人教B版 (2019)必修 第一册2.2.2 不等式的解集公开课教案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.2.2 不等式的解集公开课教案，共13页。

2.2.3 一元二次不等式的解法








1．不等式的解集与不等式组的解集


一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．


2．绝对值不等式


一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．


思考1：你能总结出若a＞0，|x|＞a与|x|＜a的解集吗？


提示：


3.数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式


一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．数轴上线段AB的中点坐标公式为x＝eq \f(a＋b,2).


4.一元二次不等式的概念


一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.


5．一元二次不等式的一般形式


(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．


(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．


(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．


(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．


思考2：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？


提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．


6．一元二次不等式的解与解集


使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．


思考3：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？


提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．


7．三个“二次”的关系








思考4：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？


提示：结合二次函数图像可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,1＋4a<0，))解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.





1．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1＞0，,3x－2≤0))的解集为( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤\f(2,3))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＜x≤\f(2,3)))))


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜\f(2,3))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x≤\f(2,3)))))


D [因为2x＋1＞0，∴x＞－eq \f(1,2)，3x－2≤0，∴x≤eq \f(2,3)，不等式组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x≤\f(2,3))))).]


2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＜x＜\f(1,3))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＜x＜1))))


C．∅ D．R


D [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]


3．不等式|x|－3＜0的解集为________．


{x|－3＜x＜3} [不等式变形为|x|＜3，解集为{x|－3＜x＜3}．]


4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．


∅ [原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．


由函数y＝3x2－5x＋4的图像可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.]





【例1】 不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1≤0，,x＋3＞0))的解集是( )


A．x＞－3 B．－3≤x＜2


C．－3＜x≤2 D．x≤2


C [eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1≤0，①,x＋3＞0，②))


解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞－3，


∴不等式组的解集为－3＜x≤2，故选C.]





一元一次不等式组解集的求解策略


(1)一元一次不等式组的解集就是每个不等式解集的交集；


(2)求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．








1．解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋5＞3x＋2，,\f(x＋4,3)≤\f(3x＋3,4)＋1，))并在数轴上表示该不等式组的解集．


[解] eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋5＞3x＋2，①,\f(x＋4,3)≤\f(3x＋3,4)＋1，②))


由①得，x＜3，


由②得，x≥－1，


故此不等式组的解集为－1≤x＜3，


在数轴上表示为：








【例2】 不等式|5－4x|＞9的解集为________．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜－1或x＞\f(7,2))))) [∵|5－4x|＞9，∴5－4x＞9或5－4x＜－9.


∴4x＜－4或4x＞14，


∴x＜－1或x＞eq \f(7,2).


∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜－1或x＞\f(7,2))))).]





1．(变设问)不等式|5－4x|≤9的解集为________．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(7,2))))) [∵|5－4x|≤9，∴－9≤4x－5≤9.


∴－1≤x≤eq \f(7,2)，∴原不等式的解集为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(7,2))))).]


2．(变设问)若不等式|kx－5|≤9的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(7,2)))))，则实数k＝________.


4 [由|kx－5|≤9⇔－4≤kx≤14.


∵不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(7,2)))))，


∴k＝4.]





1．|x|＜a与|x|＞a型不等式的解法


2.|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法


(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；


(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.








2．不等式2＜|2x＋3|≤4的解集为( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)＜x＜－\f(5,2)或－\f(1,2)＜x≤\f(1,2)))))


B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)＜x＜－\f(5,2)或－\f(1,2)＜x＜\f(1,2)))))


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)≤x＜－\f(5,2)或－\f(1,2)＜x≤\f(1,2)))))


D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)≤x≤－\f(5,2)或－\f(1,2)＜x≤\f(1,2)))))


C [∵2＜|2x＋3|≤4，∴2＜2x＋3≤4，或－4≤2x＋3＜－2，∴－eq \f(1,2)＜x≤eq \f(1,2)，或－eq \f(7,2)≤x＜－eq \f(5,2)，∴不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)≤x＜－\f(5,2)或－\f(1,2)＜x≤\f(1,2)))))，故选C.]





【例3】 解下列不等式：


(1)2x2＋7x＋3>0；


(2)－4x2＋18x－eq \f(81,4)≥0；


(3)－2x2＋3x－2<0.


[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－eq \f(1,2).又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,2)或x<－3)))).


(2)原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(9,2)))2≤0，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(9,4))))).


(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R.





解不含参数的一元二次不等式的一般步骤


1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.


2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.


3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.


4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.


5写解集.根据图像写出不等式的解集.








3．解下列不等式．


(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；


(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.


[解] (1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－eq \f(1,2)，x2＝2，∴不等式2x2－3x－2>0的解集为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)或x>2)))).


