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初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试精品巩固练习
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这是一份初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试精品巩固练习，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．1，，B．0.6，0.8，1C．3，4，5D．5，11，12
2．如图 ，点 A 表示的实数是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（ ）
A．B．C．D．
4．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，沿着侧面需要爬行的最短路径是（ ）
A．9B．13C．14D．25
5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠B＝∠C+∠AB．a2＝（b+c）（b﹣c）
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝3：4：5
二、填空题
6．如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是___．
7．如图所示，已知网格中每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均为格点，，垂足为D，则________．
8．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积_______．
9．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯____米．
10．图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME~7)的会徽,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,那么OA1,OA2,…,OA25这些线段中有___条线段的长度为正整数.
三、解答题
11．如图所示，隔湖有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上取一个点C，测得CA＝50 m，CB＝40 m，试求A，B两点间的距离．
12．如图，一辆小汽车在一条限速为70km/h的公路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30 m的B处，过了2s后，测得小汽车（位于C处）与车速检测仪A的距离为50m，这辆小汽车超速了吗?
13．如图，铁路上，两点相距25km，，为两村庄，于点，于点.已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站，使得，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？
14．如图所示，沿AE折叠矩形，点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
15．如图，CD是△ABC的中线，CE是△ABC的高，若AC＝9，BC＝12，AB＝15.
(1)求CD的长．
(2)求DE的长．
参考答案
1．C
【分析】
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】
解：A、，不是整数，故A错误；
B、0.6，0.8，不是整数，故B错误；
C、3，4，5是整数，且，故C正确；
D、5，11，12是整数，但，故D错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
2．C
【分析】
根据勾股定理、实数和数轴的知识进行解答即可．
【详解】
解：点 A 表示的实数是1-．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了勾股定理、实数和数轴等知识，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
3．C
【分析】
根据已知条件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝80m
所以DE＝AC−AD−EC＝80−20−10＝50m
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考重点考点之一．
4．B
【分析】
画出该圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB，然后根据勾股定理求出AB即可求出结论．
【详解】
解：该圆柱的侧面展开图，如下图所示，
根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB
AB恰为一个矩形的对角线，该矩形的长为圆柱的底面周长的一半，即长为24÷2=12
宽为5
∴AB==13
即沿着侧面需要爬行的最短路径长为13．
故选：B．
【点睛】
此题考查的是勾股定理与最短路径问题，掌握勾股定理和两点之间线段最短是解题关键．
5．C
【分析】
由三角形的内角和定理求解可判断由勾股定理的逆定理可判断由三角形的内角和定理求解 可判断 设 则 利用勾股定理的逆定理可判断
【详解】
解：
故不符合题意；
故不符合题意；
不是直角三角形，故符合题意，
设 则
故不符合题意，
故选：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
6．66
【分析】
根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【详解】
解：
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1=42+52，S2=32+42，
于是S3=S1+S2，
即可得S3=16+25+9+16=66．
故答案是：66．
【点睛】
本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理的几何意义表示出S3是解答本题的关键．
7．．
【分析】
如图，根据，据此可求．
【详解】
解： ，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角形的面积，解题的关键是明确三角形面积的计算公式，会运用割补法求三角形的面积．
8．234
【分析】
连接AC，根据勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，利用△ACD和△ABC的面积求和即可．
【详解】
解：连接AC，
∵∠B=90°，
，
∵242+72=252，
∴∠D=90°，
四边形ABCD的面积=．
故答案为：234．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理．关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9．2.
【解析】
【分析】
在Rt△OAB中利用勾股定理求得OB的长，在Rt△O A′B′中利用勾股定理求得OA′的长即可得解.
【详解】
在Rt△OAB中，OB==6米，
∴O B′=6+2=8米，
在Rt△O A′B′中，OA′==6米，
则AA′=8﹣6=2米.
故答案为2.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
10．5
【分析】
找到OAn=的规律，所以OA1到OA25的值分别为，，，，…，
【详解】
解：根据题意，找到OAn=的规律，
所以OA1到OA25的值分别为，，，，…，，
故正整数为=1， =2， =3， =4， =5．
故答案为5
【点睛】
本题主要考查勾股定理，解本题的关键在于利用勾股定理求得直角三角形的边长，发现OAn=的规律.
