高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法导学案及答案

2.2.3　一元二次不等式的解法

学习目标

1.经历从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的过程,能用符号语言来描述这个模型,提升数学抽象素养;

2.通过一元二次不等式实例的求解,能概括解一元二次不等式的一般步骤,提高总结归纳能力;会运用一元二次不等式知识解决有关的问题,发展数学应用意识.

自主预习

汽车在行驶中,由于惯性,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.

在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查,测得甲车的刹车距离略超过6 m,乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系分别为s甲=v2-v,s乙=v2-v.试判断甲、乙两车有无超速现象.

不难看出,要判断甲、乙两车是否超速,就是要得到它们车速的取值范围,也就是要解不等式

v2-v>6和　　　　　, 

即v2-10v-600>0和　　　　　, 

一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为　　　　　,其中a,b,c是　　　　　,而且　　　　　.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等. 

[尝试与发现1]任意选定一些数,看它们是否是不等式x(x-1)>0的解,由此给出解这个不等式的方法.

注意到　　　　　　　　,结果才能是正数,也就是说,ab>0当且仅当 

或

因此,不等式可以转化为两个不等式组或

用类似的方法可以求得不等式(x+1)(x-1)<0的解,但此时的依据是:ab<0当且仅当

或　　　　　, 

因为不等式可以转化为两个不等式组或

一般地,如果x1<x2,则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是　　　　　　　　. 

不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是　　　　　　　　　　　　　　. 

[尝试与发现2]通过代入数值验证的方法,猜测以下一元二次不等式的解集,由此总结求一元二次不等式解集的一般方法:

(1)x2<-1;(2)x2>-2;(3)x2<9.

因为任何一个实数的平方一定是一个非负数,因此上述尝试与发现中(1)的解集为　　　　,(2)的解集为　　　　. 

对于x2<9来说,两边同时开根号可得<,即|x|<3,因此-3<x<3,从而得到(3)的解集为(-3,3).

课堂探究

例1　求不等式x2-x-2>0的解集.

反思感悟:

因式分解法:不等式的左端能够进行因式分解可用此法,它只能适用于解决一类特殊的不等式.

跟踪训练1　求下列不等式的解集:

(1)2x2+x-6>0;　　　　　(2)(3x-1)(x+4)>0.

例2　求下列不等式的解集:

(1)x2+4x+1≥0; (2)x2-6x-1≤0;

(3)-x2+2x-1<0; (4)2x2+4x+5>0.

反思感悟:

配方法:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总可以化为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式,然后根据k值的正负即可求得不等式的解集.

跟踪训练2　求下列不等式的解集:

(1)x2+x+1>0. (2)-4x2+18x-≥0.

例3　求不等式≥1的解集.

　　反思感悟:1.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.

2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.

跟踪训练3　求下列不等式的解集:

(1)<0; (2)≤2.

核心素养专练

1.不等式x2>1的解集是(　　)

A.{x|x>1} B.{x|x>±1} 

C.{x|-1<x<1} D.{x|x>1或x<-1}

2.不等式x(2-x)<0的解集是(　　)

A.(2,+∞) B.(-∞,2) 

C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)

3.不等式x2+2x-3<0的解集为(　　)

A.{x|x<-3或x>1} B.{x|x<-1或x>3}

C.{x|-1<x<3} D.{x|-3<x<1}

4.求下列不等式的解集:

(1)x(x-3)<0; (2)(x+1)(1-x)≥0;

(3)x2+6x-7≤0; (4)x2-8x+16<0.

5.求下列不等式的解集:

(1)x2+2x-5<0; (2)x2-4x-2≥0;

(3)x2+6x+10≤0; (4)x2-8x+16≤0;

(5)-x2+8x-1≤0; (6)2x2-4x+3<0.

6.求下列不等式的解集:

(1)>0; (2)>1.

参考答案

自主预习

v2-v>10,v2-10v-2 000>0,一元二次不等式,常数,a≠0,只有两个同号的数相乘,(x1,x2),(-∞,x1)∪(x2,+∞),⌀,R

课堂探究

例1　(-∞,-1)∪(2,+∞).

