人教版九年级上册第二十四章 圆24.3 正多边形和圆优秀精练

这是一份人教版九年级上册第二十四章 圆24.3 正多边形和圆优秀精练，共6页。试卷主要包含了正六边形的边心距与边长之比为等内容，欢迎下载使用。




1．正六边形的边心距与边长之比为( B )


A.eq \r(3)∶3 B.eq \r(3)∶2 C．1∶2 D.eq \r(2)∶2


【解析】 如图：设正六边形的边长是a，





则半径长也是a；


经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，


则AC＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)a，


∴OC＝eq \r(OA2－AC2)＝eq \f(\r(3),2)a，


∴正六边形的边心距与边长之比为：eq \f(\r(3),2)a∶a＝eq \r(3)∶2.


2．如图24－3－1，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( D )





图24－3－1


A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长


B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长


C.eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))


D．∠BAC＝30°


【解析】 因为OA＝AB＝OB，所以△OAB是等边三角形，又OC⊥AB，所以∠AOC＝∠BOC＝30°，所以∠BAC＝15°，D不正确．


3．如图24－3－2，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O(使该角的顶点落在点O处)，把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是( B )





图24－3－2


A．4 B．5 C．6 D．7


【解析】 360÷30＝12；360÷60＝6；360÷90＝4；


360÷120＝3；360÷180＝2.


因此n的所有可能的值共五种情况．


4．如图24－3－3，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( C )





图24－3－3


A．6eq \r(2) mm B．12 mm


C．6eq \r(3) mm D．4eq \r(3) mm


5．已知正六边形的边心距为eq \r(3)，则它的周长是( B )


A．6 B．12


C．6eq \r(3) D．12eq \r(3)


【解析】 正六边形的边长等于半径，设半径为R，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)R))eq \s\up12(2)＋(eq \r(3))2＝R2，∴R＝2，它的周长是6R＝6×2＝12，故选B.


6．若正六边形的边长为4 cm，那么正六边形的中心角是__60__度，半径是__4__cm，边心距是__2eq \r(3)__cm，它的每一个内角是__120°__．


7．[2012·巴中]已知一个圆的半径为5 cm，则它的内接正六边形的边长为__5__cm.


8．已知一个正n边形的中心角是它的一个内角的三分之一，则n＝__8__．


【解析】 由eq \f(360,n)＝eq \f(180（n－2）,n)×eq \f(1,3)，得n＝8.


9．已知⊙O和⊙O上的一点A，如图24－3－4所示．





图24－3－4


(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；


(2)在(1)题所作的图中，如果点E在eq \(AB,\s\up8(︵))上，试证明EB是⊙O的内接正十二边形的一边．


【解析】 (1)根据正四边形和正六边形的作图方法分别作出⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)计算EB所对的圆心角的度数．


解：(1)如图所示，在⊙O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC和BD，连接AB，BC，CD，DA，得⊙O的内接正方形ABCD；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O中作出正六边形AEFCGH.





(2)如图，连接OE.


∵AE是正六边形的一边，


∴∠AOE＝eq \f(360°,6)＝60°.∵AB是正方形的一边，∴∠AOB＝eq \f(360°,4)＝90°，∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝90°－60°＝30°.设EB是⊙O的内接正n边形的一边，则eq \f(360°,n)＝30°，∴n＝12，


∴EB是⊙O的内接正十二边形的一边．





10．小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：


(1)作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；


(2)以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连接BD，如图2.若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是( C )





图24－3－5


A．BD2＝eq \f(\r(5)－1,2)OD


B．BD2＝eq \f(\r(5)＋1,2)OD


C．BD2＝eq \r(5)OD


D．BD2＝eq \f(\r(5),2)OD


11．[2013·徐州]如图24－3－6，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20 cm2，则正八边形的面积为____________cm2.





