【分层单元卷】人教版数学8年级下册第17单元·C培优测试(含答案)

【分层单元卷】人教版数学8年级下册

第17单元·C培优测试

一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．（3分）若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为（　　）

A．13 B．119 C．169 D．119或169

2．（3分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C的坐标分别为（，0），（2，0）点A在y轴上，点D为AC的中点，DE⊥AB于点E，若∠ABD＝∠DBC，则DE的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．3

3．（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21．大正方形的面积为13．则小正方形的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5

4．（3分）意大利著名画家达•芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（　　）

A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+ab 

C．S2＝c2 D．S2＝c2ab

5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外做正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（　　）

A．2： B．4：3 C．： D．7：4

6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是△ABC的中线，则AD长为（　　）

A．2 B．6 C．8 D．2

7．（3分）如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是（　　）

A．76 B．57 C．38 D．19

8．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点（网格线的交点），以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交格线于D，则CD的长为（　　）

A．3 B．2 C．3﹣2 D．22

9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（　　）

A．∠CED＝∠FDB B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝10

10．（3分）将一个等腰三角形ABC纸板沿垂线段AD，DE进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中EC与BD共线．若BD＝6，则AB的长为（　　）

A． B． C． D．7

11．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC长为半在作弧交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（　　）

A． B． C． D．2

12．（3分）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，则GI的值是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

13．（3分）在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝2，BC，AC、BC的中垂线分别交AB于D、E两点，则△CDE的周长为　   　．

14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝2，则AC的长是 　   　．

15．（3分）如图，为测量学校A与河对岸超市B之间的距离，在A附近选一点C，利用测量仪器测得∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，AC＝2km，则可求得学校与超市之间的距离AB等于 　   　km．

16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且CD＝2，AC＝6，则AB＝　   　．

17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E．若∠B＝30°，AE＝1．

（1）BE的长为 　   　；

（2）在△ABC的腰上取一点M，当△DEM是等腰三角形时，BM长为 　   　．

18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO的四个顶点分别为点A（1，2），B（10，2），C（10，0），O（0，0），点D是线段OC的中点，点P在AB边上，若△OPD是腰为5的等腰三角形，则点P的坐标为 　   　．

三、解答题（共7小题，满分66分）

19．（8分）已知，如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足AD∥BC，并作腰上的高AE．

（1）求证：AB＝AE；

（2）求等腰三角形的腰长CD．

20．（8分）暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？

21．（8分）一架梯子AB长5.2米，如图斜靠在墙上，梯子的底部离墙的底端的距离BC为5.1米．

（1）求梯子的顶端与地面的距离AC；

（2）如果梯子的顶端上升了4.0米，那么梯子底部在水平方向是不是也向墙的底端靠近了4.0米？为什么？

22．（9分）如图，已知△ABC，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上，点E在线段AC上，设∠BAD＝α，∠CDE＝β．

（1）如果α＝20°，β＝10°，那么△ADE是等边三角形？请说明理由；

（2）若AD＝AE，试求α与β之间的关系．

23．（10分）阅读下列文字，然后回答问题．

已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），它们之间的距离P1P2．

（1）已知A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离．

（2）已知△DEF各顶点的坐标为D（1，6），E（﹣2，2），F（4，2），请判断此三角形的形状，并说明理由．

24．（11分）已知△ABC一张直角三角形纸片，其中∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，小亮将它绕点A逆时针旋转β后得到△AED，直线AD交直线BC于点F．