跟踪训练1　(1)(-∞,-2)∪

(2)(-∞,-4)∪

例2　(1)(-∞,-2- ]∪[-2+,+∞)

(2)[3-,3+ ]

(3){x|x≠1}

(4)R

跟踪训练2　(1)R

(2)

例3　(-∞,-3]∪(2,+∞)

跟踪训练3　(1)(-∞,-2)∪(1,+∞)

(2)(-∞,2)∪[5,+∞)

核心素养专练

1.D　2.D　3.D　4.(1)(0,3)　(2)[-1,1]

(3)[-7,1]　(4)⌀

5.(1)[-1-,-1+]

(2)(-∞,2- ]∪[2+,+∞)　(3)⌀

(4){4}　(5)(-∞,4-]∪[4+,+∞)

(6)⌀

6.(1)(-∞,-1)∪(1,+∞)　(2)(1,2)

学习目标

1.能在现实情境或数学情境中提取出一元二次不等式模型.

2.能恰当使用因式分解法和配方法解一元二次不等式.

课堂探究

情境与问题:

汽车在行驶中,由于惯性,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.

在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查,测得甲车的刹车距离略超过6 m,乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系分别为

s甲=v2-v,s乙=v2-v.

试判断甲、乙两车有无超速现象.

任务一:通过阅读上面内容,解答以下问题:

问题1:(1)如何构建数学关系式解决是否超速问题?

(2)所得数学关系特征是什么?

一般的,形如　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是　　　　　,而且　　　　　,不等号也可以是　　　　　　　　　　　. 

任务二:探究形如:(x-x1)(x-x2)>0或(x-x1)(x-x2)<0的解集.

问题2:(1)两个数相乘结果为正数,则这两个数满足什么关系?

依据:ab>0当且仅当　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

(2)x(x-1)>0可以等价转化成什么形式?解集是什么?

(3)(x+1)(x-1)<0的解集是什么?

依据:ab<0当且仅当　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

结论:一般地,如果x1<x2,则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是　　　　　　　　. 

不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是　　　　　　　　　　　　　　. 

这种解不等式的方法叫因式分解法.

问题3:使用因式分解法解一元二次不等式的前提是什么?

例1　求不等式x2-x-2>0的解集.

回到情境与问题中的不等式,v2-10v-600>0可以化为(v+20)(v-30)>0,因此甲车的车速v>30;

而v2-10v-2 000>0可以化为　　　　　　　　　　　　　　　, 

因此乙车的车速　　　　　.由此可见,乙车肯定超速了. 

小结因式分解法解题规律:

任务三:探究形如:(x-h)2>k或(x-h)2<k的解集

问题4:(1)通过代入数值验证的方法,猜测以下一元二次不等式的解集:

①x2<-1　　　　　;②x2>-2　　　　　;③x2<9　　　　　. 

(2)类比方程的研究方法,解不等式x2<9.

(3)借助(2)解法特点解不等式x2-6x-1≤0.

结论:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式,然后根据k的正负等知识,就可以得到原不等式的解集.

这种解不等式的方法叫配方法.

问题5:(1)配方法适合解什么特征的一元二次不等式?

(2)几种特殊情形:①(x-h)2>0的解集为　　　　　;(x-h)2<0的解集为　　　　　　　. 

②当k<0时,不等式(x-h)2>k的解集为　　　,不等式(x-h)2<k的解集为　　　. 

例2　求下列不等式的解集:

(1)x2+4x+1≥0;　　　　　　(2)-x2+2x-1<0;

(3)2x2+4x+5>0.

变式训练:->-x2.

小结配方法解题规律:

拓展性问题:求不等式≥1的解集.

课堂小结

通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面、思想方法层面)

布置作业

1.阅读课本,结合学案,进行知识整理、整合.

2.完成课本第71页A组　第2,3题;B组　第1,2题.

3.选做题:B组　第5题.

参考答案

课堂探究

问题1:(1)v2-v>6;v2-v>10

(2)ax2+bx+c>0;常数;a≠0;<　≥　≤

问题2:(1)同号;或

(2)或(-∞,0)∪(1,+∞)

(3)(-1,1);或(x1,x2);(-∞,x1)∪(x2,+∞)

问题3:一元二次不等式是特殊类型、能因式分解.

例1　(-∞,-1)∪(2,+∞)

情境与问题:(v+40)(v-50)>0;v>50.

问题4:(1)①⌀;②R;③(-3,3).

(2)∵x2<9,∴<,即|x|<3,∴-3<x<3.不等式的解集为(-3,3).

(3)[3-,3+ ].

问题5:(1)一般的一元二次不等式

(2)①(-∞,h)∪(h,+∞);⌀;②R;⌀

例2　(1)(-∞,-2-]∪[-2+,+∞)

(2)(-∞,1)∪(1,+∞)　(3)R

变式训练:(-∞,-1)∪

拓展性问题:(-∞,-3]∪(2,+∞)

课堂小结

略

布置作业

略