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【中考二轮】2024年中考数学 热点03+一次函数与反比例函数(14大题型+满分技巧+限时分层检测)-专题训练.zip
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这是一份【中考二轮】2024年中考数学 热点03+一次函数与反比例函数(14大题型+满分技巧+限时分层检测)-专题训练.zip，文件包含热点03一次函数与反比例函数原卷版docx、热点03一次函数与反比例函数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共97页， 欢迎下载使用。
一次函数是中考的必考知识点之一。从题型上看，它出现在填空题、选择题和解答题中，填空题和选择题通常考查一次函数的性质和图像，而解答题则更多地涉及一次函数与其他知识点的综合应用，尤其是与反比例函数、二次函数等知识的综合应用，这是中考命题的重点。为了更好地应对一次函数的中考命题趋势，考生需要在平时的学习中加强对一次函数的练习，深入理解一次函数的性质和图像，同时也要注重与其他知识点的综合运用，提高自己的数学思维能力和问题解决能力。
在中考中，反比例函数的考察形式可能是选择题、填空题或者解答题，难度适中。反比例函数在实际问题中的应用是一个重要的考察点，通常涉及到生活中的一些场景，例如路程、速度、时间的问题，或者是关于费用、工作效率的问题。对于反比例函数的综合考察也是中考的一个重要趋势，可能会涉及到与其他数学知识如一次函数、二次函数、三角函数等的结合，要求考生有较高的综合运用能力。考生需要熟练掌握反比例函数的基础知识，并能够灵活地运用到实际问题中。同时，对于反比例函数的综合应用也需要有一定的了解和准备。
考向一：一次函数
【题型1 点的坐标、两点间的距离公式】
1．（2023•宝山区二模）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为 ．
2．如果点在直角坐标系的轴上，那么点的坐标为 ．
3．（2023秋•长宁区校级期末）在直角坐标平面内点与点的距离等于
【题型2 函数的概念、定义域、函数的值】
1．（2022秋•青浦区校级期中）下列各图象中，不能表示是的函数的是
A．B．C．D．
2．（2022秋•奉贤区期中）下列所述不属于函数关系的是
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系
B．与的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系
D．某人的身高和体重的关系
3．（2022•崇明区二模）函数中自变量的取值范围是 ．
4．（2023•浦东新区校级模拟）函数的定义域是 ．
5．（2022•上海）已知，则（1） ．
6．（2021•上海）已知，那么 ．
7．（2023•长宁区二模）已知，那么 ．
【题型3 函数的图象】
1．（2021•奉贤区三模）阅读下列有关记忆的资料，分析保持记忆的措施和方法．资料：德国心理学家艾宾浩斯对人的记忆进行了研究，他采用无意义的音节作为记忆的材料进行实验，获得了如表中的相关数据，然后他又根据表中的数据绘制了一条曲线，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线．其中横轴表示时间，纵轴表示学习中的记忆量．
观察表格和图象，回答下列问题：
（1）图中点的坐标表示的实际意义是 ；
（2）在下面哪个时间段内遗忘的速度最快 ．
分钟
分钟小时
小时小时
天天
（3）王老师每节数学课最后五分钟都会对本节课进行回顾总结，并要求学生每天晚上对当天课堂上所学的知识进行复习．据调查这样一天后记忆量能保持，如果小明同学一天没有复习，那么记忆量大约会比复习过的记忆量减少多少？由此对你的学习有什么启示？
2．（2023秋•闵行区校级期末）小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程（千米）与骑车的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空：
（1）小杰去公园时下坡路长 千米；
（2）小杰下坡的速度为 千米分钟；
（3）如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是 分钟．
3．（2020•宝山区二模）如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，设点的横坐标为，点的纵坐标为，能表示与的函数关系的图象大致是
A．B．
C．D．
4．（2021春•青浦区期末）如图，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至停止，设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的面积是
A．16B．10C．18D．20
5．（2023春•静安区期末）如图1，矩形中，是对角线上一个动点（不与点重合），作，交于点，联结，如果设，面积为，那么可得关于的函数图象（如图2所示）．
（1）求关于的函数解析式，并写出其定义域；
（2）求的面积及矩形对角线的长．
【题型4 一次函数的图象与性质】
1．（2022•杨浦区二模）一次函数的图象不经过的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2021•静安区二模）一次函数的图象不经过的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2021•宝山区三模）如果函数的图象一定经过第二象限，那么的取值范围是
A．B．C．D．
4．（2022•松江区校级模拟）已知一次函数，的值随值的增大而增大，那么该函数的图象经过第 一、二、三 象限．
5．（2022•黄浦区校级二模）已知一次函数的图象经过点和，当
时，函数值．
6．（2022•上海）已知直线过第一象限且函数值随着的增大而减小，请列举出来这样的一条直线： ．
【题型5 一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征】
1．（2023•崇明区二模）如果函数的图象经过第一、三、四象限，那么的取值范围是
A．B．C．D．
2．（2022•松江区二模）如果一次函数的图像与轴的交点在轴正半轴上，且随的增大而减小，那么
A．，B．，C．，D．，