（1）如图1，当β＝90°时，ED所在直线与线段BC有怎样的位置关系？请说明理由；

（2）如图2，当0°＜β＜180°时，若△ABF为等腰三角形，直接写出β的度数；

（3）当0°＜β＜180°时，若直线ED直线与直线BC所夹锐角为30°，直接写出β的度数．

25．（12分）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．

（1）根据题意，BF＝　   　m，BC＝　   　m，CD＝　   　m；

（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．

（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 　   　m．

参考答案

一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．D

2．B

3．C

4．B

5．A

6．C

7．A

8．B

9．D

10．B

11．B

12．A；

二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

13．

14．

15．4

16．7.5

17．3；3或

18．（5，2）或（，2）；

三、解答题（共7小题，满分66分）

19．（1）证明：∵DA＝DC，

∴∠DAC＝∠DCA，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠BCA，

∴∠ACB＝∠DCA，

又∵AE⊥CD，

∴∠AEC＝90°，

∴∠A＝∠AEC＝90°，

在△ABC和△AEC中，，

∴△ABC≌△AEC（AAS），

∴AB＝AE；

（2）解：由（1）得：AE＝AB＝6，CE＝CB＝4，

设DC＝x，则DA＝x，DE＝x﹣4，

由勾股定理得：DE2+AE2＝DA2，

即（x﹣4）2+62＝x2，

解得：x，

即CD．

20．解：过点B作BD⊥AC于点D，

根据题意可知，AD＝8﹣3+1＝6千米，BD＝2+6＝8千米，

在Rt△ADB中，由勾股定理得AB10千米，

答：登陆点到宝藏处的距离为10千米．

21．（1）解：根据勾股定理可得，梯子的顶端与地面的距离为：（米），

答：梯子的顶端与地面的距离为1.0米．；

（2）解：梯子的顶端上升4.0米后，梯子的顶端与地面的距离为：A'C＝1.0+4.0＝5（米），

此时梯子的底部离墙的底端的距离为：（米），

梯子底部在水平方向移动的距离为：BB'＝5.1﹣1.4＝3.7（米），

∵3.7≠4.0，

∴梯子底部在水平方向不是也向墙的底端靠近了4.0米．

22．解：（1）△ADE是等边三角形，

理由：∵AB＝AC，∠B＝50°，

∴∠C＝∠B＝50°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，

∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣α＝80°﹣20°＝60°，

∵β＝10°，

∴∠DAE＝∠C+β＝60°，

∴△ADE是等腰三角形；

（2）若AD＝AE时，则α＝2β，

证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠ADC＝∠B+∠BAD，

∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，

∴∠ADE+β＝∠B+α，

∴∠ADE＝∠B+α﹣β，

∵∠AED＝∠C+∠CDE＝∠B+β，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED，

∴∠B+α﹣β＝∠B+β，

∴α＝2β．

23．解：（1）根据两点的距离公式得，AB；

（2）△DEF为等腰三角形．

理由：∵D（1，6），E（﹣2，2），F（4，2），

∴DE，

EF，

DF，

∴DE＝DF，

∴△DEF为等腰三角形．

24．解：（1）ED⊥BC，理由如下：

如图1，延长ED交BC于点G，

当β＝90°时，则∠DAC＝∠BAC＝90°，

∴点D在AB上，

由旋转得∠EAD＝∠BAC＝90°，∠E＝∠B＝30°，

∴∠EAD+∠BAC＝180°，∠C＝60°，

∴E、A、C三点在同一直线上，

∴∠E+∠C＝90°，

∴∠EGC＝90°，

∴ED⊥BC．

（2）当AB＝FB，且点F在线段BC上，如图2，

∵∠BAF＝∠BFA75°，

∴β＝∠DAC＝90°﹣75°＝15°；

当点D落在BC上，如图3，则点F与点D重合，

∵AD＝AC，∠C＝60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴DAC＝60°，

∴∠B＝∠DAB＝30°，

∴AD＝BD，

即AF＝BF，

∴β＝∠DAC＝60°，

当AB＝FB，且点F在CB的延长线上，如图4，则∠BAF＝∠F，

∴∠BAF+∠F＝2∠BAF＝∠ABC＝30°，

∴∠BAF＝15°，

∴β＝∠DAC＝90°+15°＝105°；

当AF＝AB时，如图5，点F在BC的延长线上，则∠F＝∠B＝30°

∴∠BAD＝∠F+∠B＝60°，

∴β＝∠DAC＝90°+60°＝150°，

综上所述，β的度数为15°或60°或105°或150°．

（3）设直线DE与直线BC相交于点H，

如图6，∠DHC＝30°，且点H在线段BC上，设AD交BC于点I，

∵∠D＝∠C＝60°，

∴β＝∠DAC＝∠DIC﹣∠C＝∠DIC﹣∠D＝∠DHC＝30°；

如图7，∠H＝30°，且点H在线段CB的延长线上，

∵∠ADH＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°，

∴β＝∠DAC＝360°﹣120°﹣30°﹣60°＝150°，

综上所述，β的度数为30°或150°．

25．解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，

∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，

∴四边形BCEF是矩形，

∴CE＝BF＝1.6m，

∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m），

故答案为：1.6，3，1；

（2）∵BC⊥AC，

∴∠ACB＝90°，

设秋千的长度为xm，

则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，

即（x﹣1）2+32＝x2，

解得：x＝5（m），

即秋千的长度是5m；

（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，

∵DE＝0.6m，

∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m），

由（2）可知，AD＝AB＝5m，

∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m），

在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC4（m），

即需要将秋千AD往前推送4m，

故答案为：4．