选修2-13.1空间向量及其运算教案

空间向量的正交分解及其坐标表示

●三维目标

 1.知识与技能

理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量．

2．过程与方法

通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。

3．情感、态度与价值观

通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质．

●重点难点

重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握用基底表示已知空间向量．

难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

●教学建议

本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理——空间向量分解定理，这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应的关系．为了突出重点、突破难点，在教学中宜采取了以下策略：

为了充分调动学生学习的积极性，采用“学、研、导、练”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成方法．另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣．

本节课通过类比平面向量基本定理及坐标表示，推广到空间向量，让学生体会类比、推广思想，加深对向量的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．

●教学流程

创设情景，提出问题能否用已知基向量表示平行六面体中向量？⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

【问题导思】　

图3－1－23

1．如图3－1－23所示平行六面体中，若＝a，＝b，＝c，能否用a，b，c表示向量？

【提示】　＝a＋b＋c.

2．在图中任找一向量p，是否都能用a，b，c来表示？

【提示】　是．

　如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.

其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.

【问题导思】　

图3－1－24

1．如图3－1－24正方体的棱长为3，向量如何用向量e1、e2、e3(e1、e2、e3为棱AB、AD、AD1上的单位向量)表示？

【提示】　＝＋＋＝3e1＋3e2＋3e3.

2．基底{e1，e2，e3}与图3－1－23中的基底{a，b，c}有何不同？

【提示】　e1、e2、e3为单位向量且相互垂直．

1．有公共起点O的三个两两垂直的单位向量e1、e2、e3称为单位正交基底．

2．以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.

3．空间向量的坐标表示

对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x e1＋y e2＋z e3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z).

　设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)

A．1个　　  B．2个　　  C．3个　　  D．4个

【思路探究】　(1)能作为空间一基底的向量组应满足什么条件？(2)能否构造图形，利用平行四面体中棱与面上的对角线所对应向量的关系来直观判断？

【自主解答】　如图所示，令a＝，b＝，c＝，

则x＝，y＝，z＝，

a＋b＋c＝AC1.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C.

【答案】　C

1．判断一组向量能否作为空间向量的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．

2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．

已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)

A．2a　　　　　　 B．2b

C．2a＋3b   D．2a＋5c

【解析】　∵2a＝p＋q,2b＝p－q,2a＋3b＝p－q，∴2a与p、q,2b与p，q,2a＋3b与p、q都共面不能构成空间一基底，只有D可以．

【答案】　D

　四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：，，，.

【思路探究】　(1)所求向量分别在哪个三角形中？(2)怎样用向量的线性运算表达所求向量？

【自主解答】　连结BO，则＝＝(＋)＝(＋＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.

＝＋＝－a＋＝－a＋(＋)＝－a－b＋c.

＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.

＝＝＝a.

1．本题考查空间向量基本定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底{a，b，c}，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止．

2．空间中任意一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底确定，这一向量用基底表达的形式是唯一的．

图3－1－25

　如图3－1－25所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，设＝a，＝b，AA1＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示如下向量：

(1)；(2).

【解】　连结AC，AD1

(1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．

(2)＝(＋)＝(＋2＋)＝a＋b＋c.

图3－1－26

　如图3－1－26，在直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．

【思路探究】　根据图形，建立怎样的坐标系？如何表示向量，，的坐标？

【自主解答】　∵CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，且CA＝CB＝1，CC1＝2，∴以{，，}为单位正交基底建立空间坐标系Cxyz，如图所示

∴＝－＝＋－＝－＋，

∴的坐标为(1，－1,1)，

而＝－＝－＋，

∴的坐标为(1，－1,2)．

又∵A1B＝－，∴A1B的坐标为(－1,1，－2)．

1．建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样

的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的把直角边放在坐标轴上．

2．求空间向量的坐标一般步骤：

(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；

(2)运算：综合利用向量的加减及数乘运算；

(3)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标．

图3－1－27

　在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图3－1－27所示的空间直角坐标系中，求、的坐标．

【解】　∵＝－＝－(＋)

＝－[＋(＋)]＝－－－.

又||＝||＝4，||＝4，||＝2，

∴＝(－2，－1，－4)．

∵＝－＝－(＋)

＝－－.

又||＝2，||＝4，||＝4，∴＝(－4,2，－4).

用错线段的关系式致误

　(2013·烟台高二检测)已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设＝a，＝b，＝c，则用基底{a，b，c}表示为＝________.

【错解】　∵N为BC的中点，∴＝(＋)．又∵＝2，∴＝，∴＝－＝(＋)－＝b＋c－a.

【答案】　b＋c－a

【错因分析】　由OM＝2MA，误以为M为线段OA的中点，得＝，导致本题错误．

【防范措施】　用基底表示已知向量时，不但要熟练向量的线性运算法则，还要充分借助几何直观，尤其注意线段长度的关系、向量的方向，以防失误．

【正解】　∵N为BC的中点，∴＝(＋)．又OM＝2MA，则＝，∴＝－＝(＋)－＝b＋c－a.

【答案】　b＋c－a

1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．

2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示，表示时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算.

1．下列结论错误的是(　　)

A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面

B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底则这两个向量共面

C．若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底

D．若，，不能构成空间的一个基底，则O、A、B、C四点共面

【解析】　由基底的概念可知A、B、D正确，对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a、b、c共面，不能构成基底，故错误．

【答案】　C

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且＝＋m－n，则(　　)

A．m＝，n＝－

B．m＝－，n＝－

C．m＝－，n＝

D．m＝，n＝

【解析】　根据空间向量基本定理，有＝＋＋

∴m＝，n＝－.

【答案】　A

3．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a，b的坐标分别是________．

【答案】　(3,2，－1)，(－2,4,2)

图3－1－28

4．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图3－1－28的空间直角坐标系，试写出E、F点的坐标．

【解】　E(2,2,1)，F(0,1,0).

一、选择题

1．(2013·莆田高二检测)设命题p：a，b，c是三个非零向量；命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】　由空间基底的概念知，pq，但q⇒p，故p是q的必要不充分条件．

【答案】　B

2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(　　)

A．向量的坐标与点B的坐标相同

B．向量的坐标与点A的坐标相同

C．向量与向量的坐标相同

D．向量与向量－的坐标相同

【解析】　因为A点不一定为坐标原点，所以A不对，B、C都不对，由于＝－，故D正确．

【答案】　D

3．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为(　　)

A．(－1,0,1)，(－1,2,0)

B．(－1,0,0)，(－1,2,0)

C．(－1,0,0)，(－1,0,0)

D．(－1,2,0)，(－1,2,0)

【解析】　点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B.

【答案】　B

图3－1－29

4．在空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，若＝a，＝b，OC＝c，则等于(　　)

A.a＋b＋c

B.a＋b＋c

C．a＋b＋c

D．3a＋3b＋3c

【解析】　∵G是△ABC的重心，∴＝＝·(＋)＝(＋－2)，

∴＝＋＝(＋＋)＝a＋b＋c.

【答案】　A

5．正方体ABCD—A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{1，2，3}为基底，＝x1＋y＋z3，则x，y，z的值是(　　)

A．x＝y＝z＝1　　　　　　 B．x＝y＝z＝

C．x＝y＝z＝   D．x＝y＝z＝2

【解析】　＝＋＋

＝(＋)＋(＋)＋(＋)

＝＋＋＝＋＋，

由空间向量的基本定理，x＝y＝z＝1.

【答案】　A

二、填空题

6．(2013·东营高二检测)设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a与b的位置关系是________．

【解析】　∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.

∴a⊥b.

【答案】　a⊥b

图3－1－30

7．(2013·北京高二检测)如图3－1－30, 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________.

【解析】　＝－

＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c.

【答案】　－a＋b－c

8．(2013·金华高二检测)已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．

【解析】　由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，

∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．

【答案】　(8,3,12)

三、解答题

9．已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，能否以，，作为空间的一个基底？

【解】　假设，，共面，

根据向量共面的充要条件有：＝x＋y，

即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)

＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.

∴此方程组无解．

∴，，不共面．

∴{，，}可作为空间的一个基底．

图3－1－31

10．如图3－1－31，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝－，＝，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.

【解】　连结AN，则＝＋.

由已知可得ABCD是平行四边形，从而可得

＝＋＝a＋b，

＝－＝－(a＋b)，

又＝－＝b－c，

故＝＋＝－＝－＝b－(b－c)，

＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c)＝(－a＋b＋c)．

11．已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，求向量、的坐标．

【解】　如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设＝e1，＝e2，＝e3.

以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.

因为＝＋＋＝＋＋

＝＋＋(＋＋)

＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)＝－e1＋e3，

∴＝(－，0，)，＝(0,1,0)．

(教师用书独具)

(2013·广州高二检测)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别在线段A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)．

(1)试求向量的坐标；

(2)求证：EF∥BD1.

【自主解答】　(1)∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，根据题意知{，，}为单位正交基底，设＝i，＝j，＝k，∴向量可用单位正交基底{i，j，k}表示，∵＝＋＋，与共线，与共线，∴设＝λ，＝μ，则＝λ＋＋μ＝λ(＋)＋＋μ(－)

＝(λ＋μ)＋(1－μ)＋λ

＝(λ＋μ)i＋(1－μ)j＋λk，

∵EF⊥A1D，EF⊥AC，即⊥，⊥，

∴·＝0，·＝0，

又＝－i－k，＝－i＋j，

∴

整理得

即解得

∴＝i＋j－k，

∴的坐标是(，，－)．

(2)∵＝＋＝－i－j＋k，

∴＝－，即与共线，

又EF与BD1无公共点，∴EF∥BD1.

　如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：

(1)EG∥AC；

(2)平面EFG∥平面AB′C.

【证明】　取基底{，，}，

(1)因为＝＋

＝＋，＝＋＝2，

所以EG∥AC.

(2)因为＝＋＝＋，

＝＋＝2，

所以FG∥，由(1)知EG∥AC，

所以平面EFG∥平面AB′C.