11．A，B两点间的距离是30 m.
【解析】
【分析】
△ABC是直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【详解】
由图可知，三角形ABC是直角三角形．
∵CA=50m，CB=40m，∴AB=CA2−CB2=502−402=30（m）．
答：A，B两点间的距离是30 m．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．这辆小汽车超速了.
【解析】
【分析】
本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【详解】
在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：
BC＝AB2−AC2=502−302＝40（m）
∴小汽车的速度为v=402=20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【点睛】
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
13．收购站应建在离点10千米处.
【分析】
设，则.在中，根据勾股定理，得.
在中，根据勾股定理，得.
【详解】
解：设，则.
在中，根据勾股定理，
得.
在中，根据勾股定理，
得.
因为，
所以.
解得.
即收购站应建在离点10千米处.
【点睛】
考核知识点：勾股定理运用.根据勾股定理得，再得是解题关键.
14．3
【分析】
先根据矩形的性质得AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则CF＝BC−BF＝4，设CE＝x，则DE＝EF＝8−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2＋42＝（8−x）2，再解方程即可得到CE的长．
【详解】
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝10，EF＝DE，
在Rt△ABF中，∵BF＝＝6，
∴CF＝BC−BF＝10−6＝4，
设CE＝x，则DE＝EF＝8−x
在Rt△ECF中，∵CE2＋FC2＝EF2，
∴x2＋42＝（8−x）2，解得x＝3，
即CE＝3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
15．(1)7.5;(2)2.1.
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形，再根据直角三角形的性质可求CD的长．
（2）根据三角形的面积公式可求CE，再根据勾股定理可求DE的长．
【详解】
(1)由AC＝9，AB＝15，BC＝12，
AC2＋BC2＝81+144== AB2
∴∠ACB＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝7.5；
(2)由∠ACB＝90°，可得S△ABC＝AC·BC＝AB·CE，
∴×9×12＝×15CE，
解得CE＝7.2，
Rt△CDE中，DE＝＝2.1.
故答案为(1)7.5;(2)2.1.
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理.
一、单选题
1．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．1，，B．0.6，0.8，1C．3，4，5D．5，11，12
2．如图 ，点 A 表示的实数是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（ ）
A．B．C．D．
4．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，沿着侧面需要爬行的最短路径是（ ）
A．9B．13C．14D．25
5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠B＝∠C+∠AB．a2＝（b+c）（b﹣c）
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝3：4：5
二、填空题
6．如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是___．
7．如图所示，已知网格中每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均为格点，，垂足为D，则________．
8．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积_______．
9．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯____米．
10．图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME~7)的会徽,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,那么OA1,OA2,…,OA25这些线段中有___条线段的长度为正整数.
三、解答题
11．如图所示，隔湖有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上取一个点C，测得CA＝50 m，CB＝40 m，试求A，B两点间的距离．
12．如图，一辆小汽车在一条限速为70km/h的公路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30 m的B处，过了2s后，测得小汽车（位于C处）与车速检测仪A的距离为50m，这辆小汽车超速了吗?
13．如图，铁路上，两点相距25km，，为两村庄，于点，于点.已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站，使得，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？
14．如图所示，沿AE折叠矩形，点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
15．如图，CD是△ABC的中线，CE是△ABC的高，若AC＝9，BC＝12，AB＝15.
