初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系优秀习题

这是一份初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系优秀习题，共11页。

第1课时 直线和圆的位置关系 [见A本P43]





1．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( B )





【解析】 ∵⊙O的半径r为5，圆心O到直线l的距离d为3，且0＜d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交且直线l不经过圆心．


2．已知圆的半径是5 cm，如果圆心到直线的距离是5 cm，那么直线和圆的位置关系是( B )


A．相交 B．相切 C．相离 D．内含


【解析】 d＝r＝5 cm，故选B.


3．[2013·青岛]直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( C )


A．r＜6 B．r＝6


C．r＞6 D．r≥6


【解析】∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d＝6，


∴r＞6.


4．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是( D )


A．相切 B．相离


C．相离或相切 D．相切或相交


【解析】 当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝2＝r，⊙O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2＝r，⊙O与直线l相交，故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．


5．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( C )


A．与x轴相交，与y轴相切


B．与x轴相离，与y轴相交


C．与x轴相切，与y轴相交


D．与x轴相切，与y轴相离


6．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为( B )


A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm


7．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝AC＝10，以C为圆心，分别以5，5eq \r(2)，8为半径作圆，那么直线AB与圆的位置关系分别为__相离__、__相切__、__相交__．


【解析】 C到AB的距离d＝5eq \r(2).当d＝5eq \r(2)＞r＝5时，直线AB与圆相离；当d＝5eq \r(2)＝r时，直线AB与圆相切；当d＝5eq \r(2)＜r＝8时，直线AB与圆相交．


8．已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是__相离__．


【解析】 因为⊙O的面积为9π cm2，所以⊙O的半径r＝3 cm，而点O到直线l的距离d＝π cm，所以d＞r，所以直线l与⊙O相离．





图24－2－7


9．如图24－2－7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以3 cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是__相交__．


【解析】 在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，∠A＝60°，所以∠B＝30°，所以AB＝2AC.由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即AC2＋42＝4AC2，解得AC＝eq \f(4,3)eq \r(3)(负值已舍)，所以AB＝2AC＝eq \f(8,3)eq \r(3).设C到AB的距离为CD，则CD＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(\f(4,3)\r(3)×4,\f(8\r(3),3))＝2 cm＜3 cm，所以以点C为圆心，以3 cm长为半径的⊙C与AB的位置关系是相交．


10．已知∠AOB＝30°，P是OA上的一点，OP＝24 cm，以r为半径作⊙P.


(1)若r＝12 cm，试判断⊙P与OB的位置关系；


(2)若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．





图24－2－8


解：过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP＝90°.


∵∠AOB＝30°，OP＝24 cm，


∴PC＝OP＝12 cm.





(1)当r＝12 cm时，r＝PC，


∴⊙P与OB相切，


即⊙P与OB位置关系是相切．


(2)当⊙P与OB相离时，r＜PC，


∴r需满足的条件是：0 cm＜r＜12 cm.








图24－2－9


11．如图24－2－9，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－eq \r(2)与⊙O的位置关系是( B )


A．相离 B．相切


C．相交 D．以上三种情况都有可能


12．如图24－2－10，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y＝ax2上，⊙P恒过点(0，n)．且与直线y＝－n始终保持相切，则n＝__eq \f(1,4a)__(用含a的代数式表示)．





图24－2－10


【解析】 如图，连接PF.设⊙P与直线y＝－n相切于点E，连接PE.则PE⊥AE.





∵动点P在抛物线y＝ax2上，


∴设P(m，am2)．


∵⊙P恒过点F(0，n)，


∴PE＝PF，即m＝2n


又∵am2＝n


∴n＝eq \f(1,4a).


故答案是eq \f(1,4a).


13．如图24－2－11，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝m，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O.





图24－2－11


(1)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示)；


(2)当m取何值时，CD与⊙O相切？


解：(1)分别过A，O两点作AE⊥CD，OF⊥CD，垂足分别是点E，F，


∴AE∥OF，OF就是圆心O到CD的距离．


∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AB∥CD，∴AE＝OF.


在△ADE中，∠D＝60°，∠AED＝90°，∴∠DAE＝30°，∴DE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)m，∴AE＝eq \r(AD2－DE2)＝eq \r(m2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)m))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2)m，∴OF＝AE＝eq \f(\r(3),2)m.


(2)∵OF＝eq \f(\r(3),2)m，AB为⊙O的直径，且AB＝10，


∴当OF＝5时，CD与⊙O相切于F点，


即eq \f(\r(3),2)m＝5，m＝eq \f(10\r(3),3)，∴当m＝eq \f(10\r(3),3)时，CD与⊙O相切．


14．如图24－2－12所示，在△ABC中，AD为BC边上的高，且AD＝eq \f(1,2)BC，E，F分别为AB，AC的中点，试问以EF为直径的圆与BC有怎样的位置关系．





图24－2－12





第14题答图


解：如图所示，过EF的中点O作OG⊥BC于G，


∵E，F分别为AB，AC的中点，


∴EF为△ABC的中位线．∴EF＝eq \f(1,2)BC，


即BC＝2EF.


