高中数学人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算习题

  www.ks5u.com第三章　空间向量与立体几何

§3.1　空间向量及其运算

3.1.1　空间向量及其加减运算

课时目标

1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．

2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．

2．几类特殊向量

(1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________．

(2)单位向量：________的向量称为单位向量．

(3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．

(4)相反向量：与向量a长度______而方向________的向量，称为a的相反向量，记为________．

3．空间向量的加减法与运算律

一、选择题

1．下列命题中，假命题是(　　)

A. 向量与的长度相等

B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C．只有零向量的模等于0

D．共线的单位向量都相等

2.如图所示，平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则下列等式成立的是(　　)

A. ＋＝             B. ＋＝

C. －＝             D. －＝

3.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2＋＋=0，则等于(　　)

A.          B.          C.         D.2

4.已知向量，，满足||＝||＋||，则(　　)

A. ＝＋         B. ＝－－

C. 与同向         D. 与与同向

5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式-+化简后的结果是(　　)

A.           B.         C.          D.

6．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则(　　)

A.＋＋＝0                B. －－＝0

C.＋－＝0                D.－＋＝0

二、填空题

7.在平行六面体ABCD－A’B’C’D’中，与向量的模相等的向量有________个．

8.若G为△ABC内一点，且满足＋＋＝0，则G为△ABC的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)

9．判断下列各命题的真假：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．

其中假命题的个数为________．

三、解答题

10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．

①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．

11.如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点，请化简：＋＋，(2)＋＋，并标出化简结果的向量．

能力提升

12.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于(　　)

A.a＋b                     B.a＋b

C.a＋b                     D.a＋b

13．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．

1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．

2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．

3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．

4．a－b表示的是由b的终点指向a的终点的一条有向线段．

第三章　空间向量与立体几何

§3.1　空间向量及其运算

3．1.1　空间向量及其加减运算

知识梳理

1．大小　方向　(2)大小　模　(3)①有向线段

②

2．(1)长度为0　0　(2)模为1　(3)相同　相等

(4)相等　相反　－a

3．a＋b　a－b　(1)b＋a　(2)a＋(b＋c)

作业设计

1．D　[共线的单位向量是相等向量或相反向量．]

2．D　[－＝＝.]

3．C　[∵D为BC边中点，∴＋＝2，

∴＋＝0，∴＝.]

4．D　[由||＝||＋||＝||＋||，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向．]

5．A

　[如图所示，

∵＝，1－

＝－＝，

＋＝1，

∴－＋＝.]

6．A　[观察平行六面体ABCD—A1B1C1D1可知，向量，，平移后可以首尾相连，于是＋＋＝0.]

7．7

解析　||＝||＝||＝||＝||

＝||＝||＝||.

8．重心

解析　

如图，取BC的中点O，AC的中点D，连结OG、DG.由题意知＝－－＝＋＝2，同理＝2，故G为△ABC的重心．

9．3

解析　①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．

10．解　①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．

11．解　(1) ＋＋＝＋＝.

(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点．

∴＝，＝.

∴＋＋

＝＋＋＝.

故所求向量，，如图所示．

12．D　[＝＋＝a＋

＝a＋(b－a)＝a＋b.]

13．证明　

如图所示，平行六面体ABCD—A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，

则＝

＝(＋＋)．

设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点．

则＝＋＝＋

＝＋(＋＋)

＝＋(－＋＋)

＝(＋＋)．

同理可证：＝(＋＋)

＝(＋＋)．

由此可知O，P，M，N四点重合．

故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．