人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算综合训练题

  www.ks5u.com3.1.2　空间向量的数乘运算

课时目标　1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．

1．空间向量的数乘运算

(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作________，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向________；当λ<0时，λa与向量a方向________；λa的长度是a的长度的________倍．

(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．

分配律：______________；结合律：______________.

2．共线向量

(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．

(2)对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是________________．

(3)

方向向量：如图l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使____________，其中向量a叫做直线l的方向向量．

3．共面向量

(1)共面向量：平行于________________的向量，叫做共面向量．

(2)如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使__________．空间内一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使______________．

对空间任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使________________．

一、选择题

1．下列命题中正确的是(　　)

A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线

B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面

C．零向量没有确定的方向

D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb

2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　)

A. ＋＝            B. －＝

C.＝                  D.||＝||

3.如图，空间四边形OABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，则=x＋y＋z，则(　　)

A．x＝，y＝，z＝

B．x＝，y＝，z＝

C．x＝，y＝，z＝

D．x＝，y＝，z＝

4．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是(　　)

A. ＝2－－

B. ＝＋＋

C. ＋＋＝0

D. ＋＋＋＝0

5.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是(　　)

A．有相同起点的向量            B．等长向量

C．共面向量                    D．不共面向量

6．下列命题中是真命题的是(　　)

A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反

C.若向量,，满足||>||，且与同向，则>

D.若两个非零向量与满足＋＝0，则∥

二、填空题

7.在空间四边形ABCD中，连结AC、BD,若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为________．

8.在正四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用a，b，c表示)．

9.已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有＝2＝2＋＋λ，则λ＝________.

三、解答题

10．已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体．

(1)化简＋＋；

(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BC C′ B′对角线B C′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．

11．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．

能力提升

12.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1 中，M为AC与BD的交点，若＝a， ＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c                      B.a＋b＋c

C.a－b＋c                          D．－a－b＋c

13.如图所示，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1 对交线的交点，点P是空间任意一点.试探求＋＋＋＋＋＋＋与的关系．

1．向量共线的充要条件及其应用

(1)利用向量共线判定a，b所在的直线平行．

(2)利用向量共线可以证明三点共线．

2．利用共面向量的充要条件可以证明空间四点共面．

3．1.2　空间向量的数乘运算

知识梳理

1．(1)λa　相同　相反　|λ|　(2)λ(a＋b)＝λa＋λb　λ(μa)＝(λμ)a

2．(1)平行　重合　(2)存在实数λ，使a＝λb

(3) ＝＋ta

3．(1)同一个平面

(2)p＝xa＋yb　＝x＋y

＝＋x＋y

作业设计

1．C　[A中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ.]

2．C　[由＝知与共线，又因有一共同的点B，故A、B、C三点共线．]

3．D　[∵＝＋＝＋，①

＝＋＋，②

＝＋＋，③

又＝－，＝－2，

∴①＋②＋③，得3＝＋＋，

即x＝，y＝，z＝.]

4．C　[∵＋＋＝0，∴＝－－.

∴M与A、B、C必共面．只有选项C符合．]

5．C　[

如图所示，因为－＝，而＝，

∴－＝，

即＝＋，

而与不共线，所以，，三向量共面．]

6．D　[A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．

B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．

C错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有>这种写法．

D对．∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，故∥正确．]

7．0

解析　

如图，取BC的中点F，连结DF，则＝，

∴＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0.

8.a＋b＋c

解析　

如图，＝(＋)

＝＋×(＋)

＝a＋b＋c.

9．－2

解析　P与不共线三点A，B，C共面，

且＝x＋y＋z (x，y，z∈R)，

则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件．

10．解　(1)方法一　取AA′的中点为E，

则＝.

又＝，＝，取F为D′C′的一个三等分点

(D′F＝D′C′)，

则＝.

∴＋＋

＝＋＋＝.

方法二　取AB的三等分点P使得＝，

取CC′的中点Q，则＋＋

＝＋＋＝＋＋

＝＋＋＝.

(2)连结BD，则M为BD的中点，

＝＋

＝＋

＝(＋)＋(＋)

＝(－＋)＋(＋)

＝＋＋.

∴α＝，β＝，γ＝.

11．证明　∵＝，＝，

∴＝2，＝2.

又∵＝＋＋

＝＋＋(＋)

＝(＋)＋＋(＋)

＝(＋)，①

又A，B，C及A1，B1，C1分别共线，

∴＝λ＝2λ，＝ω＝2ω.

代入①式，得＝(2λ＋2ω)

＝λ＋ω.

∴，，共面．∴M，N，P，Q四点共面．

12．A　[＝＋＝＋

＝c＋(＋)＝－＋＋c

＝－a＋b＋c.]

13．解　

设E、E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C1D1的中心，

于是有＋＋＋＝(＋)＋(＋)

＝2＋2＝4，

同理可证：＋＋＋＝4，

又因为平行六面体对角线的交点O是EE1的中点，所以＋＝2，

所以＋＋＋＋＋＋＋＝4＋4＝4(＋)＝8.