3．（2023•嘉定区二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ．
4．（2023•奉贤区二模）如果正比例函数是常数，的图象经过点，那么的值随的增大而 ．（填“增大”或“减小”
5．（2023•宝山区二模）已知一次函数的图象经过点，那么 ．
6．（2023•静安区二模）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为，如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是 ．
7．（2021•上海）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式 ．
【题型6 一次函数图象与几何变换、待定系数法求一次函数解析式】
1．（2022•徐汇区模拟）将函数的图象向下平移2个单位后，经过点，那么的值随的增大而 ．（填“增大”或“减小”
2．（2022•长宁区二模）将直线向左平移三个单位后，所得直线的表达式为 ．
【题型7 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）】
1．（2021•杨浦区三模）已知直线在轴上的截距为3，且经过点，那么这条直线的表达式为 ．
2．（2023春•黄浦区期中）一次函数的图象如图所示，则由图象可知关于的方程的解为 ．
3．（2022秋•黄浦区校级期末）已知一次函数、为常数）的图象如图所示，那么关于的不等式的解集是
A．B．C．D．．
4．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数与的交点坐标为，则方程组的解为 ．
【题型8 两条直线相交或平行问题】
1．（2023•黄浦区二模）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是 ．
2．（2022•宝山区二模）在平面直角坐标系中，已知某个一次函数的图象平行于直线，经过点，且与轴交于点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点在轴上，当的面积等于2时，求点的坐标．
【题型9 一次函数的实际问题】
1．（2023春•徐汇区期末）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为 ．
2．（2023•松江区二模）一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆私家车从乙地驶往甲地．两车之间的距离（千米）与行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，已知私家车的速度是90千米时，客车的速度是60千米时，那么点的坐标是 ．
3．（2021•上海）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元千克，现以8元卖出，挣得 元．
4．（2020•上海）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 米．
5．（2023•奉贤区二模）如图，某电信公司提供了、两种方案的移动通讯费用（元与通话时间（分之间的关系．如果通讯费用为60元，那么方案与方案的通话时间相差 分钟．
6．（2023•徐汇区二模）某公司产品的销售收入元与销售量吨的函数关系记为，销售成本与销售量的函数关系记为，两个函数的图象如图所示．当销售收入与销售成本相等时，销售量为 吨．
7．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．
（1）他实际花了多少钱购买加油卡？
（2）减价后每升油的单价为元升，原价为元升，求关于的函数解析式（不用写出定义域）．
（3）油的原价是7.30元升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
8．（2023•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线上有一点，将点先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点，点恰好在直线上．
（1）写出点的坐标，并求出直线的表达式；
（2）如果点在轴上，且，求点的坐标．
考向二：反比例函数
【题型10 反比例函数的图象和性质】
1．（2023•上海）下列函数中，函数值随的增大而减小的是
A．B．C．D．
2．（2022•上海）已知反比例函数，且在各自象限内，随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为
A．B．C．D．
3．（2023•普陀区二模）已知函数是常数，的图象经过第一、三象限，下列说法中正确的是
A．B．图象一定经过点
C．图象是双曲线D．的值随的值增大而减小
4．（2023•杨浦区二模）下列函数中，的值随自变量的值增大而增大的是
A．B．C．D．
5．（2022•普陀区二模）关于函数，下列说法中正确的是
A．图象位于第一、三象限B．图象与坐标轴没有交点
C．图象是一条直线D．的值随的值增大而减小
6．（2023•上海）函数的定义域为 ．
【题型11 反比例函数系数k的几何意义】
1．（2022•长宁区二模）已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过位于轴上方的点，点的坐标为，且的面积等于8，那么点的坐标为 ．
2．（2022秋•虹口区校级期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 ．
3．（2023秋•金山区期末）如图，函数和的部分图象与直线分别交于、两点，如果的面积是2.5，则的值为
A．3B．C．D．
【题型12 反比例函数图象上点的坐标特征】
1．（2022•上海）一个一次函数的截距为，且经过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）点，在某个反比例函数上，点横坐标为6，将点向上平移2个单位得到点，求的值．
2．（2023•徐汇区二模）若点、、在反比例函数的图象上，则
A．B．C．D．
3．（2023•松江区二模）已知点，、，在反比例函数的图象上，如果，那么 ．
【题型13 待定系数法求反比例函数解析式】
