专题08 一元二次方程-2021年中考数学二轮复习专题 学案+课件

2021年中考数学一轮专题复习

学案08 一元二次方程

1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．

2. 一般形式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．

3. 一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．

【注意】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0．因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．

4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

【例1】下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）

A．x2+1=0 B． 

C．ax2+bx+c=0 D．（x+1）（x–1）=x2+x+1

【分析】A、是一元二次方程，故本选项符合题意；

B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

D、化简后为–1= x+1，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，故选A．

【答案】A.

【例2】（2018·兴安盟·呼伦贝尔15/26）已知a，b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为        ．

【考点】因式分解的应用；一元二次方程的解

【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)-11a-b+5，整理得2a2-2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可．

【解答】解：∵a，b是方程x2-x-3=0的两个根，

∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，

∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)-11a-b+5

=2a2-2a+17

=2(a+3)-2a+17

=2a+6-2a+17

=23．

故答案为：23．

【点评】本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．也考查了一元二次方程解的定义．

1.解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.

2.常用方法：（1）直接开平方法：对于形如x2=p（p≥0）或(mx+n)2=p（p≥0）的方程，直接开平方．

（2）配方法：将一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解．

（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为（）．

（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0的形式，进而得到x-a =0或x-b=0来求解．

3.选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；

（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；

（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；

（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解.

【例3】（2019·安徽省15/23）解方程：（x﹣1）2＝4．

【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．

【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．

【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，

∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，

解得：x1＝3，x2＝﹣1．

【点评】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

【例4】（2019•呼和浩特19/25）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．

【解答】解：原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，

，

，

，

∴，．

【例5】（2019·通辽6/26）一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（　　）

A．48 B．24 C．24或40 D．48或80 

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性质．

【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝3，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6，然后计算菱形的面积．

【解答】解：x2﹣8x+15＝0 可化为（x﹣5）（x﹣3）＝0，

所以x1＝5，x2＝3，

∵菱形一条对角线长为8，

∴菱形的边长为5，

∴菱形的另一条对角线为，

∴菱形的面积＝．

故选：B．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．也考查了三角形三边的关系和菱形的性质．

【例6】若实数a、b满足(4a+4b) (4a+4b－2)－8=0，则a+b=__________.

【考点】换元法解一元二次方程．.

【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值．

【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得

4x（4x﹣2）﹣8=0，

整理，得

（2x+1）（x﹣1）=0，

解得，x2=1．

则a+b的值是或1．

故答案是：或1．

【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．

1．一元二次方程根的判别式：  b2－4ac  叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式．

2. 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：

（1）当=b2－4ac＞0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，即；

（2）当=b2－4ac＝0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，即；

（3）当=b2－4ac＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根．

【例7】（2020•吉林9/26）一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为      ．

【考点】根的判别式

【分析】根据一元二次方程根的判别式=b2-4ac即可求出值．

【解答】解：∵a=1，b=3，c=-1，

∴=b2-4ac =9+4=13．

所以一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为13．

故答案为：13．

【点评】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．

【例8】（2020•北京10/28）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是         ．

【考点】根的判别式．

【答案】见试题解答内容

【分析】根据根的判别式＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．

【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，

∴＝22﹣4×1×k＝0，

解得：k＝1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．

【例9】（2020•新疆兵团5/23）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（    ）

A． B．x2+2x+4＝0 C．x2-x+2＝0 D．x2-2x＝0

【考点】根的判别式

【分析】分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答案．

【解答】解：A．此方程判别式，方程有两个相等的实数根，不符合题意；

B．此方程判别式，方程没有实数根，不符合题意；

C．此方程判别式，方程没有实数根，不符合题意；

D．此方程判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意；

故选：D．

【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与=b2－4ac的关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．

【例10】（2020•河南7/23）定义运算：m☆n=mn2-mn-1．例如：4☆2=4×22-4×2-1=7．则方程1☆x=0的根的情况为（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．无实数根 D．只有一个实数根