图24－3－6


【解析】连接HE，AD，


在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，


∵正八边形每个内角为：eq \f(（8－2）×180°,8)＝135°，


∴∠HGM＝45°，





∴MN＝MG，


设MH＝MG＝x，


则HG＝AH＝AB＝GF＝eq \r(2)x，


∴BG×GF＝2(eq \r(2)＋1)x2＝20，


四边形ABGH面积＝


eq \f(1,2)(AH＋BG)×HM＝(eq \r(2)＋1)x2＝10，


∴正八边形的面积为：10×2＋20＝40(cm2)．


12．将固定宽度的纸条打个简单的结，然后系紧，使它成为平面的结(如图24－3－7)，求证：五边形ABCDE是正五边形．





图24－3－7





第13题答图


证明：如图所示，连接BE，AD，设纸条的宽度为h，


则S△ABE＝eq \f(1,2)AB·h＝eq \f(1,2)AE·h，


∴AB＝AE，


同理得AB＝BC，BC＝CD，∴AE＝AB＝BC＝CD.∵纸条的宽度固定，∴AE∥BD，CD∥BE，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5.由折叠性质得∠ABD＋∠ABC＝180°，从而得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝36°，由此易得∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，AE＝AB＝BC＝CD＝DE，∴五边形ABCDE是正五边形．


13．如图24－3－8所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，求证：五边形AEBCD是正五边形．





图24－3－8


【解析】 要证明五边形AEBCD是正五边形，只需证eq \(AE,\s\up8(︵))＝eq \(EB,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(DA,\s\up8(︵))即可．


证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝36°，


∴∠ABC＝∠ACB＝72°.


又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，


∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°，


即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE，


∴eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(BE,\s\up8(︵))＝eq \(AE,\s\up8(︵))，


∴A，E，B，C，D是⊙O的五等分点，


∴五边形AEBCD是正五边形．


14．如图24－3－9，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O.


(1)写出图中所有的等腰三角形；


(2)判断四边形AODE的形状，并说明理由．


:学科


图24－3－9


解：(1)△ABO，△ABC，△BOC，△DOC，△BCD.


(2)四边形AODE是菱形，理由如下：


∵AB＝BC，∠ABC＝eq \f(（5－2）×180°,5)＝108°，


∴∠BAC＝∠BCA＝eq \f(1,2)×(180°－108°)＝36°，


同理得∠CBD＝∠CDB＝36°，∴∠ABO＝∠ABC－∠CBD＝72°，∠AOB＝180°－∠ABO－∠BAC＝72°，∴AB＝AO，同理得DO＝DC，∴OA＝AE＝ED＝DO，∴四边形AODE是菱形．


15．小刚现有一边长为a m的正方形花布，准备做一个形状为正八边形的风筝，参加全校组织的风筝比赛，问：在这样的花布上怎样裁剪，才能得到一个面积最大的风筝？





解：如图所示，在正方形ABCD中，△DEF，△CGH，△BOP，△AMN为全等的等腰直角三角形，八边形EMNOPHGF为正八边形．


设直角边DE＝DF＝CG＝CH＝x.





在Rt△DEF中，EF＝eq \r(2)x.


∵EF＝FG，且DC＝DF＋FG＋CG，∴x＋x＋eq \r(2)x＝a，


解得x＝eq \f(2－\r(2),2)a≈0.3a，


因此，从四个角上各剪去一个直角边长约为0.3a m的等腰直角三角形，即可得到一个面积最大的正八边形风筝．





16．小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折，旋转放置，做成科学方舟模型，如图24－3－10所示，该正五边形的边心距OB长为eq \r(2)，AC为科学方舟船头A到船底的距离，请你计算AC＋eq \f(1,2)AB＝__eq \f(5,2)eq \r(2)__．





图24－3－10


【解析】 设正五边形的边长为a，根据正五边形的面积等于科学方舟面积的2倍列方程求解，依题意，有eq \f(1,2)×eq \r(2)×a×5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×AB×\f(a,2)＋\f(1,2)×a×AC))×2，


即eq \f(5\r(2),2)a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB＋AC))×a，∴eq \f(1,2)AB＋AC＝eq \f(5\r(2),2).