人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.3 一元二次不等式的解法优秀学案及答案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.3 一元二次不等式的解法优秀学案及答案，共6页。




知识点 一元二次不等式


1.一元二次不等式：一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.


注意：一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.


[微思考][来源:学§科§网]


不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？


提示 此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式.


2.因式分解法解一元二次不等式


一般地，如果x10的解集是(－∞，_x1)∪(_x2，＋∞).


3.配方法解一元二次不等式


一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2

[微体验]


1.不等式(1－x)(3＋x)>0的解集是( )


A.(－3,1) B.(－∞，－3)∪(1，＋∞)


C.(－1,3) D.(－∞，－1)∪(3，＋∞)


A [不等式变为(x－1)(x＋3)<0，解得－3

2.不等式x2－2x－5>2x的解集是________________.


{x|x>5或x<－1} [由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}.]


3.不等式－3x2＋6x－2>0的解集为________________.


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)＋1)) [原不等式变形为3x2－6x＋2<0.


又因为3x2－6x＋2＝3(x－1)2－1，所以上述不等式可化为(x－1)2




探究一 不含参数的一元二次不等式的解法


求不等式4x2－4x＋1>0的解集.


解 因为4x2－4x＋1＝(2x－1)2，所以上述不等式可化为(2x－1)2>0，显然当x≠eq \f(1,2)时此不等式成立，所以不等式解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞， \f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).


[变式探究] 将本例不等式变为：－x2＋2x－3>0，求解此不等式.


解 不等式可化为(x－1)2＋2<0，即(x－1)2<－2，


显然不成立，所以不等式的解集为∅.


[方法总结]


解一元二次不等式的常用方法


(1)因式分解法.此法主要用于一元二次不等式是特殊类型，即二次三项式能进行“十字相乘法”因式分解的情形.


(2)配方法：此法适用情形较广，但要求对配方法较为熟练.


[跟踪训练1] 求下列一元二次不等式的解集.[来源:学。科。网Z。X。X。K]


(1)x2－5x>6；(2)－x2＋7x>6.


解 (1)由x2－5x>6，得(x＋1)(x－6)>0.


所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(6，＋∞).


(2)由－x2＋7x>6，得(x－1)(x－6) <0.


所以不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1

探究二 含参数的一元二次不等式的解法


解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).


解 当a＜0时，不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)＞0，


因为a＜0，所以eq \f(1,a)＜1，


所以不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,a)或x＞1)))).


当a＝0时，不等式即－x＋1＜0，解集为{x|x＞1}.


当a＞0时，不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0.


当0＜a＜1时，eq \f(1,a)＞1，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(1＜x＜\f(1,a))))).


当a＝1时，不等式的解集为∅.


当a＞1时，eq \f(1,a)＜1，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＜x＜1)))).


综上，当a＜0时，解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,a)或x＞1))))；


当a＝0时，解集为{x|x＞1}；


当0＜a＜1时，解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(1＜x＜\f(1,a)))))；


当a＝1时，解集为∅；


当a＞1时，解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＜x＜1)))).


[方法总结]


解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑二次三项式因式分解，再考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论.


[跟踪训练2] 解关于x的不等式：56x2－ax－a2>0.


解 56x2－ax－a2>0可化为(7x－a)(8x＋a)>0，


①当a>0时，－eq \f(a,8)eq \f(a,7)或x<－eq \f(a,8)；


②当a<0时，－eq \f(a,8)>eq \f(a,7)，所以x>－eq \f(a,8)或x

③当a＝0时，x≠0.


综上所述，当a>0时，原不等式的解集为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(a,7)或x<－\f(a,8)))))；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a<0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－\f(a,8)或x<\f(a,7))))).





1.解一元二次不等式的常见方法


(1)因式分解法；(2)配方法.


另外有时可结合一元二次不等式所对应的二次函数图像分析求解.


2.一元二次不等式解集的记忆方法


(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间.


(2)当一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的二次项系数a<0时，可以转化为a>0.


3.含参数的一元二次型的不等式


在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：


(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.


(2)关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).


(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1

课时作业(十四) 一元二次不等式的解法





1.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠－\f(1,3))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(1,3)≤x≤\f(1,3)))


C.∅ D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))


D [变形为(3x＋1)2≤0，所以x＝－eq \f(1,3).]


2.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝( )


A.{x|－1

B.{x|－1≤x≤2}


C.{x|x<－1}∪{x|x>2}


D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}


B [因为x2－x－2>0，所以(x－2)(x＋1)>0，所以x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}.在数轴上表示出集合A，如图所示.





由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}.]


3.使式子eq \f(1,\r(－x2－x))有意义的实数x的取值范围是( )


A.{x|x>0或x<－1} B.{x|x≥0或x≤－1}


C.{x|－1

C [由题意得，－x2－x>0，即x2＋x<0，所以－1

4.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )


A.{x|0

C.{x| x<－2，或x>1} D.{x|－1

B [根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2

5.已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B⊆A，则a的取值范围为________________.


(－∞， 1] [A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x

]


6.解下列不等式：


(1)6－2x≤x2－3x<18；


(2)x2－3|x|＋2>0.


解 (1)原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－2x≤x2－3x,x2－3x<18))，


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x－6≥0,x2－3x－18<0))，


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3x＋2≥0,x－6x＋3<0))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－2或x≥3,－3

所以－3

所以原不等式的解集为{x|－3

(2)方法一 原不等式等价于


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－3x＋2>0,x≥0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋3x＋2>0,x<0)).


分别解这两个不等式组，得0≤x<1或x>2或－1

故原不等式的解集为{x|x<－2或－12}.


方法二 原不等式可化为|x|2－3|x|＋2>0，


即(|x|－1)(|x|－2)>0，


所以0≤|x|<1或|x|>2.


即－12或x<－2.


故原不等式的解集为{x|x<－2或－12}.





1.不等式2x2－x－1>0的解集是( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)1))


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<1或x>2)) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)或x>1))))


D [由不等式2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，所以x>1或x<－eq \f(1,2).]


2.不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1<0,x2－3x<0))的解集为( )


A.{x|－1

C.{x|0

C [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1<0,x2－3x<0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1

3.设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))<0的解集为________.


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\f(1,a))))) [因为a<－1，所以a(x－a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))<0⇔(x－a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))>0.又a<－1，所以eq \f(1,a)>a，所以x>eq \f(1,a)或x

4.解关于x的不等式(a∈R)：x2－(a＋a2)x＋a3＞0.


解 将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)(x－a2)＞0.


当a＜0时，有a＜a2，


所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；[来源:学.科.网]


当a＝0时，a＝a2＝0，


所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；


当0＜a＜1时，有a＞a2，


所以不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；


当a＝1时，a＝a2＝1，


所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；


当a＞1时，有a＜a2，


所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}.


5.(拓广探索)某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？


解 如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系.





因为AB＝400，∠BAx＝30°，所以台风中心B的坐标为(200eq \r(3)，－200)，x h后台风中心B到达点P(200eq \r(3)，40x－200)处.


由已知，A市受台风影响时，有|AP|≤350，


即(200eq \r(3))2＋(40x－200)2≤3502，


整理得16x2－160x＋375≤0，


解这个不等式得，3.75≤x≤6.25，


A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5.


故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.


课程标准
学科素养
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义.


2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
通过对一元二次不等式的解法的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.