1．（2020•上海）已知反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式是
A．B．C．D．
2．（2023•嘉定区二模）如果反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式为 ．
【题型14 反比例函数的应用】
1．（2022•杨浦区二模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是双曲线的一部分，根据函数图像回答下列问题：
（1）点的注意力指标数是 ．
（2）当时，求注意力指标数随时间（分的函数解析式；
（3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．
2．（2022•杨浦区三模）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第二象限内，，且．
（1）求点的坐标；
（2）将沿轴向右平移，点、、的对应点分别是点、、，如果点、都落在双曲线上，求的值；
（3）如果直线与第（2）小题中的双曲线有两个公共点和，求的值．
（建议用时：20分钟）
1．（2023•奉贤区一模）下列函数中，函数值随自变量的值增大而减小的是
A．B．C．D．
2．（2023•黄浦区二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图象经过
A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限
3．（2023•金山区二模）已知函数，为常数）的函数值随值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是
A．B．C．D．
4．（2023•浦东新区模拟）在平面直角坐标系中，下列函数的图象过点的是
A．B．C．D．
5．（2023•杨浦区二模）下列函数中，的值随自变量的值增大而增大的是
A．B．C．D．
6．（2023•青浦区二模）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图象经过点；乙：函数图象经过第四象限；丙：当时，随的增大而增大．则这个函数表达式可能是
A．B．C．D．
7．（2023•宝山区二模）在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图象，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图象上，那么这个点是
A．B．，C．D．
8．（2023•宝山区二模）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为 ．
9．（2023•徐汇区二模）已知，那么 ．
10．（2023•黄浦区二模）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是 ．
11．（2023•青浦区二模）如图，图中反映轿车剩余油量（升与行驶路径（千米）的函数关系，那么与的函数解析式为 ．
12．（2023•奉贤区二模）如图，某电信公司提供了、两种方案的移动通讯费用（元与通话时间（分之间的关系．如果通讯费用为60元，那么方案与方案的通话时间相差 分钟．
13.（2023•虹口区二模）如图，已知点，联结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，如果点在反比例函数的图象上，那么的值是 ．
14．（2023•长宁区二模）已知点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点恰好在直线上，那么的值为 ．
15．（2023•金山区二模）小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离（米、（米与时间（分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是 分钟．
（建议用时：20分钟）
1．（2023•浦东新区校级模拟）如图，点在轴的正半轴上，函数的图象经过的顶点和边上的点，且，点的横坐标为2，则点的坐标是 ．
2．（2023•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为1，点是轴正半轴上一点，点在反比例函数图象上，联结、和．如果四边形是矩形，那么的值是 ．
3．（2023•盐城）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4.5，则的值为 ．
4．（2023•慈溪市一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数为常数，的图象经过的顶点，交轴于点，轴，为边上一点，，连结并延长交轴于点，连结．
（1）设的面积，四边形的面积为，则的值为 ；
（2）当的面积为3时，的值为 ．
5．（2023•温州三模）如图1，在平面直角坐标系中，直线过点，，与轴交于点．点，分别为线段，上的一点（不含端点），且．
（1）求和的值；
（2）当与中的一个角相等时，求线段的长．
6．（2023•赣榆区一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求出，的值；
（2）若为轴上的一动点，当的面积为时，求的值．
（3）在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理．
满分技巧
1.两点间的距离公式
两点间的距离公式：
设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝
说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
满分技巧
1．函数的概念理解：
①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
2.函数的定义域解题方法：
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
3.函数值解题方法：
①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
满分技巧
1. 解决函数的图象的问题注意事项：
①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