【考点】实数的运算；根的判别式

【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：1☆x=x2-x-1=0，

∴，

故选：A．

【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．

1. 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有，．

2. 用根与系数的关系求值时的常见转化：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【例11】（2020•青海8/27）在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1=2，x2=3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1=1，x2=5．请你写出正确的一元二次方程           ．

【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；一元二次方程的一般形式

【分析】利用根与系数的关系得到2×3=c，1+5=-b，然后求出b、c即可．

【解答】解：根据题意得2×3=c，1+5=-b，

解得b=-6，c=6，

所以正确的一元二次方程为x2-6x+6=0．

故答案为x2-6x+6=0．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，，．

【例12】（2019•呼和浩特8/25）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x22﹣4x12+17的值为（　　）

A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4

【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，x12+x1＝3，

∴x22﹣4x12+17

＝x12+x22﹣5x12+17

＝(x1+x2)2﹣2x1x2﹣5x12+17

＝(﹣1)2﹣2×(﹣3)﹣5x12+17

＝24﹣5x22

＝24﹣5(﹣1﹣x1)2

＝24﹣5(x12+x1+1)

＝24﹣5×(3+1)

＝4，

故选：D．

1.列一元二次方程解应用题的步骤：

列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、找、设、列、解、验、答七步.

2.常见类型：列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：

（1）增长率等量关系：

①增长率＝×100%；

②设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b；当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.例如：第一年产值为a，若以后每年的增长率均为x，则第二年的产值为a(1+x)，第三年的产值为a(1+x)2；若以后每年的降低率均为x，则第二年的产值为a(1–x)，第三年的产值为a(1–x)2．

（2）利润等量关系：

①利润＝售价-成本；

②利润率＝利润成本×100%.

③总利润=单件的利润×数量．

（3）面积问题：

充分利用各种图形对应的面积公式.

【例13】（2020•河南8/23）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（    ）

A．5000(1+2x)=7500 

B．5000×2(1+x)=7500  

C．5000(1+x)2=7500 

D．5000+5000(1+x)+ 5000(1+x)2=7500

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程

【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×(1+增长率)2=2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．

【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，

由题意得：5000(1+x)2=7500，

故选：C．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．

【例14】（2020•通辽15/26）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了       个人．

【考点】一元二次方程的应用

【分析】根据增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a(1+x)；第二次增长后为a(1+x)2，即原数×(1+增长百分率) 2=后来数．

【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得

 (1+x)2=169

1+x =±13

x1 =12， x2=-14（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．

故答案为：12．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a(1+x)；第二次增长后为a(1+x)2，即原数×(1+增长百分率) 2=后来数．

【例15】（2020•山西14/23）如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为         cm．

【考点】全等图形；一元二次方程的应用

【分析】根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可．

【解答】解：设底面长为a cm，宽为b cm，正方形的边长为x cm，根据题意得：

，

解得a=10-2x，b=6-x，

代入ab=24中，得：

(10-2x)( 6-x)=24，

整理得：x2-11x+18=0，

解得x=2或x=9（舍去），

答；剪去的正方形的边长为2 cm．

故答案为：2．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组．

1.若x=1是一元二次方程的一个根，那么             .

2.若一元二次方程有一根为，则=               .

3.已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为　　．

4.一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（　　）

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2

5.用配方法解一元二次方程x2－6x－4=0，下列变形正确的是（　　）

A．（x－6）2 =－4+36               B．（x－6）2 =4+36 

C．（x－3）2 =－4+9 D． （x－3）2 =4+9

6.如果x2–8x+m=0可以通过配方写成（x–n）2=6的形式，那么x2+8x+m=0可以配方成（　　）

A．（x–n+5）2=1 B．（x+n）2=1 

C．（x–n+5）2=11 D．（x+n）2=6

7.关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（　　）

A．x1=﹣6，x2=﹣1              B．x1=0，x2=5 

C．x1=﹣3，x2=5 D． x1=﹣6，x2=2

8.一元二次方程的根是（     ）

   A.    B.    C.    D.

9.（2020•呼和浩特22/24）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．

已知实数，满足，求的值．

10.（2020•鄂尔多斯17（2）/24）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a满足a2+2a﹣15＝0．

