华师大版七年级下册8.1 认识不等式优秀练习

8.1认识不等式课时训练

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若，则下列各式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

2．若实数a，b满足，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知，则下列不等式成立的是（  ）

A． B．

C． D．

4． ，则a一定是（    ）．

A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数

5．若则下列式子错误的是（  ）

A． B． C． D．

6．在数学表达式：，，，，，中，是一元一次不等式的有（    ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．若x+2021>y+2021， 则(     )

A．x+2<y+2 B．x－2<y－2 C．2x<2y D．－2x<－2y

8．甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（    ）

A． B． C． D．与a、b大小无关

9．在数学表达式：-3<0，4x+3y>0，x=3，，，x+2>y+3中，是一元一次不等式的有（    ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．若代数式的值大于0，则a的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．用“”或“”填空：若，则______．

12．当常数____时，式子的最小值是．

13．由得到的条件是：______0（填“”“”或“”）．

14．给出下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中属于不等式的是______．（填序号）

15．若，，且，则值为______．

16．若a＜0，且ab＜0，化简|b－a＋4|－|a－b－7|＝_________．

三、解答题

17．定义：对任意一个各位数字均不为0的自然数，将其数字排列顺序倒过来，这样得到的数称为原数的逆序数．例如：123的逆序数是321，4156的逆序数是6514，根据以上阅读材料，回答下列问题：

（1）已知一个四位数，其数位上的数字顺次为连续的四个自然数，求该四位数与其逆序数之差的绝对值：

（2）一个各位数字均不为0的三位自然数，满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字的和，且这个三位数字与其逆序数的和被8除余1，求满足条件的所有三位数．

18．已知数轴上有A、B两个点对应的数分别是a、b，且满足|a＋3|＋(b-9）2＝0

（1）求a、b的值；

（2）点C是数轴上A、B之间的一个点，使得AC＋OC＝BC，求出点C所对应的数；

（3）在（2）的条件下，点P、点Q为数轴上的两个动点，点P从A点以1个单位长度每秒的速度向右运动，点Q同时从B点以2个单位长度每秒的速度向左运动，点P运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．设它们的运动时间为t秒，当OP＋BQ＝3PQ时，求t的值．

19．说明：

（1）由，得，是如何变形的？依据是什么?

（2）由，得的条件是什么？为什么？

（3）由，得的条件是什么？为什么？

20．我们把形如 (1≤≤9且为整数)的四位正整数叫做“三拖一”数，例如：2221，3331是“三拖一”数．

（1）最小的“三拖一”数为        ；最大的“三拖一”数为        ；

（2）请证明任意“三拖一”数不能被3整除；

（3）一个“三拖一”数与50的和的2倍与另一个小于5000不同的“三拖一”数与75的和的3倍的和正好能被13整除，求这两个“三拖一”数．

参考答案

1．B

【分析】

根据不等式的性质进行判断即可．

【详解】

解：A、在不等式两边同时减2，不等号方向不变，故错误；

B、在不等式两边同时加1，不等号方向不变，故正确；

C、在不等式两边同时乘2，不等号方向不变，故错误；

D、在不等式两边同时除以-3，不等号方向改变，故错误；

故选：B．

【点睛】

本题考查了不等式的性质，解题关键是熟记不等式的性质，灵活运用不等式性质进行判断．

2．C

【分析】

依据不等式的性质依次判断即可．

【详解】

解：∵，

∴，不能推出或者，故A和B选项不符合题意；

，C选项符合题意；

，不能推出，故D选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题关键．

3．A

【分析】

根据，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．

【详解】

解：A、，则，该选项正确；
B、，则＞，该选项错误；
C、，则＞，该选项错误；

D、，则＜，该选项错误；
故选：A．

【点睛】

此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．

4．C

【分析】

结合题意，根据绝对值的性质分析，即可得到答案．

【详解】

∵

∴

∴a≤0，故a是非正数

故选：C．

【点睛】

本题考查了绝对值、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值和不等式的性质，从而完成求解．

5．A

【分析】

根据不等式的性质选出错误的选项．

【详解】

A选项错误，∵，∴；

B选项正确，不等式两边同时乘以2，不等号不变；

C选项正确，不等式两边同时减去2，不等号不变；

D选项正确，不等式两边同时加上2，不等号不变．

故选：A．

【点睛】

本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．

6．A

【分析】

一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式；根据一元一次不等式的定义，对各个表达式逐一分析，即可得出答案．