时间
记忆量
刚记忆完
20分钟后
1个小时后
9个小时后
1天后
2天后
6天后
30天后
满分技巧
1．一次函数的图象的画法：
经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
一次函数图象之间的位置关系：
直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
3．一次函数的性质:
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
满分技巧
1．一次函数图象与系数的关系:
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
2．一次函数图象上点的坐标特征:
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
满分技巧
1．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
2．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
满分技巧
1．一次函数与一元一次方程
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
2．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
3．一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
二元一次方程
一次函数
表达式：
表达式：
方程的解：
图象上的坐标点，其中为横坐标，为纵坐标
表示实数
表示平面内一个点
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
满分技巧
1. 两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
满分技巧
1. 根据实际问题列一次函数关系式：
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
2．一次函数的应用：
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
3．一次函数综合题：
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
满分技巧
1. 反比例函数的图象：
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
2．反比例函数的性质：
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
满分技巧
1. 反比例函数系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|、与坐标轴围成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
满分技巧
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
满分技巧
1. 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
满分技巧
1. 反比例函数的应用：
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
1
2
4
一次函数是中考的必考知识点之一。从题型上看，它出现在填空题、选择题和解答题中，填空题和选择题通常考查一次函数的性质和图像，而解答题则更多地涉及一次函数与其他知识点的综合应用，尤其是与反比例函数、二次函数等知识的综合应用，这是中考命题的重点。为了更好地应对一次函数的中考命题趋势，考生需要在平时的学习中加强对一次函数的练习，深入理解一次函数的性质和图像，同时也要注重与其他知识点的综合运用，提高自己的数学思维能力和问题解决能力。
在中考中，反比例函数的考察形式可能是选择题、填空题或者解答题，难度适中。反比例函数在实际问题中的应用是一个重要的考察点，通常涉及到生活中的一些场景，例如路程、速度、时间的问题，或者是关于费用、工作效率的问题。对于反比例函数的综合考察也是中考的一个重要趋势，可能会涉及到与其他数学知识如一次函数、二次函数、三角函数等的结合，要求考生有较高的综合运用能力。考生需要熟练掌握反比例函数的基础知识，并能够灵活地运用到实际问题中。同时，对于反比例函数的综合应用也需要有一定的了解和准备。
考向一：一次函数
【题型1 点的坐标、两点间的距离公式】
1．（2023•宝山区二模）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为 ．
2．如果点在直角坐标系的轴上，那么点的坐标为 ．
3．（2023秋•长宁区校级期末）在直角坐标平面内点与点的距离等于
【题型2 函数的概念、定义域、函数的值】
1．（2022秋•青浦区校级期中）下列各图象中，不能表示是的函数的是
A．B．C．D．
2．（2022秋•奉贤区期中）下列所述不属于函数关系的是
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系
B．与的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系
D．某人的身高和体重的关系
3．（2022•崇明区二模）函数中自变量的取值范围是 ．
4．（2023•浦东新区校级模拟）函数的定义域是 ．
5．（2022•上海）已知，则（1） ．
6．（2021•上海）已知，那么 ．
7．（2023•长宁区二模）已知，那么 ．
【题型3 函数的图象】
1．（2021•奉贤区三模）阅读下列有关记忆的资料，分析保持记忆的措施和方法．资料：德国心理学家艾宾浩斯对人的记忆进行了研究，他采用无意义的音节作为记忆的材料进行实验，获得了如表中的相关数据，然后他又根据表中的数据绘制了一条曲线，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线．其中横轴表示时间，纵轴表示学习中的记忆量．
观察表格和图象，回答下列问题：
（1）图中点的坐标表示的实际意义是 ；
（2）在下面哪个时间段内遗忘的速度最快 ．
分钟
分钟小时
小时小时
天天
