个数是 个．
（建议用时：20分钟）
1．（2023•黄浦区二模）设是一个不为零的实数，下列式子中，一定成立的是
A．B．C．D．
2.（2023•松江区二模）下列方程中，有实数根的是
A．B．C．D．
3．（2020•上海）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于的方程是
A．B．C．D．
4．（2022•上海）已知有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
5．（2023•上海）已知关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是 ．
6．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 ．
7．（2021•上海）若一元二次方程无实数根，则的取值范围为 ．
8．（2021•上海）不等式的解集是 ．
9．（2022•上海）解方程组：的结果为 ．
10．（2023春•长宁区期末）已知不等式的正整数解是1，2，3，4，那么的取值范围是 ．
11．（2022•闵行区二模）明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么竿长 尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺）
12．（2021•浦东新区校级二模）如果关于的方程有一个根为2，那么 ．
13．（2021•上海）解方程组：．
（2022•上海）解关于的不等式组：．
（2020•上海）解不等式组：
16．（2023•上海）解不等式组：．
17．（2023•漳平市一模）已知是方程的一个根，求方程的另一个根及的值．
18．（2023•乌鲁木齐一模）某商店五月份销售型电脑的总利润为4320元，销售型电脑的总利润为3060元，且销售型电脑数量是销售型电脑的2倍，已知销售一台型电脑比销售一台型电脑多获利50元．
（1）求每台型电脑和型电脑的利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
（建议用时：20分钟）
1．（2023•沂源县一模）如果恰好只有一个实数是方程的根，则的值为 ．
2.（2023•南安市校级模拟）如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于，两点，设，，，关于的方程
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
3．（2023•开平市二模）已知关于的方程，
（1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．
4．（2023•乐清市模拟）1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件．
（1）求该商品的单价；
（2）2月份，两商店以单价元件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变．
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小．
②已知，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量．
5．（2023•鹤峰县一模）随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买型和型新能源公交车共10辆，若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需300万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需270万元，
（1）求购买型和型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买型和型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
6．（2023•黄石港区校级模拟）如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知、是方程的二根，则
（2）已知、、满足，，求正数的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
7．（2023•仙桃模拟）已知关于的方程有两个实数根、．
（1）求的取值范围．
（2）若，求的值．
满分技巧
解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
注意：若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
解一元一次方程易错两点：
一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
由实际问题抽象出一元一次方程的方法：
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
列一元一次方程解应用题的五个步骤：（巧记：审、设、列、解、验、答）
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
满分技巧
1.二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
满分技巧
1.由实际问题抽象出二元一次方程组的方法：
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
2.二元一次方程组的应用解题心得：
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
满分技巧
1.一元二次方程的解易错点：
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
解一元二次方程的常用法：
方法1：直接开平方法：
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
方法2：配方法：
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
方法3：公式法：
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
方法4：因式分解法：
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
方法5：换元法：
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
满分技巧
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．一元二次方程的应用的规律方法：
列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
每件售价（元
9
11
13
每天的销售量（件
105
95
85
满分技巧
1．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
2．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．
（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．
解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
满分技巧
1．解分式方程的基本步骤与易错点：
（1）步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程容易漏“检验”，分式方程检验方法：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
2．检验分式方程的增根的方法：
把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
满分技巧
1.由实际问题抽象出分式方程的解题心得：
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
满分技巧
1.应用不等式的性质的规律方法：
在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2.不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
3.解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
满分技巧
1. 解决一元一次不等式的整数解的问题的规律方法：
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
满分技巧
1.一元一次不等式的应用解题心得：
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
满分技巧
1.一元一次不等式组的解法：
解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
2.一元一次不等式组的整数解的解题技巧：
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
满分技巧
1.一元一次不等式组的应用的一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
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