又∵OG⊥BC，AD⊥BC，EF是△ABC的中位线，


AD＝eq \f(1,2)BC，∴OG＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,4)BC＝eq \f(1,4)×2EF＝eq \f(1,2)EF＝OF.∴以EF为直径的圆与BC相切．


15．如图24－2－13所示，点A是一个半径为300 m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C两个村庄间修一条长为1 000 m的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明．





图24－2－13





第15题答图


【解析】 此题实质上是判断直线BC与⊙A的位置关系．问题的关键是求出点A到直线BC的距离AH的长，可设AH＝x，在Rt△ABH和Rt△ACH中分别用x表示出BH及CH，然后依据BH＋CH＝BC构建方程求解即可．


解：如图所示，


过点A作AH⊥BC于点H，设AH＝x m.


∵∠ABC＝45°，∴BH＝AH＝x m．∵∠ACB＝30°，∴AC＝2x m，


由勾股定理可得CH＝eq \r(3)x m.


又∵BH＋CH＝BC，BC＝1 000 m，∴x＋eq \r(3)x＝1 000，解得x＝500(eq \r(3)－1)>300，


即BC与⊙A相离，故此公路不会穿过森林公园．





16．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘侵袭．如图24－2－14所示，近日，A城气象局测得沙尘暴的中心在A城的正西方向240 km的B处，正以每小时12 km的速度向北偏东60°的方向移动，距沙尘暴的中心150 km的范围内为受影响区域．


(1)A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？


(2)若A城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？





图24－2－14





第16题答图


解：(1)如图所示，过A作AC⊥BM于C，则AC＝eq \f(1,2)AB＝120<150，因此A城受到这次沙尘暴的影响．


(2)设沙尘暴由B移动到D点时A城刚好受到这次沙尘暴的影响，则AD＝150，DC＝eq \r(AD2－AC2)＝90，那么A城遭受影响的时间为＝eq \f(2DC,12)＝eq \f(2×90,12)＝15(h)．





第2课时 切线的判定和性质 [见B本P44]








1．下列结论中，正确的是( D )


A．圆的切线必垂直于半径


B．垂直于切线的直线必经过圆心


C．垂直于切线的直线必经过切点


D．经过圆心与切点的直线必垂直于切线


【解析】 根据切线的性质来判断．选项A中，只有过切点的半径才与切线垂直；选项B中，只有过切点且垂直于切线的直线才经过圆心；选项C中，只有垂直于切线的半径才经过切点，所以A，B，C都错误，故选D.


2．如图24－2－15，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB，若∠ABC＝70°，则∠A等于( B )


A．15° B．20° C．30° D．70°


【解析】 ∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，


∴∠OBC＝90°.∵∠ABC＝70°，∴∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝90°－70°＝20°.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA＝20°.





图24－2－15





图24－2－16


3．如图24－2－16所示，⊙O与直线AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，若∠BAC＝30°，则∠B等于( B )


A．29° B．30° C．31° D．32°


【解析】 连接OA，则∠OAB＝90°，又∠CAB＝30°，


∴∠OAC＝60°.又OA＝OC，


∴△OAC是等边三角形，∴∠O＝60°，


∴∠B＝30°.


4．如图24－2－17所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于( A )





图24－2－17


A．50° B．40° C．60° D．70°


【解析】 连接OC，


∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC，


∴∠BOC＝2∠CDB，又∠CDB＝20°，


∴∠BOC＝40°，


又∵CE为圆O的切线，


∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°，


则∠E＝90°－40°＝50°.





图24－2－18


5．如图24－2－18，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( A )


A．DE＝DO B．AB＝AC


C．CD＝DB D．AC∥OD


6．如图24－2－19，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点C，若∠AOB＝120°，则大圆半径R与小圆半径r之间满足( C )


A．R＝eq \r(3)r B．R＝3r


C．R＝2r D．R＝2eq \r(2)r


【解析】 连接OC，因为大圆的弦切小圆于点C，所以OC⊥AB，又因为OA＝OB，所以∠AOC＝eq \f(1,2)×120°＝60°，所以∠A＝30°，所以OA＝2OC，即R＝2r，故选C.





图24－2－19





图24－2－20


7．如图24－2－20，点P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，⊙O的半径OA＝2 cm，∠P＝30°，则PO＝__4__cm.