（3）王老师每节数学课最后五分钟都会对本节课进行回顾总结，并要求学生每天晚上对当天课堂上所学的知识进行复习．据调查这样一天后记忆量能保持，如果小明同学一天没有复习，那么记忆量大约会比复习过的记忆量减少多少？由此对你的学习有什么启示？
2．（2023秋•闵行区校级期末）小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程（千米）与骑车的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空：
（1）小杰去公园时下坡路长 千米；
（2）小杰下坡的速度为 千米分钟；
（3）如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是 分钟．
3．（2020•宝山区二模）如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，设点的横坐标为，点的纵坐标为，能表示与的函数关系的图象大致是
A．B．
C．D．
4．（2021春•青浦区期末）如图，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至停止，设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的面积是
A．16B．10C．18D．20
5．（2023春•静安区期末）如图1，矩形中，是对角线上一个动点（不与点重合），作，交于点，联结，如果设，面积为，那么可得关于的函数图象（如图2所示）．
（1）求关于的函数解析式，并写出其定义域；
（2）求的面积及矩形对角线的长．
【题型4 一次函数的图象与性质】
1．（2022•杨浦区二模）一次函数的图象不经过的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2021•静安区二模）一次函数的图象不经过的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2021•宝山区三模）如果函数的图象一定经过第二象限，那么的取值范围是
A．B．C．D．
4．（2022•松江区校级模拟）已知一次函数，的值随值的增大而增大，那么该函数的图象经过第 一、二、三 象限．
5．（2022•黄浦区校级二模）已知一次函数的图象经过点和，当
时，函数值．
6．（2022•上海）已知直线过第一象限且函数值随着的增大而减小，请列举出来这样的一条直线： ．
【题型5 一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征】
1．（2023•崇明区二模）如果函数的图象经过第一、三、四象限，那么的取值范围是
A．B．C．D．
2．（2022•松江区二模）如果一次函数的图像与轴的交点在轴正半轴上，且随的增大而减小，那么
A．，B．，C．，D．，
3．（2023•嘉定区二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ．
4．（2023•奉贤区二模）如果正比例函数是常数，的图象经过点，那么的值随的增大而 ．（填“增大”或“减小”
5．（2023•宝山区二模）已知一次函数的图象经过点，那么 ．
6．（2023•静安区二模）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为，如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是 ．
7．（2021•上海）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式 ．
【题型6 一次函数图象与几何变换、待定系数法求一次函数解析式】
1．（2022•徐汇区模拟）将函数的图象向下平移2个单位后，经过点，那么的值随的增大而 ．（填“增大”或“减小”
2．（2022•长宁区二模）将直线向左平移三个单位后，所得直线的表达式为 ．
【题型7 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）】
1．（2021•杨浦区三模）已知直线在轴上的截距为3，且经过点，那么这条直线的表达式为 ．
2．（2023春•黄浦区期中）一次函数的图象如图所示，则由图象可知关于的方程的解为 ．
3．（2022秋•黄浦区校级期末）已知一次函数、为常数）的图象如图所示，那么关于的不等式的解集是
A．B．C．D．．
4．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数与的交点坐标为，则方程组的解为 ．
【题型8 两条直线相交或平行问题】
1．（2023•黄浦区二模）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是 ．
2．（2022•宝山区二模）在平面直角坐标系中，已知某个一次函数的图象平行于直线，经过点，且与轴交于点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点在轴上，当的面积等于2时，求点的坐标．
【题型9 一次函数的实际问题】
1．（2023春•徐汇区期末）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为 ．
2．（2023•松江区二模）一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆私家车从乙地驶往甲地．两车之间的距离（千米）与行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，已知私家车的速度是90千米时，客车的速度是60千米时，那么点的坐标是 ．
3．（2021•上海）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元千克，现以8元卖出，挣得 元．
4．（2020•上海）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 米．
5．（2023•奉贤区二模）如图，某电信公司提供了、两种方案的移动通讯费用（元与通话时间（分之间的关系．如果通讯费用为60元，那么方案与方案的通话时间相差 分钟．
6．（2023•徐汇区二模）某公司产品的销售收入元与销售量吨的函数关系记为，销售成本与销售量的函数关系记为，两个函数的图象如图所示．当销售收入与销售成本相等时，销售量为 吨．
7．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．