【详解】

-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；

是整式，不是一元一次不等式；

x=3是方程，不是一元一次不等式；

x2+2xy+y2是整式，不是一元一次不等式；

x≠5是一元一次不等式；

x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；

∴是一元一次不等式的有1个

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，从而完成求解．

7．D

【分析】

根据不等式的性质依次判断即可．

【详解】

解：∵x+2021>y+2021，

两边同时减去2019得x+2>y+2，故A选项计算错误；

两边同时减去2023得x-2>y-2，故B选项计算错误；

两边同时减去2021后再乘以2得2x＞2y，，故C选项计算错误；

两边同时减去2021后再乘以-2得－2x<－2y，故D选项计算正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查不等式的性质．熟记不等式的性质，并能正确运用是解题关键．

8．A

【分析】

已知甲共花了3a+2b元买了5只羊．但他以每只的价格把羊卖给乙发现赔钱了．由此可列出不等式求解，就知道赔钱的原因．

【详解】

解：根据题意得到5×＜3a+2b，

解得a＞b

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量的等量关系．

9．A

【分析】

根据一元一次不等式的定义，对各个式子逐一分析，判断后即可得出答案．

【详解】

解：-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；

4x+3y＞0是二元一次不等式，不是一元一次不等式；

x=3是方程，不是一元一次不等式；

是整式，不是一元一次不等式；

是一元一次不等式；

x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；

∴以上各式中一元一次不等式有1个．

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，并能准确运用定义进行判断．

10．A

【分析】

根据题意先列出不等式，再根据不等式的性质进行求解即可．

【详解】

解：∵5-2a的值大于0，
∴5-2a＞0，
解得：；
故选：A．

【点睛】

本题考查了解不等式，掌握不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变是本题的关键．

11．

【分析】

根据不等式的基本性质即可得．

【详解】

不等式的两边同加上一个数，不改变不等号的方向，且，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题关键．

12．2或-8

【分析】

分类讨论当时和当时，再具体分类，最后去绝对值并利用原式的最小值为5即可求出m．

【详解】

分类讨论（1）当时，

①当时，原式．则；

②当时，原式；

③当时，原式，则．

∵原式的最小值为5，

∴，

∴．

（2）当时，

①当时，原式．则；

②当时，原式；

③当时，原式，则．

∵原式的最小值为5，

∴，

∴．

综上，m为2或-8．

故答案为：2或-8．

【点睛】

本题考查解不等式及去绝对值，利用分类讨论的思想是解答本题的关键．

13．

【分析】

根据不等式的性质，两边同时除以c（c<0）即可得到．

【详解】

根据不等式的性质：由得到的条件是：c<0，

故答案为：<．

【点睛】

此题考查不等式的性质：不等式的性质1：不等式两边加减同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘(或除)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

14．②③④⑥

【分析】

根据不等式的定义判断即可．

【详解】

解：①a（b+c）=ab+ac是等式；
②-2＜0是用不等号连接的式子，故是不等式；
③x≠5是用不等号连接的式子，故是不等式；
④2a＞b+1是用不等号连接的式子，故是不等式；
⑤x2-2xy+y2是代数式；
⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子，故是不等式，
故答案为：②③④⑥．

