2020-2021学年3.1空间向量及其运算课时练习

  www.ks5u.com3.1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示

课时目标　1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．

1．空间向量基本定理

(1)设i、j、k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O，那么，对于空间任一向量p，存在一个______________，使得____________，我们称______，______，______为向量p在i、j、k上的分向量．

(2)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c________，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得________________．

(3)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是___________．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个________，a，b，c都叫做__________．空间中任何三个________的向量都可构成空间的一个基底．

2．空间向量的坐标表示

若e1、e2、e3是有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为____________________，以e1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么，对于空间任意一个向量p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作____________．

一、选择题

1．在以下3个命题中，真命题的个数是(　　)

①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；

②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；

③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

2.已知O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a、b不能构成空间基底的是(　　)

A.                   B．              C.             D.或

3．以下四个命题中，正确的是(　　)

A.若＝＋，则P、A、B三点共线

B．设向量{a，b，c}是空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底

C．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|

D. △ABC是直角三角形的充要条件·＝0

4.设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3G,G1若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)

A．(，，)                   B．(，，)

C．(，，)                   D．(，，)

5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)

A．(12,14,10)                  B．(10,12,14)

C．(14,12,10)                  D．(4,3,2)

6.已知空间四边形OABC中＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则等于(　　)

A.a－b＋c                 B．－a＋b＋c

C.a＋b－c                 D.a＋b－c

二、填空题

7．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是____________．

8.已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则＝____________.

9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝______.

三、解答题

10.四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E、F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示、、、.

11.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD,求、的坐标．

能力提升

12．甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F1，F2，F3，若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1＝i＋2j＋3k，F2＝－2i＋3j－k，F3＝3i－4j＋5k，则这三名工人的合力F＝xi＋yj＋zk，求x、y、z.

13.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.

1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．

2. ＝x＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面．

3．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：

(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．

(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.

3．1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示

知识梳理

1．(1)有序实数组{x，y，z}　p＝xi＋yj＋zk　xi　yj　zk　(2)不共面　p＝xa＋yb＋zc　(3){p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}　基底　基向量　不共面

2．单位正交基底　p＝(x，y，z)

作业设计

1．C　[命题①，②是真命题，命题③是假命题．]

2．C　[∵＝(a－b)，与a、b共面，

∴a，b，不能构成空间基底．]

3．B　[A中若＝＋，则P、A、B三点共线，故A错；

B中，假设存在实数k1，k2，使c＋a＝k1(a＋b)＋k2(b＋c)＝k1a＋(k1＋k2)b＋k2c，

则有方程组无解，

即向量a＋b，b＋c，c＋a不共面，故B正确．

C中，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C错．

D中，由·＝0⇒△ABC是直角三角形，但△ABC是直角三角形，可能角B等于90°，则有·＝0.故D错．]

4．A　[因为＝＝(＋)

＝＋×[(＋)]

＝＋[(－)＋(－)]

＝＋＋，

而＝x＋y＋z，

所以x＝，y＝，z＝.]

5．A　[设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，

则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i

＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．]

6．B　[＝－＝(＋)－

＝－a＋b＋c.]

7．(3,2，－1)，(－2,4,2)

8．3a＋3b－5c

解析　∵＝＋＋，

又＝＋＋，

∴两式相加得

2＝(＋)＋＋＋(＋)．

∵E为AC中点，故＋＝0，同理＋＝0，

∴2＝＋＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)

＝6a＋6b－10c，∴＝3a＋3b－5c.

9.

解析　＝＝(＋＋)．

故x＝y＝z＝，∴x＋y＋z＝.

10．解　＝＝(＋)

＝(c－b－a)＝－a－b＋c.

＝＋＝－a＋

＝－a＋(＋)

＝－a－b＋c.

＝＋

＝＋＋(＋)

＝－a＋c＋(－c＋b)

＝－a＋b＋c.

＝＝＝a.

11．解　

∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，

∴可设＝e1，＝e2，＝e3.

以e1、e2、e3为坐标向量建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．

∵＝＋＋

＝＋＋

＝＋＋(＋＋)

＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)

＝－e1＋e3，

∴＝，＝＝e2＝(0,1,0)．

12．解　由题意，得F＝F1＋F2＋F3＝(i＋2j＋3k)＋(－2i＋3j－k)＋(3i－4j＋5k)＝2i＋j＋7k.

又因为F＝xi＋yj＋zk，所以x＝2，y＝1，z＝7.

13．证明　设＝a，＝c，＝b，

则＝＋

＝(＋)

＝(＋)

＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，

＝＋＝＋＝a＋b.

∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)

＝(b2－a2－a·b＋a·b＋c·a＋c·b)

＝(|b|2－|a|2)＝0.

∴⊥，即EF⊥AB1.

同理，EF⊥B1C.

又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC.