高中数学人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算精练

  www.ks5u.com3.1.5　空间向量运算的坐标表示

课时目标　1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．

1．空间向量的直角坐标运算律

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

(1)a＋b＝______________；

(2)a－b＝________________；

(3)λa＝____________(λ∈R)；

(4)a·b＝________________；

(5)a∥b⇔________________；

(6)a⊥b⇔________________.

2．几个重要公式

(1)若A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，则＝________________________.即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．

(2)模长公式：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝______________，|b|＝＝________________.

(3)夹角公式：cos〈a，b〉＝________________

＝________________________ (a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))．

(4)两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)．则＝=_________.

一、选择题

1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1,2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则(　　)

A.＝(－1,2,1)               B.＝(1,3,4)

C..＝(2,1,3)                D.＝(－2，－1，－3)

2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　)

A．x＝，y＝1                  B．x＝，y＝－4

C．x＝2，y＝－                D．x＝1，y＝－1

3．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的(　　)

A．充分不必要条件                  B．必要不充分条件

C．充要条件                        D．既不充分又不必要条件

4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)

A．1              B.               C.                D.

5．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为(　　)

A.             B.               C．4             D．8

6．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)则|b－a|的最小值是(　　)

A.       B.      C.      D.

二、填空题

7．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝______.

8．若(a＋3b)⊥(7a－5b)，且(a－4b)⊥(7a－5b)，则a与b的夹角的余弦值为________．

9.已知A（1，－1,2），B(5,-6,2)C(1,3-1)则在上的投影为______．

三、解答题

10．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．

(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；

(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.

11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2, 并取A1B1、A1A的中点分别为P、Q.

（1）求向量的长；

（2）cos〈，〉，cos〈，〉，并比较〈，〉与〈，〉的大小；

(3)求证：AB1⊥C1P.

能力提升

12．在长方体OABC—O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：

(1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值；

(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．

13．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1?

1．空间向量在几何中的应用

有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直，利用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简单运算即可．在此处，要认真体会向量的工具性作用．

2．关于空间直角坐标系的建立

建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较方便的写出点的坐标．

3．1.5　空间向量运算的坐标表示

知识梳理

1．(1)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)　(2)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)　(3)(λa1，λa2，λa3)　(4)a1b1＋a2b2＋a3b3　(5)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)　(6)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

2．(1)(x2－x1，y2－y1，z2－z1)　终点　起点

(2)　

(3)　

(4)

作业设计

1．C

2．B　[∵a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，∴3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，∴x＝，y＝－4.]

3．A　[设＝＝＝k，易知a∥b，即条件具有充分性．又若b＝0时，b＝(0,0,0)，

虽有a∥b，但条件＝＝显然不成立，所以条件不具有必要性，故选A.]

4．D　[∵ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，

∴3(k－1)＋2k－4＝0.∴k＝.]

5．A　[设向量a、b的夹角为θ，

于是cos θ＝＝，由此可得sin θ＝.

所以以a、b为邻边的平行四边形的面积为

S＝2××3×3×＝.]

6．C　[∵|b－a|＝＝

＝≥ ＝，

∴|b－a|的最小值是.]

7．11

解析　∵点P在平面ABC内，∴存在实数k1，k2，

使＝k1＋k2，

即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，

∴　解得

∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.

8．1

解析　由题意知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－5a·b＋21a·b－15|b|2＝7|a|2＋16a·b－15b2＝0，①

且(a－4b)·(7a－5b)＝7|a|2－33a·b＋20|b|2＝0，②

①－②得49a·b＝35|b|2.

∴|a|2＝|b|2，∴＝.

∴cos〈a，b〉＝＝＝·＝1.

9．－4

解析　∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．

＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，

∴cos〈，〉＝

＝－，

在上的投影为||cos〈，〉

＝×＝－4.

10．解　ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，

a－3b＝(7，－4，－16)．

(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，

则＝＝，

解得k＝－.

(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.

11．解　

以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，

C1(0,0,2)，

P，Q(1,0,1)，

B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．

∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，

＝(1，－1,2)，＝(－1,1,2)，

＝.

(1)| |＝＝＝.

(2)∵·＝0－1＋2＝1，||＝，

||＝＝，

∴cos〈，〉＝＝.

又·＝0－1＋4＝3，

||＝＝，||＝，

∴cos〈，〉＝＝.

又0<<<1，

∴〈，〉，〈，〉∈.

又y＝cos x在内单调递减，

∴〈，〉>〈，〉．

(3)证明　∵·＝(－1,1,2)·＝0，

∴⊥.

12．解　

建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)由题意得A(2,0,0)，O1(0，0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)．

∴＝(－2,0,2)，

＝(－1,0，－2)，

∴cos〈，〉＝＝－，

∴AO1与B1E所成角的余弦值为.

(2)由题意得⊥，∥，

∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，

∴＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)，

∴　解得

∴D，

∴O1D＝||＝ ＝.

即点O1到点D的距离为.

13．解　

如图所示，分别以，，为单位正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，

E，F，设M(1,1，m)，∴＝，

＝，＝(1,1，m－1)．

若D1M⊥平面EFB1，

则D1M⊥EF且D1M⊥B1E.

即·＝0，·＝0，

∴，∴m＝，

即存在点M且为B1B的中点，使D1M⊥平面EFB1.