【点睛】

本题考查的是不等式的定义，即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．

15．1或5

【分析】

由已知可以得到x=2或-2，y=3或-3，然后对x、y的取值进行分类讨论，找出使x+y<0的取值组合，即可求得x-y的值．

【详解】

解：∵|x|=2，|y|=3，∴x=2或-2，y=3或-3，

（1）当x=2时，要使x+y<0 ，必须y=-3，此时x-y=2-(-3)=2+3=5；

（2）当x=-2时，要使x+y<0 ，必须y=-3，此时x-y=-2-(-3)=-2+3=1；

故答案为1或5．

【点睛】

本题考查绝对值、不等式和有理数加减法的综合应用，熟练掌握绝对值、不等式、有理数加减法及分类讨论的思想是解题关键 ．

16．-3

【分析】

由a＜0，且ab＜0，从而得出b＞0，再把|b-a+4|-|a-b-7|去绝对值即可．

【详解】

解：∵a＜0，且ab＜0，
∴b＞0，
|b-a+4|-|a-b-7|=b+（-a）+4-（-a+b+7）=b-a+4+a-b-7=-3，
故答案为-3．

【点睛】

本题考查了绝对值以及不等式的性质，解题的关键是判断出b的取值，再把原式化简，此题难度不大，但计算时要细心才行．

17．（1）3087；（2）514，633，752，871，918．

【分析】

（1）根据题意设出四位数，作差求绝对值并运算即可得出最终结果；

（2）同样设出这个三位数，根据这个数与其逆序数求和被8除余1列式，最终求出结果．

【详解】

解：（1）设这个四位数为，

其逆序数为，

差的绝对值为：

=3087．

（2）设这个数为，

其逆序数为，

其和为+

=，

这个三位数字与其逆序数的和被8除余1，

为整数，

∵，且、为整数，，

∴，∴或16，又，

∴，，，，．

∴满足条件的所有三位数为514，633，752，871，918．

【点睛】

本题属于新定义问题，有一定难度，计算量也比较大，第二问还涉及代数式范围的求解，根据题意列出等式是解决本题的关键．

18．（1）-3,9；（2）2；（3）

【分析】

（1）根据绝对值和乘方的性质计算，即可得到答案；

（2）设点C所对应的数为x，结合（1）的结论并结合题意，得；根据数轴的性质，分别列AC、OC、BC的代数式，通过解方程即可完成求解；

（3）结合（1）的条件，设它们的运动时间为t秒，根据题意，可计算得到t的范围；再结合OP＋BQ＝3PQ，列方程并求解，即可得到答案．

【详解】

（1）∵|a＋3|＋(b-9）2＝0

∴

∴

（2）设点C所对应的数为x

结合（1）结论得：点A对应的数为-3，点B对应的数为9

∵点C是数轴上A、B之间的一个点

∴

∴

∴AC＋OC＝BC为

当时，

∴

当时，

∴，和矛盾，故舍去

∴点C所对应的数为2；

（3）设它们的运动时间为t秒，结合题意得：

P点对应的数为：；Q点对应的数为：

∴

结合（2）的条件得：

∵点P运动到点C时，P，Q两点同时停止运动

∴

∴

∵OP＋BQ＝3PQ

∴

当时，

解得，和矛盾，故舍去；

当时，

解得；

当时，

解得，和矛盾，故舍去

∴．

【点睛】

本题考查了数轴、绝对值、乘方、不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值、一元一次方程、不等式的性质，从而完成求解．

19．（1）不等式两边同时乘以，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；（2）条件是，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向；（3）条件是，当时，理由是当时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当时，左边右边．

【分析】

（1）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向即可得；

（2）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得；

（3）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向、以及等式的性质即可得．

【详解】

（1）不等式两边同时乘以，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；

（2）条件是，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向；

（3）条件是，理由如下：

当时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当时，左边右边．

【点睛】

本题考查不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．

20．（1）1111；9991；（2）证明过程见解析；（3）8881，3331或3331，2221.

【分析】

（1）由“三拖一”数的定义可得答案；
（2）由于 ，根据数的整除性可得答案；
（3）设这两个“三拖一”数为，（1≤a≤9，1≤b≤4且a，b为整数，a≠b），根据题意表示出代数式，并将其转化成用a和b表示的形式，然后根据a和b的取值范围，得出不等式或方程，从而求得a和b的值，则问题得解．

【详解】

（1）由题意可知最小的“三拖一”数为1111；最大的“三拖一”数为9991；
故答案为：1111；9991；

（2）由题意得(且为整数)，

∴是3的倍数，

∵1不是3的倍数，

∴任意“三拖一”数不能被3整除；

（3）设这两个“三拖一”数为，（，且a，b为整数，），

则有：()()(为正整数)，

∵，且为整数，

∴，

∴或，

∴或，

∴，．

∴这两个数为8881，3331或3331，2221．

【点睛】

本题考查了新定义在数的整除性中的运用以及整式的加减运算、不等式的性质，读懂题中的定义并明确数的整除性的相关知识是解题的关键．