数学八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试课时训练

这是一份数学八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试课时训练，共16页。试卷主要包含了有下列命题，下列各组数中，是勾股数的一组为，7，0等内容，欢迎下载使用。

人教版数学八年级下册第17章 勾股定理 专项训练
1.有下列命题：
①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；
③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；
⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等.
(1)③和⑤互为逆命题吗？
(2)你能说出③和⑤的逆命题各是什么吗？
(3)请指出哪几个命题互为逆命题.






2.(中考·淮安)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(　　)

A. 5 B. 6
C. 7 D. 25
3.下面三个定理中，存在逆定理的有(　　)个.
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；
②全等三角形的对应角相等；
③同位角相等，两直线平行.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是否互为逆定理：
(1)全等三角形的对应边相等； (2)同角的补角相等.








5.下列各组数中，是勾股数的一组为(　　)
A. 0.7，0.24，0.25 B.32，42，52
C.40，41，9 D.，，1
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点， AD＝BD. 若AB＝8，BD＝5，求CD的长.





7.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n(n＞1)的式子表示：a＝______，b＝______，c＝________；
(2)猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想.







8.如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时其长度的平方是多少？







9.如图，A，B两个小镇在河岸l的同侧，到河岸的距离分别为AC＝10 km，BD＝30 km，且CD＝30 km，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元. 请你在河岸l上选择自来水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出最少的费用是多少.





10.如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置. 若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数.





11.如图，已知等腰三角形ABC的底边长BC＝20 cm，D是AC上的一点，且BD＝16 cm，CD＝12 cm.
(1)求证BD⊥AC；
(2)求△ABC的面积.







12.如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2. 求证AB＝BC.





13.如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.



14.如图，有一块直角三角形绿地，量得两直角边BC，AC的长分别为6 m，8 m. 现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC边为直角边的直角三角形，求扩充后的等腰三角形绿地的面积.




15.如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝600 m，BC＝800 m，AB＝1 000 m,现需要修建一条路,使工厂C到公路的路程最短. 请你帮工厂C的负责人设计一种方案，并求出新建的路的长.



16.育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本，第一组同学的步行速度为30 m/min，第二组同学的步行速度为40 m/min，30 min后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距1500m.
(1)试判断这两组同学行走的方向是否成直角；
(2)如果接下来这两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？





17.如图，将长方形ABCD的边AD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处. 已知AB＝6，△ABF的面积是24，求EF的长.




18.阅读下列材料：
如图①，一圆柱的底面半径为5，高AB为5，BC是底面直径，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬到点C，为探索蚂蚁爬行的最短路线，小明设计了两条路线.
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图②所示.

设路线1的长度为l1，
则l＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2.
路线2：高线AB＋底面直径BC.
设路线2的长度为l2，则l＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225.
因为l－l＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)＞0，
所以l＞l.
所以l1＞l2，即路线2较短.
(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：圆柱的底面半径为1，高AB为5，继续按前面的路线进行计算. 请你帮小明完成下面的计算.
路线1：l＝AC2＝________；路线2：l＝(AB＋BC)2＝________.
因为l______l， 所以l1______l2(填“＞”或“＜”).
所以路线______(填“1”或“2”)较短.
(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线，才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬到点C的路线较短？












19.在△ABC中，若AB＝20，AC＝15，BC边上的高为12，求△ABC的周长.








20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.

(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值.

参考答案
1.有下列命题：
①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；
③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；
⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等.
(1)③和⑤互为逆命题吗？
解：由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结论得到的，所以③和⑤不互为逆命题．
(2)你能说出③和⑤的逆命题各是什么吗？
解：③的逆命题：如果a>0，b>0，那么a＋b>0；
⑤的逆命题：如果ab>0，那么a>0，b>0.
(3)请指出哪几个命题互为逆命题.
解：①与④，②与⑥分别互为逆命题．
2.(中考·淮安)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(　A　)

A. 5 B. 6
C. 7 D. 25
3.下面三个定理中，存在逆定理的有(　C　)个.
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；
②全等三角形的对应角相等；
③同位角相等，两直线平行.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是否互为逆定理：
(1)全等三角形的对应边相等； (2)同角的补角相等.
解：(1)逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题且都是定理，所以它们互为逆定理．
(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．原命题是真命题，但其逆命题是假命题，所以它们不互为逆定理．
5.下列各组数中，是勾股数的一组为(　C　)
A. 0.7，0.24，0.25 B.32，42，52
C.40，41，9 D.，，1
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点， AD＝BD. 若AB＝8，BD＝5，求CD的长.