（1）他实际花了多少钱购买加油卡？
（2）减价后每升油的单价为元升，原价为元升，求关于的函数解析式（不用写出定义域）．
（3）油的原价是7.30元升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
8．（2023•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线上有一点，将点先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点，点恰好在直线上．
（1）写出点的坐标，并求出直线的表达式；
（2）如果点在轴上，且，求点的坐标．
考向二：反比例函数
【题型10 反比例函数的图象和性质】
1．（2023•上海）下列函数中，函数值随的增大而减小的是
A．B．C．D．
2．（2022•上海）已知反比例函数，且在各自象限内，随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为
A．B．C．D．
3．（2023•普陀区二模）已知函数是常数，的图象经过第一、三象限，下列说法中正确的是
A．B．图象一定经过点
C．图象是双曲线D．的值随的值增大而减小
4．（2023•杨浦区二模）下列函数中，的值随自变量的值增大而增大的是
A．B．C．D．
5．（2022•普陀区二模）关于函数，下列说法中正确的是
A．图象位于第一、三象限B．图象与坐标轴没有交点
C．图象是一条直线D．的值随的值增大而减小
6．（2023•上海）函数的定义域为 ．
【题型11 反比例函数系数k的几何意义】
1．（2022•长宁区二模）已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过位于轴上方的点，点的坐标为，且的面积等于8，那么点的坐标为 ．
2．（2022秋•虹口区校级期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 ．
3．（2023秋•金山区期末）如图，函数和的部分图象与直线分别交于、两点，如果的面积是2.5，则的值为
A．3B．C．D．
【题型12 反比例函数图象上点的坐标特征】
1．（2022•上海）一个一次函数的截距为，且经过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）点，在某个反比例函数上，点横坐标为6，将点向上平移2个单位得到点，求的值．
2．（2023•徐汇区二模）若点、、在反比例函数的图象上，则
A．B．C．D．
3．（2023•松江区二模）已知点，、，在反比例函数的图象上，如果，那么 ．
【题型13 待定系数法求反比例函数解析式】
1．（2020•上海）已知反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式是
A．B．C．D．
2．（2023•嘉定区二模）如果反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式为 ．
【题型14 反比例函数的应用】
1．（2022•杨浦区二模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是双曲线的一部分，根据函数图像回答下列问题：
（1）点的注意力指标数是 ．
（2）当时，求注意力指标数随时间（分的函数解析式；
（3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．
2．（2022•杨浦区三模）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第二象限内，，且．
（1）求点的坐标；
（2）将沿轴向右平移，点、、的对应点分别是点、、，如果点、都落在双曲线上，求的值；
（3）如果直线与第（2）小题中的双曲线有两个公共点和，求的值．
（建议用时：20分钟）
1．（2023•奉贤区一模）下列函数中，函数值随自变量的值增大而减小的是
A．B．C．D．
2．（2023•黄浦区二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图象经过
A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限
3．（2023•金山区二模）已知函数，为常数）的函数值随值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是
A．B．C．D．
4．（2023•浦东新区模拟）在平面直角坐标系中，下列函数的图象过点的是
A．B．C．D．
5．（2023•杨浦区二模）下列函数中，的值随自变量的值增大而增大的是
A．B．C．D．
6．（2023•青浦区二模）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图象经过点；乙：函数图象经过第四象限；丙：当时，随的增大而增大．则这个函数表达式可能是
A．B．C．D．
7．（2023•宝山区二模）在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图象，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图象上，那么这个点是
A．B．，C．D．
8．（2023•宝山区二模）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为 ．
9．（2023•徐汇区二模）已知，那么 ．
10．（2023•黄浦区二模）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是 ．
11．（2023•青浦区二模）如图，图中反映轿车剩余油量（升与行驶路径（千米）的函数关系，那么与的函数解析式为 ．
12．（2023•奉贤区二模）如图，某电信公司提供了、两种方案的移动通讯费用（元与通话时间（分之间的关系．如果通讯费用为60元，那么方案与方案的通话时间相差 分钟．
13.（2023•虹口区二模）如图，已知点，联结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，如果点在反比例函数的图象上，那么的值是 ．
14．（2023•长宁区二模）已知点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点恰好在直线上，那么的值为 ．
