数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算第4课时教学设计及反思

教学环节

教学活动

设计意图

一．温故知新

回顾平面向量的正交分解和平面向量的基本定理

由此为基础，推导空间向量的正交分解和基本定理

二．新课讲授

1．空间向量的正交分解

设，，是空间的三个两两垂直的向量，且有公共起点O。对于空间任意一个向量，设Q为点P在，所确定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在，所确定的平面上，存在实数z，使得

而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对，使得

从而

由此可知，对空间任一向量，存在一个有序实数组{}，使得，称，，为向量在，，上的分向量。

2．空间向量的基本定理

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使

由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。

空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底

如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使记

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使

以平面向量的基本定理为基础，层层递进，得到空间向量的正交分解形式。

注意介绍单位正交基、正交基、基的特殊与一般的关系，以帮助学生理解概念。

三．典例讲练

例1． 如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量

解：

 ∴   

向量的分解过程中注意向量的运算的正确使用。

四．练习巩固

1、如图，在正方体中，，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和

解：

课本P102 练习1、2、3

五．拓展与提高

1．设A、B、C、D是空间任意四个点，令u＝，v＝，w＝，则u、v、w三个向量    （    ）

 A．互不相等 B．至多有两个相等 C．至少有两个相等D．有且只有两个相等

2．若a、b、c是空间的一个基底，下列各组

①la、mb、nc(lmn≠0)；

②a+2b、2b+3c、3a－9c；

③a+2b、b+2c、c+2a；

④a+3b、3b+2c、－2a+4c

中，仍能构成空间基底的是   （    ）

A．①②  B．②③  C．①③  D．②④

3．已知分别是空间四边形的边的中点，

（1）用向量法证明四点共面；   

（2）用向量法证明：//平面；

（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有

充分认识基底的特征，即线性无关的三个向量就可以构成空间的一个基底。

六．小结

1．正交分解的推导和空间向量基本定理

2．如何将向量用坐标表示

3．任意空间向量在某组基底下的分解

七．作业

课本P106 习题3.1第6题