(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，


∴不等式x2－4x＋4>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠2)).


(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，


由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，


∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.


(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，


由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝eq \f(2,3)，x2＝1，


∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,3)




【例4】 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.


[思路点拨] ①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？


[解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1.


当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.


当a<0时，不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，


∵eq \f(1,a)<1，∴x1.


当a>0时，原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.


若eq \f(1,a)<1，即a>1，则eq \f(1,a)

若eq \f(1,a)＝1，即a＝1，则x∈∅；


若eq \f(1,a)>1，即0

综上所述，当a<0时，原不等式的解集为xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,a)))或x>1；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)




解含参数的一元二次不等式的一般步骤





提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．








4．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．


[解] 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，


化简为(x＋1)(ax－2)≥0.


∵a<0，∴(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a)))≤0.


当－2

当a＝－2时，x＝－1；


当a<－2时，－1≤x≤eq \f(2,a).


综上所述，


当－2

当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；


当a<－2时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(2,a))))).





[探究问题]


1．利用函数y＝x2－2x－3的图像说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？


提示：y＝x2－2x－3的图像如图所示．





函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1

方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．


2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？


提示：方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．


不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．


3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1

提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1

【例5】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2

[思路点拨]





[解] 法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－eq \f(5,6)x＋eq \f(1,6)>0，解得xeq \f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,3)或x＞\f(1,2))))).


法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2




1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．


[解] 由根与系数的关系知eq \f(b,a)＝－5，eq \f(c,a)＝6且a<0.


∴c<0，eq \f(b,c)＝－eq \f(5,6)，故不等式cx2－bx＋a>0，


即x2－eq \f(b,c)x＋eq \f(a,c)<0，即x2＋eq \f(5,6)x＋eq \f(1,6)<0.


解得eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)

2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2

[解] 由ax2＋bx＋c≥0的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)≤x≤2))))知a＜0.又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))×2＝eq \f(c,a)＜0，则c＞0.


又－eq \f(1,3)，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，


∴－eq \f(b,a)＝eq \f(5,3)，∴eq \f(b,a)＝－eq \f(5,3).


又eq \f(c,a)＝－eq \f(2,3)，∴b＝－eq \f(5,3)a，c＝－eq \f(2,3)a，


∴不等式变为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)a))x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)a))x＋a＜0，


即2ax2＋5ax－3a＞0.


又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，


所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－3＜x＜\f(1,2))))).





已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：


1根据解集来判断二次项系数的符号；


2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；


3约去 a， 将不等式化为具体的一元二次不等式求解.








1．不等式(组)的解集要写成集合形式，不等式组的解集是每个不等式解集的交集．


2．解绝对值不等式的关键就是去掉绝对值，利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．


3．解一元二次不等式的常见方法


(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：


①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；


②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图像的简图；


③由图像得出不等式的解集．


(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．


当m

若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．


有口诀如下：大于取两边，小于取中间．


4．含参数的一元二次型的不等式


在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：


(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.


(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．


(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.


5．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.





1．思考辨析


(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )


(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )


(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1

(4)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.( )


[提示] (1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．


(2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.


(3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1

(4)显然c＝0不成立，错误．


[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×


2．已知数轴上A(3)，B(－5)，则线段AB中点M的坐标为________．


M(－1) [eq \f(3＋－5,2)＝－1，线段AB中点M的坐标为M(－1)．]


3．如果eq \f(1,x)＜2和|x|＞eq \f(1,3)同时成立，那么x的取值范围是________．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞\f(1,2)或x＜－\f(1,3))))) [由eq \f(1,x)＜2可得x＜0，或x＞eq \f(1,2).①


再由|x|＞eq \f(1,3)可得x＞eq \f(1,3)，或x＜－eq \f(1,3).②


把①②取交集可得x的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞\f(1,2)或x＜－\f(1,3))))).]


4．解下列不等式：


(1)x(7－x)≥12；


(2)x2>2(x－1)．


[解] (1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，


所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．


(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，


因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图像开口向上，


所以原不等式的解集为R.





学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握不等式的解集及不等式组的解集．


2．解绝对值不等式．(重点、难点)


3．掌握一元二次不等式的解法．(重点)


4．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)
1.通过数学抽象理解绝对值不等式．


2．通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.
不等式
|x|＜a
|x|＞a
解集
{x|－a＜x＜a}
{x|x＞a或x＜－a}
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有


实数根
画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)


的图像
求不等式组的解集
解绝对值不等式
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
{x|－a＜x＜a}
∅
∅
|x|＞a
{x|x＞a或x＜－a}
{x|x∈R且x≠0}
R
一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法
三个“二次”的关系