15．（2023•金山区二模）小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离（米、（米与时间（分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是 分钟．
（建议用时：20分钟）
1．（2023•浦东新区校级模拟）如图，点在轴的正半轴上，函数的图象经过的顶点和边上的点，且，点的横坐标为2，则点的坐标是 ．
2．（2023•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为1，点是轴正半轴上一点，点在反比例函数图象上，联结、和．如果四边形是矩形，那么的值是 ．
3．（2023•盐城）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4.5，则的值为 ．
4．（2023•慈溪市一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数为常数，的图象经过的顶点，交轴于点，轴，为边上一点，，连结并延长交轴于点，连结．
（1）设的面积，四边形的面积为，则的值为 ；
（2）当的面积为3时，的值为 ．
5．（2023•温州三模）如图1，在平面直角坐标系中，直线过点，，与轴交于点．点，分别为线段，上的一点（不含端点），且．
（1）求和的值；
（2）当与中的一个角相等时，求线段的长．
6．（2023•赣榆区一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求出，的值；
（2）若为轴上的一动点，当的面积为时，求的值．
（3）在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理．
满分技巧
1.两点间的距离公式
两点间的距离公式：
设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝
说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
满分技巧
1．函数的概念理解：
①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
2.函数的定义域解题方法：
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
3.函数值解题方法：
①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
满分技巧
1. 解决函数的图象的问题注意事项：
①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
时间
记忆量
刚记忆完
20分钟后
1个小时后
9个小时后
1天后
2天后
6天后
30天后
满分技巧
1．一次函数的图象的画法：
经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
一次函数图象之间的位置关系：
直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
3．一次函数的性质:
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
满分技巧
1．一次函数图象与系数的关系:
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
2．一次函数图象上点的坐标特征:
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
满分技巧
1．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
2．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
满分技巧
1．一次函数与一元一次方程
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
2．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
3．一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
二元一次方程
一次函数
表达式：
表达式：
方程的解：
图象上的坐标点，其中为横坐标，为纵坐标
表示实数
表示平面内一个点
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
满分技巧
1. 两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
满分技巧
1. 根据实际问题列一次函数关系式：
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
2．一次函数的应用：
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
3．一次函数综合题：
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
满分技巧
1. 反比例函数的图象：
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
2．反比例函数的性质：
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
满分技巧
1. 反比例函数系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|、与坐标轴围成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
满分技巧
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
满分技巧
1. 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
满分技巧
1. 反比例函数的应用：
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
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