11.（2020•通辽5/26）关于的方程有实数根，的取值范围是（   ）

A．且 B． C．且 D．

12.（2020•兴安盟•呼伦贝尔16/26）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是           ．

13.（2020•上海10/25）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是       ．

14.（2020•安徽5/23）下列方程中，有两个相等实数根的是　　

A． B． C． D．

15.（2019·河南省6/23）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．只有一个实数根 D．没有实数根

16.（2019·河北省15/26）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　）

A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根

17.（2019·北京市19/28）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

18.（2018·包头9/26）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

19.（2018·北京市20/28）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．

（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．

20.（2020•江西8/23）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为         ．

21.（2019•包头10/26）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　）

A．34 B．30 C．30或34 D．30或36

22.（2018·呼和浩特23/25）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1•x2＝．

23.（2019•赤峰9/26）某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（　　）

A．400（1+x2）＝900 B．400（1+2x）＝900 

C．900（1﹣x）2＝400 D．400（1+x）2＝900

24.（2018·通辽15/26）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为         ．

25.（2018·赤峰10/26）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　）

A．x(x﹣1)＝380 B．x(x﹣1)＝380 

C．x(x+1)＝380 D．x(x+1)＝380

26.（2020•上海22/25）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．

（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．

27.（2019·重庆市24/26）某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．

（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？

（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少a%．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值．

1.若x=1是一元二次方程的一个根，那么             .

【分析】∵x=1是一元二次方程的一个根，∴将x=1代入此方程得：1+2+a=0，∴a=-3.

【答案】-3.

2.若一元二次方程有一根为，则=               .

【答案】2015.

【解析】试题分析：根据方程的解得定义直接将代入方程即可求出.

将代入得=2015.

【考点】方程的解、等式的性质.

3.已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为　　．

【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，

∴a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，

∴2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)﹣11a﹣b+5

=2a2﹣2a+17

=2(a+3)﹣2a+17

=2a+6﹣2a+17

=23．

故答案为：23．

4.一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（　　）

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2

【考点】一元二次方程的解．

【分析】把x=2代入已知方程，列出关于p的一元一次方程，通过解该方程来求p的值．

【解答】解：∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，

∴22+2p﹣2=0，

解得 p=﹣1．

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

5.用配方法解一元二次方程x2－6x－4=0，下列变形正确的是（　　）

A．（x－6）2 =－4+36               B．（x－6）2 =4+36 

C．（x－3）2 =－4+9 D． （x－3）2 =4+9

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】根据配方法，可得方程的解．

【解答】解：x2﹣6x﹣4=0，

移项，得x2﹣6x=4，

配方，得（x﹣3）2=4+9．

故选：D．

【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方．

6.如果x2–8x+m=0可以通过配方写成（x–n）2=6的形式，那么x2+8x+m=0可以配方成（　　）

A．（x–n+5）2=1 B．（x+n）2=1 

C．（x–n+5）2=11 D．（x+n）2=6

【分析】∵x2–8x+m=0可以通过配方写成（x–n）2=6的形式，

∴x2–8x+16=16–m，x2–2nx+n2=6，∴n=4，m=10，

∴x2+8x+m=0可以配方成（x+4）2=6，故选D．

【答案】D.

7.关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（　　）

A．x1=﹣6，x2=﹣1              B．x1=0，x2=5 

C．x1=﹣3，x2=5 D． x1=﹣6，x2=2

【考点】解一元二次方程-直接开平方法．

【专题】计算题．

【分析】利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，x2=5．

【解答】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=﹣h±，

而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，

所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，

方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，

所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．

故选B．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．

8.一元二次方程的根是（     ）

   A.    B.    C.    D.

【分析】此题考察一元二次方程的解法，观察发现可以采用提公因式法来解答此题.原方程可化为：，因此或，所以.故选：D.21

【答案】D.

