第十七章 章末复习 课件+教案+导学案

章末复习

【知识与技能】

进一步感受勾股定理及其逆定理，能用它们解决问题.

【过程与方法】

在经历“知识回顾——问题与思考——问题探究”过程中，进一步增强学生分析问题、解决问题的能力，体验数形结合的思想，锻炼解题技能.

【情感态度】

进一步培养学生的合作交流意识和探究精神，激发学习数学的兴趣.

【教学重点】

勾股定理及其逆定理解决问题.

【教学难点】

用勾股定理的逆命题证明几何问题.

一、知识回顾，整体把握

1.勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c称为一组勾股数.

3.勾股定理的逆定理：在一个三角形中，如果满足两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

4.互逆命题、互逆定理.

【教学说明】师生共同回顾本章知识，教师扼要板书，加深学生理解.

二、释疑解惑，加深理解

1.勾股定理及其逆定理的证明方法是怎样的，它们各是怎样体现数形结合的思想的，谈谈你的理解.

2.已知一个三角形三边长，就能判断它是不是直角三角形，你能举个例子吗？

3.如果一个命题成立，它的逆命题一定成立吗？请举例说明.

【教学说明】教师展示问题，师生共同回顾，加深认识.

三、典例精析，复习新知

例1 （1）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形三边长，不能构成直角三角形的是（     ）

A.3，4，5    B.6，8，10    C. ，2，      D.5，12，13

（2）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数是（     ）

A.90°    B.60°    C.45°     D.30°

【分析】（1）中可直接将选项中三个数据的两个较小数的平方和与最大数的平方进行比较，易知以C选项中三个数据 ，2，为三边的三角形不是直角三角形，故选C；（2）中，由于给出了小正方形的边长为1，因而可利用勾股定理分别求出线段AB、BC和AC（应连接AC）的长，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状后可得到结论.∵AB2=12+32=10，CB2=12+22=5，CA2=12+22=5，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，故∠ABC=45°，应选C.

例2  如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3之间的关系是                 .

【分析】如图2，过点A作AE∥BC交CD于点E，连接AC，则∠EAC=∠ACB.

由AB∥CD知∠BAC=∠ACE,AC=AC, ∴△ABC≌△AEC,∴AB=CE,AE=BC.

由CD=2AB=CE+DE知DE=CE=AB.

由AE∥BC知∠AED=∠BCD,而∠ADC+∠BCD=90°, ∴∠ADC+∠AED=90°,

 ∴∠DAE=90°,即△ADE为直角三角形，

∴DE2=AD2+AE2,即AB2=AD2+BC2,即S2=S1+S3.

例3  如图，已知AB=12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10，点E为CD的中点，则AE的长为.

【分析】可过E作EM⊥AD于M，交BC于N，

∵E为CD中点，从而易得Rt△DME≌Rt△CNE，

而DM=NC=（AD+BC）=，∴AM=-5=.

又EM=EN=AB=6，

故在Rt△AEM中，有AE2=AM2+EM2=()2+62=+36= ，∴AE= .

例4  已知，如图，在四边形ABCD中.∠ABC=90°，CD⊥AD于点D，且CD2+AD2=2AB2.

（1）求证AB=BC；

（2）当BE⊥AD于点E时，试证明：BE=AE+CD.

【分析】(1)由条件CD2+AD2=2AB2，并结合图形，有CD2+AD2=AC2，又AC2＝AB2+BC2（连接AC），从而2AB2=AB2+BC2，有BC=AB（勾股定理功不可没）；

（2）过C作CF⊥BE于F，由AB=BC，∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠CFB，知△ABE≌△BCF，有BF=AE，且CD=FE，故BE=BF+FE=AE+CD.

例5  如图，点P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.

解：将△APB绕点B顺时针旋转90°，至△BP′C位置，连PP′（如图所示），

易知BP′=BP＝2，∠PBP′=90°，且∠BPA=∠BP′C，P′C=PA=1.

在Rt△BPP′中，有BP2+BP′2=PP′2，即PP′2=22+22=8.又P′C=1.

∴PP′2+P′C2=8+1=9，而PC=3，

∴PC2=9.故△PP′C为直角三角形，且∠PP′C=90°.

又BP=BP′，∠PBP′=90°，

∴∠BP′P=45°，故∠BP′C=45°+90°=135°，从而∠APB=135°.

【教学说明】例1、例2可由学生独立完成，例3、4、5由师生共同探究获得结论，通过问题解决加深对勾股定理及其逆定理的理解和运用.

四、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你对勾股定理及其逆定理是否有更深的认识？你还有哪些疑问？与同伴交流.

1.布置作业：从教材“复习题17”中选取.

2.完成练习册中本课时练习.

本章的复习应紧紧围绕“勾股定理”这个中心，师生一起共同回顾本章知识，并安排学生进行交流.教师及时发现问题并予以解答.此外，教案中安排的五个例题应先让学生试着解答，教师再予以点拨，以达到复习的效果.