高中数学人教版新课标A选修2-13.2立体几何中的向量方法同步练习题

  www.ks5u.com第三章　空间向量与立体几何(A)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．以下命题中，不正确的个数为(　　)

①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③若a·b＝0，b·c＝0，则a＝c；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底； ⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.

A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5

2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

A．a＋b－c                   B．a－b＋c

C．－a＋b＋c                 D．－a＋b－c

3．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则(　　)

A．x＝6，y＝15                 B．x＝3，y＝

C．x＝3，y＝15                 D．x＝6，y＝

4．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为(　　)

A．(1,1,1)

B．(－1，－1，－1)

C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)

D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)

5．已知A(－1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，则sin〈，〉等于(　　)

A．－       B.      C.      D．－

6．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为(　　)

A．60°       B．90°      C．105°       D．75°

7．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是(　　)

A．cos θ＝              B．cos θ＝

C．sin θ＝              D．sin θ＝

8．若三点A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　)

A．不等边的锐角三角形               B．直角三角形

C．钝角三角形                       D．等边三角形

9．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则(　　)

A．α∥β                B．α⊥β

C．α，β相交但不垂直    D．以上均不正确

10．若两点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当||取最小值时，x的值等于(　　)

A．19           B．－            C.            D.

11.

如图所示，在四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为(　　)

A.                 B.

C.                   D.

12.

如图所示，在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为(　　)

A.                        B.

C.                        D．2

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝________.

14．如图所示，

已知正四面体ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．

15．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．

16.

如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为______．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1.求证：AB1＝CA1.

18．(12分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．

求证：四边形ABCD是一个梯形．

19.(12分)

如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线？

20．(12分)

如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.

求证：C1C⊥BD.

21.(12分)

如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．

22．(12分)

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.

(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；

(2)证明AF⊥平面A1ED；

(3)求二面角A1—ED—F的正弦值．

第三章　空间向量与立体几何(A)

1．C　[只有命题④正确．]

2.

D　[如图，＝－＝－－＝－－＝b－a－c.]

3．D　[∵a∥b，∴存在实数λ，

使，∴.]

4．C　[设a＝(x，y，z)，∵＝(－2，－1,3)，

＝(1，－3,2)，

又|a|＝，a⊥，a⊥，

∴∴或

∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．]

5．C　[∵＝(1,0,0)，＝(－2，－2,1)，

∴cos〈，〉＝＝－，

∴sin〈，〉＝.]

6．B　[

建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，B1，C1(0，，0)，

B.

∴＝，＝，

∴·＝－－1＝0，

即AB1与C1B所成角的大小为90°.]

7．D　[若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cos β＝，∴sin θ＝|cos β|＝.]

8．A　[＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)，·>0，得∠A为锐角；·>0，得∠C为锐角；·>0，得∠B为锐角，所以△ABC是锐角三角形且||＝，||＝，||＝.]

9．A　[∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.]

10．C　[＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，

则||＝

＝＝.

故当x＝时，||取最小值．]

11．C　[如图所示，

作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，

可以求得BD＝，

ED＝.∵＝＋＋，

∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.

∴·＝－，∴cos〈，〉＝－，

即二面角B—AP—C的余弦值为.]

12．B　[

建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2)．

＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)，设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，

则　即

令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．

故点D到平面ACE的距离

d＝＝＝.]

13.

解析　∵a－2b＝(8，－5,13)，

∴|a－2b|＝＝.

14.

解析　因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4，

则·＝(＋)·(＋)

＝0＋·＋·＋0

＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4，

BF＝DE＝＝，

所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为：

cos θ＝＝.

15.或

解析　设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)，

则cos〈n1，n2〉＝＝－，

∴〈n1，n2〉＝.因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为或.

16.

解析　因为＝＋＋，

所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.

所以||＝，

即AD的长为.

17．证明　以A为原点，AC为x轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系．

设B(a，b,0)，C(c,0,0)，A1(0,0，d)，

则B1(a，b，d)，C1(c,0，d)，＝(a，b，d)，

＝(c－a，－b，d)，＝(－c,0，d)，

由已知·＝ca－a2－b2＋d2＝0，

·＝－c(c－a)＋d2＝0，可得c2＝a2＋b2.

再由两点间距离公式可得：

|AB1|2＝a2＋b2＋d2，|CA1|2＝c2＋d2＝a2＋b2＋d2，

∴AB1＝CA1.

18．证明　因为＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为＝＝，

所以和共线，即AB∥CD.

又因为＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，

＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，

因为≠≠，所以与不平行，所以四边形ABCD为梯形．

19．解　∵M、N分别是AC、BF的中点，四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，

∴＝＋＋＝＋＋.

又∵＝＋＋＋

＝－＋－－，

∴＋＋

＝－＋－－，

∴＝＋2＋

＝2(＋＋)＝2.

∴∥，即与共线．

20．证明　设＝a，＝b，＝c，

依题意，|a|＝|b|，

又设，，中两两所成夹角为θ，

于是＝－＝a－b，

·＝c·(a－b)＝c·a－c·b

＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0，

所以C1C⊥BD.

21．解　因为＝－，

所以·＝·－·

＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉

＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°

＝－16＋24.

所以cos〈，〉＝

＝＝.

即OA与BC所成角的余弦值为.

22．(1)解　

如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，

A1(0,0,4)，E.

易得＝，

＝(0,2，－4)，

于是cos〈，〉＝＝－.

所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.

(2)证明　易知＝(1,2,1)，

＝，＝，

于是·＝0，·＝0.

因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.

又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.

(3)设平面EFD的法向量u＝(x，y，z)，

则即

不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)，

由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量，

于是cos〈u，〉＝＝，

从而sin〈u，〉＝.

所以二面角A1—ED—F的正弦值为.