9.（2020•呼和浩特22/24）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．

已知实数，满足，求的值．

【考点】无理方程；解一元二次方程因式分解法；换元法解一元二次方程

【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有和，因此可以令，，列出方程组，从而求出，的值，再求出的值．

【解答】解：令，，则原方程组可化为：

，整理得：，

②①得：，

解得：，代入②可得：，

方程组的解为：或，

，

当时，，

当时，，

因此的值为6或26．

【点评】此题主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转化为二元一次方程组是解题关键．

10.（2020•鄂尔多斯17（2）/24）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a满足a2+2a﹣15＝0．

【考点】分式的化简求值；解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出a2+2a＝15，整体代入计算可得．

【解答】解：原式＝[+]÷

＝（+）•

＝•

＝

＝，

∵a2+2a﹣15＝0，

∴a2+2a＝15，

则原式＝．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．

11.（2020•通辽5/26）关于的方程有实数根，的取值范围是（   ）

A．且 B． C．且 D．

【考点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义；根的判别式

【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．

【解答】解：时，是一元一次方程，有实数根；

不等于0时，是一元二次方程，根据题意，，

，

解得，

故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（3）方程没有实数根．

12.（2020•兴安盟•呼伦贝尔16/26）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是           ．

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义

【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且二次项系数，然后求出两不等式的公共部分即可．

【解答】解：一元二次方程有实数根，

且，

解得：且，

故答案为：且．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．

13.（2020•上海10/25）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是       ．

【考点】根的判别式

【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式，即可求值．

【解答】解：依题意，

方程有两个相等的实数根，

，解得，

故答案为：4．

【点评】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当时，方程有两个相等的实根，当时，方程有两个不相等的实根，当时，方程无实数根．

14.（2020•安徽5/23）下列方程中，有两个相等实数根的是　　

A． B． C． D．

【考点】根的判别式

【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．

【解答】解：A、，有两个相等实数根；

B、，没有实数根；

C、，有两个不相等实数根；

D、，有两个不相等实数根．

故选：A．

【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（3）方程没有实数根．

15.（2019·河南省6/23）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．只有一个实数根 D．没有实数根

【考点】根的判别式．

【分析】先化成一般式后，在求根的判别式．

【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，

∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，

∴＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

【点评】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．

16.（2019·河北省15/26）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　）

A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根

【考点】解一元二次方程﹣公式法；根的判别式．

【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程求出答案．

【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，

∴（﹣1）2﹣4+c＝0，

解得：c＝3，

故原方程中c＝5，

则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，

则原方程的根的情况是不存在实数根．

故选：A．

【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．

17.（2019·北京市19/28）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

【考点】根的判别式．

【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．

【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，

∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，

解得：m≤1，

∵m为正整数，

∴m＝1，

∴x2﹣2x+1＝0，

则（x﹣1）2＝0，

解得：x1＝x2＝1．

【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．

18.（2018·包头9/26）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

【考点】根的判别式．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．

【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有实数根

∴＝b2﹣4ac＝22﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，

∴m≤3．

∵m为正整数，且该方程的根都是整数，

∴m＝2或3．

∴2+3＝5．

故选：B．

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当≥0时，方程有实数根”是解题的关键．

19.（2018·北京市20/28）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．

（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．

【考点】根的判别式．

【分析】（1）计算判别式的值得到＝a2+4，则可判断＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；

（2）利用方程有两个相等的实数根得到＝b2﹣4a＝0，设b＝2，a＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．

【解答】解：（1）a≠0，

＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，

∵a2＞0，

∴＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴＝b2﹣4a＝0，

若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与＝b2﹣4ac有如下关系：当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当＝0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程无实数根．

20.（2020•江西8/23）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为         ．

【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系

【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．

【解答】解：，，，

．

关于的一元二次方程的一个根为，

另一个根为．

故答案为：．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之积等于是解题的关键．

21.（2019•包头10/26）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　）

A．34 B．30 C．30或34 D．30或36

【解答】解：当a＝4时，b＜8，

∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，

∴4+b＝12，

∴b＝8不符合；

当b＝4时，a＜8，

∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，

∴4+a＝12，

∴a＝8不符合；

当a＝b时，

∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，

∴12＝2a＝2b，

∴a＝b＝6，

∴m+2＝36，

∴m＝34；

故选：A．

22.（2018·呼和浩特23/25）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1•x2＝．

【考点】解一元二次方程﹣配方法；根的判别式；根与系数的关系．

【分析】由a不为0，在方程两边同时除以a，把二次项系数化为1，然后把常数项移项到方程右边，两边都加上一次项系数一半的平方即()2，左边变为完全平方式，右边大于等于0时，开方即可得到求根公式；由求根公式求出的两个根相乘，化简后即可得证．