解：设CD＝x，在Rt△ABC中，有AC2＋(CD＋BD)2＝AB2，
整理，得AC2＝AB2－(CD＋BD)2＝64－(x＋5)2.①
在Rt△ADC中，有AC2＋CD2＝AD2，
整理，得AC2＝AD2－CD2＝25－x2.②
由①②两式，得64－(x＋5)2＝25－x2，解得x＝1.4，
即CD的长是1.4.
7.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n(n＞1)的式子表示：a＝___ n2－1_____，b＝__2n______，c＝_ n2+1_______；
(2)猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想.
解：是直角三角形．证明如下：
∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，
c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1， ∴a2＋b2＝c2.
∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．
8.如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时其长度的平方是多少？

【点拨】利用化折为直法将长方体展开计算即可．
解：将长方体的侧面展开，如图所示．
因为AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6 cm，
所以AB′2＝AA′2＋A′B′2＝82＋62＝102. 所以AB′＝10 cm.
所以用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，所用细线最短需要10 cm.
如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时其长度的平方为(8n)2＋62＝(64n2＋36)(cm2)．

9.如图，A，B两个小镇在河岸l的同侧，到河岸的距离分别为AC＝10 km，BD＝30 km，且CD＝30 km，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元. 请你在河岸l上选择自来水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出最少的费用是多少.

【点拨】利用对称法将两点到直线上的一点的
最短距离和转化为两点间的距离，用勾股定理求解即可．
解：如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交CD于点M，点M即为所求．连接AM，则MA＋MB最小．作A′E⊥BD，交BD的延长线于点E.
在Rt△A′BE中，A′E＝30 km，
BE＝BD＋DE＝BD＋A′C＝40 km.

由勾股定理得A′B2＝A′E2＋BE2＝302＋402＝502，
所以A′B＝50 km.
所以MA＋MB＝A′M＋BM＝A′B＝50 km.
所以铺设水管的最少费用为50×3＝150(万元)．
10.如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置. 若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数.

解：如图，连接EE′.
由题意可知△ABE≌△CBE′，∠EBE′＝90°，
所以E′C＝AE＝1，BE′＝BE＝2，
∠ABE＝∠CBE′.

在△EE′C中，EE′2＋CE′2＝BE2＋BE′2＋CE′2＝9，EC2＝9，
所以EE′2＋CE′2＝EC2.
所以△EE′C为直角三角形，且∠EE′C＝90°.
因为BE＝BE′，∠EBE′＝90°，
所以∠BE′E＝＝45°.
所以∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.
11.如图，已知等腰三角形ABC的底边长BC＝20 cm，D是AC上的一点，且BD＝16 cm，CD＝12 cm.
(1)求证BD⊥AC；

证明：因为122＋162＝202，
所以CD2＋BD2＝BC2.
所以△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°.
所以BD⊥AC.
(2)求△ABC的面积.
解：设AD＝x cm，则AC＝(x＋12)cm.
因为AB＝AC，所以AB＝(x＋12)cm.
在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2，所以(x＋12)2＝x2＋162.
解得x＝. 所以AC＝＋12＝(cm)．
所以△ABC的面积＝AC·BD＝××16＝(cm2)．
12.如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2. 求证AB＝BC.

【点拨】当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知, 等量代换, 求之即可．
证明：∵CD⊥AD， ∴∠ADC＝90°，
即△ADC是直角三角形．
由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.
又∵AD2＝2AB2－CD2， ∴AD2＋CD2＝2AB2. ∴AC2＝2AB2.
∵∠ABC＝90°， ∴△ABC是直角三角形．
由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，
∴AB2＋BC2＝2AB2. ∴BC2＝AB2，即AB＝BC.
13.如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.
求证：BP2＝BC2＋AP2.

证明：如图，连接BM.

∵MP⊥AB，
∴△BMP和△AMP均为直角三角形．
∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.
同理可得BC2＋CM2＝BM2. ∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.
又∵CM＝AM，
∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.
∴BP2＝BC2＋AP2.
14.如图，有一块直角三角形绿地，量得两直角边BC，AC的长分别为6 m，8 m. 现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC边为直角边的直角三角形，
求扩充后的等腰三角形绿地的面积.

解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8 m，BC＝6 m，
由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100，
所以AB＝10 m.
设扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰三角形ABD，应分以下三种情况讨论：
(1)如图①，当AB＝AD＝10 m时，
因为AC⊥BC，所以CD＝CB＝6 m.
所以S△ABD＝BD·AC＝×12×8＝48(m2)．
(2)如图②，当AB＝BD＝10 m时，
S△ABD＝BD·AC＝×10×8＝40(m2)．

(3)如图③, 当AB为底边时, 设AD＝BD＝x m，则CD＝(x－6) m.
在Rt△ACD中，有AC2＋CD2＝AD2，即82＋(x－6)2＝x2，
解得x＝. 所以BD＝ m.
所以S△ABD＝BD·AC＝××8＝(m2)．
综上所述，扩充后的等腰三角形绿地的面积为48 m2或40 m2或 m2.
15.如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝600 m，BC＝800 m，AB＝1 000 m,现需要修建一条路,使工厂C到公路的路程最短. 请你帮工厂C的负责人设计一种方案，并求出新建的路的长.