(1)求CD的长．
(2)求DE的长．
参考答案
1．C
【分析】
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】
解：A、，不是整数，故A错误；
B、0.6，0.8，不是整数，故B错误；
C、3，4，5是整数，且，故C正确；
D、5，11，12是整数，但，故D错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
2．C
【分析】
根据勾股定理、实数和数轴的知识进行解答即可．
【详解】
解：点 A 表示的实数是1-．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了勾股定理、实数和数轴等知识，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
3．C
【分析】
根据已知条件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝80m
所以DE＝AC−AD−EC＝80−20−10＝50m
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考重点考点之一．
4．B
【分析】
画出该圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB，然后根据勾股定理求出AB即可求出结论．
【详解】
解：该圆柱的侧面展开图，如下图所示，
根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB
AB恰为一个矩形的对角线，该矩形的长为圆柱的底面周长的一半，即长为24÷2=12
宽为5
∴AB==13
即沿着侧面需要爬行的最短路径长为13．
故选：B．
【点睛】
此题考查的是勾股定理与最短路径问题，掌握勾股定理和两点之间线段最短是解题关键．
5．C
【分析】
由三角形的内角和定理求解可判断由勾股定理的逆定理可判断由三角形的内角和定理求解 可判断 设 则 利用勾股定理的逆定理可判断
【详解】
解：
故不符合题意；
故不符合题意；
不是直角三角形，故符合题意，
设 则
故不符合题意，
故选：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
6．66
【分析】
根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【详解】
解：
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1=42+52，S2=32+42，
于是S3=S1+S2，
即可得S3=16+25+9+16=66．
故答案是：66．
【点睛】
本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理的几何意义表示出S3是解答本题的关键．
7．．
【分析】
如图，根据，据此可求．
【详解】
解： ，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角形的面积，解题的关键是明确三角形面积的计算公式，会运用割补法求三角形的面积．
8．234
【分析】
连接AC，根据勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，利用△ACD和△ABC的面积求和即可．
【详解】
解：连接AC，
∵∠B=90°，
，
∵242+72=252，
∴∠D=90°，
四边形ABCD的面积=．
故答案为：234．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理．关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9．2.
【解析】
【分析】
在Rt△OAB中利用勾股定理求得OB的长，在Rt△O A′B′中利用勾股定理求得OA′的长即可得解.
【详解】
在Rt△OAB中，OB==6米，
∴O B′=6+2=8米，
在Rt△O A′B′中，OA′==6米，
则AA′=8﹣6=2米.
故答案为2.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
10．5
【分析】
找到OAn=的规律，所以OA1到OA25的值分别为，，，，…，
【详解】
解：根据题意，找到OAn=的规律，
所以OA1到OA25的值分别为，，，，…，，
故正整数为=1， =2， =3， =4， =5．
故答案为5
【点睛】
本题主要考查勾股定理，解本题的关键在于利用勾股定理求得直角三角形的边长，发现OAn=的规律.
11．A，B两点间的距离是30 m.
【解析】
【分析】
△ABC是直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【详解】
由图可知，三角形ABC是直角三角形．
∵CA=50m，CB=40m，∴AB=CA2−CB2=502−402=30（m）．
答：A，B两点间的距离是30 m．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．这辆小汽车超速了.
【解析】
【分析】
本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【详解】
在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：
BC＝AB2−AC2=502−302＝40（m）
∴小汽车的速度为v=402=20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【点睛】
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
13．收购站应建在离点10千米处.
【分析】
设，则.在中，根据勾股定理，得.
在中，根据勾股定理，得.
【详解】
解：设，则.
在中，根据勾股定理，
得.
在中，根据勾股定理，
得.
因为，
所以.
解得.
即收购站应建在离点10千米处.
【点睛】
考核知识点：勾股定理运用.根据勾股定理得，再得是解题关键.
14．3
【分析】
先根据矩形的性质得AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则CF＝BC−BF＝4，设CE＝x，则DE＝EF＝8−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2＋42＝（8−x）2，再解方程即可得到CE的长．
【详解】
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝10，EF＝DE，
在Rt△ABF中，∵BF＝＝6，
∴CF＝BC−BF＝10−6＝4，
设CE＝x，则DE＝EF＝8−x
在Rt△ECF中，∵CE2＋FC2＝EF2，
∴x2＋42＝（8−x）2，解得x＝3，
即CE＝3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
15．(1)7.5;(2)2.1.
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形，再根据直角三角形的性质可求CD的长．
（2）根据三角形的面积公式可求CE，再根据勾股定理可求DE的长．
【详解】
(1)由AC＝9，AB＝15，BC＝12，
AC2＋BC2＝81+144== AB2
∴∠ACB＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝7.5；
(2)由∠ACB＝90°，可得S△ABC＝AC·BC＝AB·CE，
∴×9×12＝×15CE，
解得CE＝7.2，
Rt△CDE中，DE＝＝2.1.
故答案为(1)7.5;(2)2.1.
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理.
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