【解答】解：∵ax2+bx+c＝0（a≠0），

∴x2+x＝﹣，

∴x2+x+（）2＝﹣+（）2，

即（x+）2＝，

∵4a2＞0，

∴当b2﹣4ac≥0时，方程有实数根，

∴x+＝±，

∴当b2﹣4ac＞0时，x1＝，x2＝；

当b2﹣4ac＝0时，x1＝x2＝﹣；

∴x1•x2＝＝＝＝，

或x1•x2＝（﹣）2＝＝＝，

∴x1•x2＝．

【点评】此题考查了利用配方法推导求根公式，由求根公式推导根与系数的关系，以及根与系数关系的运用，其中利用配方法推导求根公式是一个难点，要求学生必须掌握推导过程每一步的依据，即要搞清为什么，根与系数关系应用的前提必须是一元二次方程有解，即b2﹣4ac≥0，在运用根与系数关系时，往往利用配方，提取公因式，通分等方法把所求的式子化为与两根之和及两根之积有关的式子，然后把求出的两根之和与两根之积整体代入即可求出值．

23.（2019•赤峰9/26）某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（　　）

A．400（1+x2）＝900 B．400（1+2x）＝900 

C．900（1﹣x）2＝400 D．400（1+x）2＝900

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】设月平均增长率为x，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：设月平均增长率为x，

根据题意得：400（1+x）2＝900．

故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×(1+年平均增长率)年数＝增长后的量．

24.（2018·通辽15/26）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为         ．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．

【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：

x（x﹣1）＝21，

故答案为：x（x﹣1）＝21．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．

25.（2018·赤峰10/26）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　）

A．x(x﹣1)＝380 B．x(x﹣1)＝380 

C．x(x+1)＝380 D．x(x+1)＝380

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛380场，可列出方程．

【解答】解：设参赛队伍有x支，则

x(x﹣1)＝380．

故选：B．

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．

26.（2020•上海22/25）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．

（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．

【考点】一元二次方程的应用

【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额前六天的总营业额第七天的营业额，即可求出结论；

（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：（1）（万元）．

答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．

（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为，

依题意，得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

27.（2019·重庆市24/26）某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．

（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？

（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少a%．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】（1）设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，根据物管费90000元，可列方程求解；

（2）50平方米住宅有500×40%＝200户参与活动一，80平方米住宅有250×20%＝50户参与活动一；50平方米住宅每户所交物管费为100（1﹣a%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为160（1﹣a%）元，有50（1+6a%）户参与活动二．根据参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，列出方程求解即可．

【解答】（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，由题意得：

2（50×2x+80x）＝90000，

解得 x＝250

答：该小区共有250套80平方米的住宅．

（2）参与活动一：

50平方米住宅每户所交物管费为100元，有500×40%＝200户参与活动一，

80平方米住宅每户所交物管费为160元，有250×20%＝50户参与活动一；

参与活动二：

50平方米住宅每户所交物管费为100（1﹣a%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；

80平方米住宅每户所交物管费为160（1﹣a%）元，有50（1+6a%）户参与活动二．

由题意得100（1﹣a%）•200（1+2a%）+160（1﹣a%）•50（1+6a%）＝[200（1+2a%）×100+50（1+6a%）×160]（1﹣a%）

令t＝a%，化简得t（2t﹣1）＝0

∴t1＝0（舍），t2＝，

∴a＝50．

答：a的值为50．

【点评】本题是一元二次方程的综合应用题，数据较多，分析清楚题目中相关数据，根据等量关系列出方程是解题的关键．