解：过点C作公路AB的垂线，垂足为D，
则线段CD即为新建的路．
因为AC2＋BC2＝6002＋8002＝1 0002，AB2＝1 0002，所以AC2＋BC2＝AB2.
所以△ABC为直角三角形, 且∠ACB＝90°.
由三角形的面积公式知AB·CD＝AC·BC，
所以×1 000·CD＝×600×800.
解得CD＝480 m，即新建的路的长为480 m.
16.育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本，第一组同学的步行速度为30 m/min，第二组同学的步行速度为40 m/min，30 min后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距1 500 m.
(1)试判断这两组同学行走的方向是否成直角；
解：30 min后，第一组同学行走的路程为30×30＝900(m)，
第二组同学行走的路程为40×30＝1 200(m)．
因为9002＋1 2002＝1 5002，且此时两组同学相距1 500 m，
所以两组同学行走的方向成直角．
(2)如果接下来这两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？
解：设x min后两组同学相遇．根据题意，得30x＋40x＝1 500.
解这个方程，得x＝. 答： min后能相遇．
17.如图，将长方形ABCD的边AD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处. 已知AB＝6，△ABF的面积是24，求EF的长.

解：因为S△ABF＝AB·BF＝24，AB＝6，
所以BF＝8.
在Rt△ABF中，AF2＝AB2＋BF2＝100，所以AF＝10.
由折叠的性质可得AD＝AF＝10，DE＝EF.
因为四边形ABCD是长方形，
所以BC＝AD＝10，CD＝AB＝6.
所以FC＝BC－BF＝10－8＝2.
设EF＝x，则DE＝x，EC＝6－x.
在Rt△EFC中，EF2＝EC2＋FC2，
即x2＝(6－x)2＋22，解得x＝，即EF＝.
18.阅读下列材料：
如图①，一圆柱的底面半径为5，高AB为5，BC是底面直径，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬到点C，为探索蚂蚁爬行的最短路线，小明设计了两条路线.
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图②所示.

设路线1的长度为l1，
则l＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2.
路线2：高线AB＋底面直径BC.
设路线2的长度为l2，则l＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225.
因为l－l＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)＞0，
所以l＞l.
所以l1＞l2，即路线2较短.
(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：圆柱的底面半径为1，高AB为5，继续按前面的路线进行计算. 请你帮小明完成下面的计算.
路线1：l＝AC2＝_25＋π2_______；路线2：l＝(AB＋BC)2＝__49______.
因为l___＜___l， 所以l1_＜_____l2(填“＞”或“＜”).
所以路线___1___(填“1”或“2”)较短.
(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线，才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬到点C的路线较短？
【点拨】勾股定理是从形到数的转化，直角三角形的判定是从数到形的转化．本章题目中还有把四边形问题转化为三角形的问题，把立体图形问题转化为平面图形的问题，这些都体现了数学中的转化思想．
解：(2)设路线1的长度为l1，
则l＝AC2＝AB2＋BC2＝h2＋(πr)2＝h2＋π2r2.
设路线2的长度为l2，则l＝(AB＋BC)2＝(h＋2r)2＝h2＋4rh＋4r2.
因为l－l＝π2r2－4rh－4r2＝r(π2r－4r－4h)，
所以当r＞时，l1＞l2，应选择路线2才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬到点C的路线较短；
当r＜时，l1＜l2，应选择路线1才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬到点C的路线较短；当r＝时，l1＝l2，两条路线长度相等．
19.在△ABC中，若AB＝20，AC＝15，BC边上的高为12，求△ABC的周长.
解：设BC边上的高为AD，
则△ABD，△ACD是直角三角形，
由勾股定理得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝256，
CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
所以BD＝16，CD＝9.
①若∠ACB是锐角，如图①，则BC＝BD＋CD＝16＋9＝25.
所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝20＋15＋25＝60.
②若∠ACB是钝角，如图②，则BC＝BD－CD＝16－9＝7.
所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝20＋15＋7＝42.
综上所述，△ABC的周长为60或42.

20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.

(1)求BC边的长；
解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，
所以BC＝4 cm.
(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
解：由题意知BP＝t cm,当△ABP为直角三角形时,有两种情况：
Ⅰ.如图①，当∠APB为直角时，
点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，即t＝4.

Ⅱ.如图②，当∠BAP为直角时，
BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝32＋(t－4)2；
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，
即52＋[32＋(t－4)2]＝t2，解得t＝.
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝.

(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值.
解：当△ABP为等腰三角形时，有三种情况：
Ⅰ.如图①，当BP＝AB时，t＝5；

Ⅱ.如图②，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8 cm，即t＝8；
Ⅲ.如图③，当BP＝AP时，AP＝BP＝t cm，
CP＝|t－4|cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，
所以t2＝32＋(t－4)2，解得t＝.
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝.