2020-2021学年3.1空间向量及其运算同步训练题

第三章　空间向量与立体几何

3.1　空间向量及其运算

3.1.1　空间向量及其加减运算

3.1.2　空间向量的数乘运算

基础过关练

题组一　空间向量的基本概念

1.下列命题:

①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;

②两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;

③两个有公共终点的向量一定是共线向量;

④有向线段就是向量,向量就是有向线段.

其中假命题的个数为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.1

2.给出下列命题:

①将空间中所有的单位向量平移到同一个起点,它们的终点构成一个圆;

②若空间向量a、b满足|a|=|b|,则a=b;

③若空间向量m、n、p满足m=n,n=p,则m=p;

④空间中任意两个单位向量必相等;

其中真命题的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

3.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,与向量的模相等的向量有(　　)

A.7个   B.3个 C.5个  D.6个

4.如图,在以长,宽,高分别为AB=3,AD=2,AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中:

(1)单位向量共有多少个?

(2)试写出模为的所有向量;

(3)试写出与向量相等的所有向量;

(4)试写出向量的相反向量.

题组二　空间向量的加减运算

5.已知空间向量,,,,则下列正确的是(　　)

A.=+       B.=++

C.=+- D.=+

6.已知空间四边形ABCD中,=a,=b,=c,则等于(　　)

A.a+b-c B.c-a-b

C.c+a-b D.c+a+b

7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列式子化简后为零向量的是(　　)

A.++ B.-+

C.++    D.+

8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,设=a,=b,=c,则|a+b+c|=(　　)

A.0 B.3 C.2+ D.2

9.已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列式子中正确的有　　　　.(填序号) 

①-=;②=++;

③=;④+++=.

题组三　空间向量的数乘运算

10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1C1的中点, F是AE的三等分点,且AF=EF,则=(　　)

A.++     B.++

C.++  D.++

11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与向量相等的是(　　)

A.-a+b+c B.a+b+c

C.-a-b+c D.a-b+c

12.如图所示,在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则等于(　　)

A.a-b+c B.-a+b+c

C.a+b-c D.-a+b-c

13.已知G是正方形ABCD的中心,P为正方形ABCD所在平面外一点,则+++=(　　)

A.4    B.3

C.2    D.

14.如图,设O为▱ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若=+x+y,求x,y的值.

题组四　共线向量定理与共面向量定理及应用

15.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　)

A.A,B,D B.A,B,C

C.B,C,D D.A,C,D

16.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是(　　)

A.=3-2-    B.+++=0

C.++=0      D.=-+

17.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任意一点,若由=++λ确定的一点P与A,B,C三点共面,则λ=　　　　. 

18.已知A,B,C三点不共线,点M满足=++.

(1)判断,,三个向量是否共面;

(2)判断点M是否在平面ABC内.

19.(2020安徽芜湖期末)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,求证:E,F,B,D四点共面.

能力提升练

一、选择题

1.(2019河北鹿泉一中高二月考,★★☆)已知O,A,B,C四点,若=++,则(　　)

A.四点O、A、B、C必共面 

B.四点P、A、B、C必共面

C.四点O、P、B、C必共面 

D.五点O、P、A、B、C必共面

2.(2019北京房山高二期末,★★☆)如图,在空间四边形ABCD中,设E,F分别是BC,CD的中点,则+(-)=(　　)

A. B. C. D.

3.(2020广东东莞高二期末,★★☆)如图,已知三棱锥O-ABC,点M,N分别是OA,BC的中点,点G为线段MN上一点,且MG=2GN,若记=a,=b,=c,则=(　　)

A.a+b+c 

B.a+b+c

C.a+b+c 

D.a+b+c

4.(2019河南濮阳高二期末,★★☆)如图,M是三棱锥P-ABC的底面△ABC的重心.若=x+y+z(x,y,z∈R),则x+y+z的值为(　　)

A.    B.1  C.-  D.-

5.(2018陕西西北大学附属中学期末,★★★)在正四棱锥P-ABCD中,O为正方形ABCD的中心,=λ(2≤λ≤4),且平面ABE与直线PD交于点F,=f(λ),则(　　)

A.f(λ)= 

B.f(λ)=

C.f(λ)= 

D.f(λ)=

二、填空题

6.(2020广东珠海期末,★★☆)已知空间四边形ABCD中,=b,=c,=d,若=2,且=xb+yc+zd(x,y,z∈R),则y=　　　　. 

7.(2020江苏常州高二期中,★★☆)设e1,e2是两个不共线的空间向量,若=2e1-ke2,=3e1+3e2,=ke1+e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值为　　　　. 

三、解答题

8.(★★☆)如图,在空间四边形SABC中,AC,BS为其对角线,O为△ABC的重心.

(1)计算:++;

(2)证明:=(++).

9.(★★☆)如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.

(1)证明:A,E,C1,F四点共面;

(2)若=x+y+z,求x+y+z的值.

答案全解全析

基础过关练

1.B　 ①是假命题,当a与b中有一个为零向量时,其方向是任意的;②是真命题;③是假命题,终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;④是假命题,向量可用有向线段来表示,但并不是有向线段.

2.A　①是假命题,将空间中所有的单位向量平移到同一个起点,它们的终点构成一个球面,而不是一个圆;②是假命题,两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同;③是真命题,向量相等具有传递性;④是假命题,空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,所以不一定相等.

3.A　||=||=||=||=||=||=||=||,共有7个.

4.解析　(1)由于长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量为,,,,,,,,共8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共8个.

(2)由于长方体的左右两侧面的对角线长均为,故模为的所有向量有,,,,,,,,共8个.

(3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有,,,共3个.

(4)向量的相反向量有,,,,共4个.

5.B　 A.+=≠;B.正确;C.=++;D.+≠.故选B.

6.B　=++=--+=-a-b+c=c-a-b.

7.A　 A中,++=(+)+=+=0;B中,-+=;C中,++=;D中,+=.

故选A.

8.D　利用向量加法的平行四边形法则并结合正方体的性质求解,|a+b+c|=2||=2.

9.答案　①②③

解析　-=+=,①正确;

++=++=,②正确;

③正确;

+++=++=,④错误.

10.D　由题意得=,=+,=,=+,=,=,

所以==++.

11.A　=+=+=+(-)=-a+b+c.

12.B　连接ON,则=+=-+(+)=-a+(b+c)=-a+b+c.

13.A　+++=+++++++=4+(+)+(+).又四边形ABCD是正方形,G是它的中心,所以+=+=0,故原式=4.

14.解析　=++

=-+--

=-+

=-+(+)

=-+(+)

=-++(-)

=+-,

∴x=,y=-.

15.A　=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b,=-=-a-2b,

∴=-2,∴与共线,

又它们经过同一点B,

∴A,B,D三点共线.

16.C　若++=0,则=--,所以M与A,B,C必共面.

17.答案　

解析　根据P,A,B,C四点共面,知存在实数x,y,z,使得=x+y+z成立,其中x+y+z=1,即++λ=1,所以λ=.

18.解析　(1)由题意得++=3,

所以-=(-)+(-),

所以=+=--.

所以向量,,共面.

(2)由(1)知向量,,共面,且它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线,

所以M,A,B,C共面,即点M在平面ABC内.

19.证明　设=a,=b.

则=+=b+a,

=+=b+a=,

所以∥,

而E,F,B,D四点不共线,

因此DB∥FE,故E,F,B,D四点共面.

能力提升练

一、选择题

1.B　 解法一:∵=++,

∴6=+2+3,

∴(-)+2(-)+3(-)=0,

即+2+3=0,

即=-2-3,

∴P、A、B、C四点必共面.

解法二:因为=++,且++=1,所以四点P、A、B、C必共面.

2.C　 易知-=,

∴原式=+=+=.

3.C　连接ON.=(+),=.∴=-=(+-),

=+=+=+×(+-)=++=a+b+c.

4.C　 如图,连接PM,AM,

∵M是三棱锥P-ABC的底面△ABC的重心,

∴=(+),

∴=+=-++.

又∵=x+y+z(x,y,z∈R),

∴x=-1,y=z=,∴x+y+z=-.

5.A　设=a,=b,=c,μ=f(λ),

则=-+=a-b+c,

=μa-μb+μc.①

由=λ(2≤λ≤4),

得==(a+c),

由F、E、B三点共线得,存在实数x使得

=(1-x)+x=(1-x)b+(a+c),②

由①②,得

消去x,得μ=,

解得μ=f(λ)=.故选A.

二、填空题

6.答案　

解析　如图所示,

=+=-+

=-+(-)=-++=-b+c+d.

∵=xb+yc+zd,∴y=.

7.答案　-1或4

解析　因为A,B,D三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,又=2e1-ke2,=-=(k-3)e1-2e2,所以2e1-ke2=λ(k-3)e1-2λe2,所以

所以k2-3k-4=0,解得k=-1或k=4.

三、解答题

8.解析　(1)因为O为△ABC的重心,所以=-(+)①,=-(+)②,=-(+)③.①+②+③可得++=-(+)-(+)-(+)=0,即++=0.

(2)证明:易知=+④,=+⑤,=+⑥,由(1)知++=0,

所以④+⑤+⑥得3=(+)+(+)+(+)=++,即=(++).

9.解析　(1)证明:因为=++

=+

=(+)+(+)=+,

所以A,E,C1,F四点共面.

(2)连接AF,AE.因为=-=+-(+)=+--

=-++,

所以x=-1,y=1,z=,

所以x+y+z=.