高中数学人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算当堂检测题

  www.ks5u.com3.1.3　空间向量的数量积运算

课时目标　1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题．

1．空间向量的夹角

,想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？

2．空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

(2)数量积的运算律

(3)数量积的性质

一、选择题

1．设a、b、c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：

①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；

②|a|－|b|<|a－b|；

③(b·a)·c－(c·a)·b不与c垂直；

④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.

其中正确的有(　　)

A．①②      B．②③      C．③④      D．②④

2．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于(　　)

A.      B.      C.      D．4

4.在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，则·等于(　　)

A．0       B.       C．－       D．－

5.

如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　)

A．6                     B．6

C．12                       D．144

6．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb (λ，μ∈R且λ、μ≠0)，则(　　)

A．m∥n

B．m⊥n

C．m不平行于n，m也不垂直于n

D．以上三种情况都有可能

二、填空题

7．已知a，b是空间两向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝，则a与b的夹角为________．

8．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.

9．在△ABC中，有下列命题：

①－＝；

②＋＋＝0；

③(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；

④若·>0，则△ABC为锐角三角形．

其中正确的是________．(填写正确的序号)

三、解答题

10.

如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.

11．在正四面体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.

能力提升

12.平面式O,A.B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于(　　)

A.

B.

C.

D.

13.

如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．

1．空间向量数量积直接根据定义计算．

2．利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题：

(1)利用a⊥b⇔a·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，cos θ＝，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．

3．1.3　空间向量的数量积运算

知识梳理

1．〈a，b〉　[0，π]

2．(2)λ(a·b)　b·a　a·b＋a·c

(3)①a·b＝0　②|a|·|b|　－|a|·|b|

③

作业设计

1．D　[①错；②正确，可以利用三角形法则作出a－b，三角形的两边之差小于第三边；③错，当b·a＝c·b＝0时，(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．]

2．A　[a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立．]

3．C　[|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2

＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝.]

4．D　[·＝(＋)·

＝·＋·－·－||2

＝cos 60°＋cos 60°－cos 60°－＝－.]

5．C　[∵＝＋＋，

∴||2＝(＋＋)2

＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝108＋2×6×6×＝144，∴||＝12.]

6．B　[由题意m⊥a，m⊥b，则有m·a＝0，m·b＝0，

m·n＝m(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，

∴m⊥n.]

7．60°

解析　由|a－b|＝，得(a－b)2＝7，

即|a|2－2a·b＋|b|2＝7，∴2a·b＝6，

∴|a||b|cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝，〈a，b〉＝60°.即a与b的夹角为60°.

8.

解析　|a＋b|＝

＝＝.

9．②③

解析　①错，－＝；②正确；③正确，||＝||；④错，△ABC不一定是锐角三角形．

10．证明　∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，

∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC＝∠AOB.

∵·＝·(－)

＝·－·

＝||||cos∠AOC－||||·cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC.

11．解　

如图所示，||＝||＝||＝a，把题中所用到的量都用向量、、表示，于是＝＋＋

＝＋(－)＋(－)＝－＋＋.

又·＝·＝·

＝||2cos 60°＝||2＝a2，

∴·＝·

＝2－·－·＋·＋2＋2＝a2－a2＋a2＋a2＝a2.

故||＝＝a，即|MN|＝a.

12.

C　[如图所示，

S△OAB＝|a||b|·sin〈a，b〉

＝|a||b|

＝|a||b|

＝|a||b|

＝.]

13.

解　由AC⊥α，可知AC⊥AB，

过点D作DD1⊥α，D1为垂足，

连结BD1，则∠DBD1为BD与α所成的角，即∠DBD1＝30°，

∴∠BDD1＝60°，

∵AC⊥α，DD1⊥α，∴AC∥DD1，

∴〈，〉＝60°，∴〈，〉＝120°.

又＝＋＋，

∴||2＝(＋＋)2

＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·∵BD⊥AB，AC⊥AB，

∴·＝0，·＝0.

故||2＝||2＋||2＋||2＋2·

＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625，

∴||＝25.