选修2-13.1空间向量及其运算同步达标检测题

3.1.3　空间向量的数量积运算

基础过关练

题组一　空间向量数量积的概念及运算

1.设a,b,c是任意的非零空间向量,且它们互不共线,下列命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②|a|=;③a2b=b2a;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有(　　)

A.①② B.②③

C.③④ D.②④

2.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC一定是(　　)

A.直角三角形    B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

3.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点,计算:

(1)·;(2)·;(3)·.

题组二　空间向量的夹角

4.在正四面体ABCD中,与的夹角为(　　)

A.30° B.60° C.120° D.150°

5.已知a,b是两异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b且AB=2,CD=1,则直线a,b所成的角为(　　)

A.30° B.60° C.90° D.45°

6.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1与BM所成的角的大小是　　　　. 

7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,E为CC1上的点,且CE=1,求异面直线AB1,BE所成角的余弦值.

题组三　求长度或距离

8.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=AD=1,且这三条棱彼此之间的夹角都是60°,则AC1的长为(　　)

A.6 B. C.3 D.

9.如图,已知平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC=(　　)

A.3 B.7 C.4 D.6

10.如图所示,在一个直二面角α-AB-β的棱上有两点A,B,AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为　　　　. 

题组四　空间向量的垂直

11.若向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R,且λ,μ≠0),则(　　)

A.m∥n 

B.m⊥n

C.m不平行于n,m也不垂直于n

D.以上三种情况都有可能

12.已知a,b是异面直线,且a⊥b,e1,e2分别为取自直线a,b上的单位向量,且m=2e1+3e2,n=ke1-4e2,m⊥n,则实数k的值为(　　)

A.-6 B.6 C.3 D.-3

能力提升练

一、选择题

1.(2020广东潮州高二期末,★★☆)设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是(　　)

A.钝角三角形 

B.锐角三角形 

C.直角三角形 

D.等边三角形

2.(2019北京东城高二上学期期末,★★☆)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:

①(++)2=3;

②·(-)=0;

③与的夹角为60°.

其中正确命题的个数是(　　)

A.1 B.2 

C.3 D.0

3.(★★☆)如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(　　)

A. B. 

C.1 D.

4.(★★☆)已知在正四面体DABC中,所有棱长都为1,△ABC的重心为G,则DG的长为(　　)

A. B. 

C. D.

二、填空题

5.(2020福建福州协作校高二期末联考,★★☆)在棱长为2的正四面体ABCD中,E是BC的中点,则·=　　　　. 

6.(2018辽宁重点高中协作校期末,★★☆)已知四面体PABC中,∠PAB=∠BAC=∠PAC=60°,||=1,||=2,||=3,则|++|=　　　. 

7.(2019广西玉林高二期末,★★★)如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=2,EF=4,CA=CB=3,若·+·=7,则与的夹角的余弦值等于　　　　. 

三、解答题

8.(2019河北正定中学高二月考,★★☆)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,正方体的棱长为1.

(1)求<,>的余弦值;

(2)求证:⊥.

9.(2019宁夏银川一中高二期中,★★☆)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长度都为1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,设=a,=b,=c.计算:

(1)·;(2)||.

答案全解全析

基础过关练

1.D　由于数量积不满足结合律,故①不正确;由数量积的性质知②正确;③中,可化为|a|2b=|b|2a,因为a,b不共线,所以该式一定不成立;④中运算正确.

2.B　因为+-2=(-)+(-)=+,

所以(+-2)·(-)=(+)·(-)=-=0,

所以||=||,因此△ABC是等腰三角形.

无法判断是不是等边三角形或等腰直角三角形.

3.解析　如图所示,设=a,=b,=c,

则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.

(1)·=·(+)

=·

=b·

=|b|2=42=16.

(2)·=(+)·(+)

=·(+)

=·(a+c)

=|c|2-|a|2=22-22=0.

(3)·=(+)·(+)

=·

=·

=(-a+b+c)·

=-|a|2+|b|2=2.

4.C　<,>=180°-<,>=180°-60°=120°.

5.B　由于=++,则·=(++)·==1.

cos<,>==,

得<,>=60°.结合异面直线所成角的范围,得a,b所成的角为60°.

6.答案　90°

解析　不妨设棱长为2,则=-,=+,

cos<,>===0.故<,>=90°.结合异面直线所成角的范围,得AB1与BM所成的角为90°.

7.解析　·=(+)·(+)=·+·+·+·=0+0+0+3=3.

易知||=,||=,

∴cos<,>===.

即异面直线AB1,BE所成角的余弦值为.

8.B　设=a,=b,=c,

则|a|=|b|=|c|=1,

且<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,

因此a·b=b·c=c·a=.

由=a+b+c,得

||2==a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=6.

∴||=.故选B.

9.B　因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥DC,所以||2=·=(++)2

=||2+||2+||2+2·+2·+2·

=62+42+32+0+2×4×3×cos 120°+0=49,

所以||=7.

10.答案　2

解析　∵=++=-+,

∴=(-+)2

=++-2·+2·-2·=16+36+64=116,

∴||=2.

11.B　由题意知,m·a=0,m·b=0,则m·n=m·(λa+μb)=λm·a+μm·b=0.因此m⊥n.

12.B　由m⊥n,得m·n=0,∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.

能力提升练

一、选择题

1.B　 ∵·=0,·=0,·=0,

∴·=(-)·(-)

=·-·-·+

==||2>0,

∴cos B=>0,故B是锐角,

同理,·>0,·>0,可得D,C都是锐角,

故△BCD是锐角三角形.故选B.

2.B　根据向量数量积的定义,知①②正确;与的夹角为120°,③不正确.故选B.

3.D　∵=++,

∴||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-,

故||=,故选D.

4. D　如图,连接AG并延长,交BC于点M,连接DM,∵G是△ABC的重心,∴AG=AM,∴=,=+=+=+(-)=+×=(++),而(++)2=+++2·+2·+2·=1+1+1+2(cos 60°+

cos 60°+cos 60°)=6,∴||=.

二、填空题

5.答案　1

解析　如图,∵E是BC的中点,∴=+=+(+).

∴·=·

=·+·+·

=||||cos 120°+||||cos 60°+2

=-2+1+2=1.

6.答案　5

解析　∵在四面体PABC中,∠PAB=∠BAC=∠PAC=60°,||=1,||=2,||=3,∴·=1×2×

cos 60°=1,·=2×3×cos 60°=3,·=1×3×cos 60°=,

则|++|===5.

7.答案　

解析　由题意可得=(-)2=+-2· =9+4-2·=9,

∴·=2.

由·+·=7,可得

·(+)+·(+)

=+·+·+·

=4+·(-)+2+·

=6+·(-)

=6+·=7.

∴·=2,即4×3×cos<,>=2,

∴cos<,>=.

三、解答题

8.解析　(1)=+=+,

=+=+=-.

∵·=0,·=0,·=0,

∴·=·=.

又||=||=,∴cos<,>=.

(2)证明:=+=-+,

=+=-(+),

∴·=0,∴⊥.

9.解析　 (1)因为空间四边形ABCD的每条边和对角线的长度都为1,

所以|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>= ,

因为点E,F分别是AB,AD的中点,

所以==(-)=(c-a),

∴·=(c-a)·(-a)

=×=.

(2)连接FG,因为=+=(c-a)+b,所以||==

=.