8．如图24－2－21，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC.若∠A＝26°，则∠ACB的度数为__32°__．





图24－2－21





图24－2－22


9．如图24－2－22，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为__AB⊥BC__．


【解析】 当△ABC为直角三角形时，即∠ABC＝90°时，BC与圆相切，理由是：经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线．


10．如图24－2－23，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O相切于B点，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是__6__．





图24－2－23





图24－2－24


11．如图24－2－24，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB.


(1)求BC的长；


(2)求证：PB是⊙O的切线．





解：(1)连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，


∴∠COB＝60°，


又∵OC＝OB.


∴△OBC是正三角形，


∴BC＝OC＝2.


(2)证明：∵BC＝CP，


∴.∠CBP＝∠CPB，


∵△OBC是正三角形，


∴∠OBC＝∠OCB＝60°.


∴∠CBP＝30°，


∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，


∴OB⊥BP，


∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．





12．如图24－2－25，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB＝∠B＝30°.


(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？


(2)连接CD，若CD＝5，求AB的长．





图24－2－25





第12题答图


解：(1)直线BD与⊙O相切．


理由如下：如图，连接OD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAB＝∠B＝30°，∴∠ODB＝180°－∠ODA－∠DAB－∠B＝180°－30°－30°－30°＝90°，即OD⊥BD，∴直线BD与⊙O相切．


(2)如图，连接CD，由(1)知，∠ODA＝∠DAB＝30°，


∴∠DOB＝∠ODA＋∠DAB＝60°.又∵OC＝OD，


∴△DOC是等边三角形，∴OA＝OD＝CD＝5.


又∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，∴OB＝2OD＝10，


∴AB＝OA＋OB＝5＋10＝15.


13．如图24－2－26，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°.


(1)求∠ABC的度数；


(2)求证：AE是⊙O的切线．


解：(1)∵∠ABC与∠D都是eq \(AC,\s\up8(︵))所对的圆周角，


∴∠ABC＝∠D＝60°.


(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°－∠ABC＝30°，∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线．





图24－2－26





图24－2－27


14．如图24－2－27，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A＝30°.求证：(1)BD＝CD；(2)△AOC≌△CDB.


证明：(1)∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.


又∵∠A＝30°，OA＝OC＝OD，∴∠ACO＝∠A＝30°，∠ODC＝∠OCD＝90°－∠ACO＝60°.又∵BC与⊙O切于C点，∴∠OCB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠OCD＝30°，∴∠B＝∠ODC－∠BCD＝30°，


∴∠BCD＝∠B，∴BD＝CD.


(2)∵∠A＝∠ACO＝∠BCD＝∠B＝30°，∴AC＝BC，∴△AOC≌△CDB.





图24－2－28


15．如图24－2－28，△OAC中，以O为圆心、OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于点B，连接AB交OC于点D，∠CAD＝∠CDA.


(1)判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；


(2)若OA＝5，OD＝1，求线段AC的长．


解：(1)∵点A，B在⊙O上，∴OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB.∵∠CAD＝∠CDA＝∠BDO，∴∠CAD＋∠OAB＝∠BDO＋∠OBA.∵BO⊥CO，


∴∠CAD＋∠OAB＝∠BDO＋∠OBA＝90°，即∠OAC＝90°，∴AC是⊙O的切线．


(2)设AC长为x.∵∠CAD＝∠CDA，∴CD＝AC，即CD长为x.由(1)知OA⊥AC，∴在Rt△OAC中，OA2＋AC2＝OC2，即52＋x2＝(1＋x)2，解得x＝12，即线段AC的长为12.





16．如图24－2－29，⊙O的直径AB＝6 cm，P是AB的延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC.


(1)若∠CPA＝30°，求PC的长；


(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的值．





图24－2－29





第16题答图


【解析】 (1)由PC是⊙O的切线知PC⊥OC，又∠CPA＝30°，故只要知道OC即可求得PC的长；(2)在圆中，半径相等是证角相等的重要手段，此题只要在△APM中，求∠A＋∠APM的大小即可．


解：(1)如图所示，连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.∵∠CPA＝30°，OC＝eq \f(AB,2)＝3，∴OP＝2OC＝6，∴PC＝eq \r(OP2－OC2)＝3eq \r(3).


(2)∠CMP的大小不发生变化且∠CMP＝45°.


∵PM是∠CPA的平分线，∴∠CPM＝∠MPA.


∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.在△APC中，∵∠A＋∠ACP＋∠CPA＝180°，


∴2∠A＋2∠MPA＋90°＝180°，∴∠A＋∠MPA＝45°，∴∠CMP＝∠A＋∠MPA＝45°，即∠CMP的大小不发生变化且∠CMP＝45°.